方差1

DX EX (EX ) x 2 1 dx ( a b ) 2
2 2
b a
ba
2
(b a ) 12
2
7
方差
5.指数分布 设 X ~ E ( )，则X 的概率密度函数为：

e x , 0 f ( x) 0. 0,

EX
方差
几种常见分布的数学期望及方差
1.两点分布
X pk
0 1 p
2
1 p
2
p p 2 pq EX p, DX EX (EX )
1
方差
2. 二项分布
则 P{ X i 0} q, P{ X i 1} p, i 1,2,, n.
设 X 1 ,, X n 相互独立，都服从参数为 的两点分布， p
n
n! EX k p k q n k k! ( n k )! k 0
n
n! k p k q n k k! ( n k )! k 0
n! p k p k 1 q n k ( k 1)! ( n k )! k 1
n! p ( k 1) p k 1q n k ( k 1)! ( n k )! k 1 n! p p k 1q n k ( k 1)! ( n k )! k 1
1 2


2
说明 若
X ~ N (0,1), 则 DX

t 2e
t2 2
dt 1
10
方差
说明： X i ~ N ( i , i2 ) 若
i 1,2,3, n, 且相互独
n n
立。则它们的线性组合也服从正态分布。
既有：C1 X 1 C 2 X 2 C n X n ~ N ( C i i , C i2 i2 )
EX
则 EX

x


1 2
( x )2 2
e
x dx， 作变换 t
1 2
(t )e
t2 2
t2 2
dt

2

te
dt 2

e
t2 2
dt

9
方差
DX E ( X ) 2



(x )
i 1 i 1
X 例如， ~ N (1,3) Z ~ N ( 4,48) .
, Y ~ N ( 2,4) 且相互独立，则
Z=2X-3Y也服从正态分布。既有：E(Z)=-4,D(Z)=48,
11
方差
要求：熟记两点分布、二项分布、泊松分布、 均匀分布、正态分布的期望值和方差值。
12
EX 2 (EX ) 2 DX
n 2 p 2 n p 2 np n 2 p 2
np(1 p) npq
5
方差
3.泊松分布 设 X 服从参数为 的泊松分布，
P{ X k } e , k 0,1,2, k! k k 1 e e EX k (k 1)! k! k 0 k 1

xf ( x )dx

0
xe x dx 1

DX EX 2 (EX ) 2 x 2 e x dx 1
b a
2



1
2
8
方差
6.正态分布 f ( x )

1 2


( x )2 2 2
e
2
, x
i 1 n
i 1
i 1
np
i 1
2
方差
或证
k P{ X k } C n p k q n k , k 0,1,, n
n k n k n k
EX k C p q
k 0
n! k p k q n k k! ( n k )! k 0
n
( n 1)! k 1 n 1 ( k 1 ) np p q k 1 ( k 1)! ( n 1 ( k 1))!
n( n 1) p 2 ( n 2)! p k 2 q n 2( k 2 ) np k 2 ( k 2)! ( n 2 ( k 2))!
n
n
n
n
4
方差
n( n 1) p ( p q )
2
n 2
np
n p np np
2 2 2
令 X X 1 X n 则 X ~ B(n, p) , k 即 P{ X k } C n p k q n k , k 0,, n
EX E ( X i ) EX i p
n n n
所以 DX DX i pq npq.
n i 1

k
e e

k k EX k 2 e e k ( k 1)! k! k 1 k 0 k k ( k 1) e e ( k 1)! k 1 k 1 ( k 1)! k 2 2 e e e 2 k 2 ( k 2)!
2 2
2
1 2

( x )2 2 2
e
dx, (
x

t)
2
t e 2


t2 2
dt


2

2

t 2e
t2 2
t2 2
dt 2

tde
t2 2

2
2
te
t2 2
|


2

2

e
dt
2

DX EX (EX )
2 2
2
2
6
方差
4.均匀分布 设 X 服从参数为 a,b 的均匀分布，
1 /(b a ), a x b, f ( x) 其它. 0, b EX xf ( x )dx x 1 dx a b ba 2 a
n
k 1 np Cn1 p k 1q n1( k 1) k 1
n 1 i 0 i np C n1 p i q n1 i np( p q ) n1 np
n
3
方差
k E X 2 k 2 C n p k q n k k 0