2020学年高中数学第4讲数学归纳法证明不等式第2课时用数学归纳法证明不等式课后提能训练新人教A版选修4_5

第2课时 用数学归纳法证明不等式
A ．基础巩固
1．(2017年驻马店月考)某个命题和正整数n 有关，如果当n ＝k (k 为正整数)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时，命题也成立．现已知当n ＝7时命题不成立，那么可以推得( )
A ．当n ＝6时该命题不成立
B ．当n ＝6时该命题成立
C ．当n ＝8时该命题不成立
D ．当n ＝8时该命题成立
【答案】A 【解析】假设n ＝6时命题成立，则可推得n ＝7时命题成立．现n ＝7时命题不成立，故n ＝6时命题不成立．故选A ．
2．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *
，n ＞1)时，不等式在n ＝k ＋
1时的形式是( )
A ．1＋12＋13＋…＋1
2
k ＜k ＋1
B ．1＋12＋13＋…＋12k －1＋1
2k ＋1－1＜k ＋1
C ．1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋1
2k ＋1－1
＜k ＋1
D ．1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－2＋1
2k ＋1－1＜k ＋1
【答案】D 【解析】因为不等式左边的分母是逐1增加的． 3．(2017年菏泽期中)在用数学归纳法证明不等式
1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ≥13
24
(n ≥2)的过程中，当由n ＝k 推到n ＝k ＋1时，不等式左边应( )
A ．增加了1
2k ＋1
B ．增加了12k ＋1＋1
2k ＋2
C ．增加了12k ＋1＋12k ＋2，但减少了1
k ＋1
D ．以上都不对
【答案】C 【解析】当n ＝k 时，左侧式子为1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1
2k
，当n ＝k ＋1时，左侧式子为
1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1
2k ＋2
，∴当由n ＝k 推到n ＝k ＋1时，不等式
左边减少了
1k ＋1，增加了12k ＋1＋12k ＋2
.故选C ． 4．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1＞a
24
对一切正整数n 都成立，正整数a 的最大值是( )
A ．24
B ．25
C ．26
D ．27
【答案】B 【解析】取n ＝1，11＋1＋11＋2＋13·1＋1＝2624，令2624＞a
24，得a ＜26，故答
案为B ．
5.(2018年柳州期末)用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *
)成立，其初
始值至少应取n ＝ .
【答案】8
【解析】由等比数列前n 项和公式得1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－1
2n
1－12>12764，∴12n <1
128
，∴n >7.
又n ∈N *
，∴n ＝8.
6．用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋
1
n ＋1
2
＞12－1
n ＋2
，假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标是______________________________．
【答案】122＋132＋1
4
2＋…＋
1k ＋1
2
＋1[
k ＋1＋1]2>1
2－
1
k ＋1＋2
7．(2017年浙江节选) 已知数列{x n }满足x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)(n ∈N *
)．证明：当n ∈N *
时，0＜x n ＋1＜x n .
【证明】当n ＝1时，x 1＝1>0. 假设n ＝k 时，x k >0，
那么n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则x k ＝x k ＋1＋ln(1＋x k ＋1)≤0，矛盾，故x k ＋1＞0. 因此x n ＞0(n ∈N *
)．
所以x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)＞x n ＋1， 因此0＜x n ＋1＜x n (n ∈N *
)．
B ．能力提升
8.(2018年贵阳校级月考)设f (n )＝n
n ＋1
，g (n )＝(n ＋1)n ，n ∈N *
.
(1)当n ＝1,2,3,4时，比较f (n )与g (n )的大小； (2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明. 【解析】(1)f (1)<g (1)，f (2)<g (2)，f (3)>g (3)，f (4)>g (4).
(2)猜想：当n ≥3，n ∈N *时，有n n ＋1
>(n ＋1)n
.
证明：①当n ＝3时，猜想成立.
②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *
)时猜想成立，
即k k ＋1
>(k ＋1)k
，k k ＋1
(k ＋1)
k >1.
∵(k ＋1)2
>k (k ＋2)，即(k ＋1)
2
k ＋2
>k ，
∴(k ＋1)k ＋2
(k ＋2)k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋2k ·(k ＋1)2k ＋2>⎝ ⎛⎭
⎪⎫k k ＋1k ·k ＝k k ＋1(k ＋1)k >1. ∴(k ＋1)
k ＋2
>(k ＋2)
k ＋1
，即(k ＋1)
(k ＋1)＋1
>[(k ＋1)＋1]
k ＋1
，
∴当n ＝k ＋1时，猜想也成立. 由①②知，对一切n ≥3，n ∈N *
时，n
n ＋1
>(n ＋1)n
都成立.。