219-2020学年九年级数学中考复习讲义 第20课时 等腰三角形 讲义(无答案)

第20课时 等腰三角形 学案
【考点梳理】：
1．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两底角 相等 ，简称为“等边对 等角 ”
（2）等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边上的高线互相重合（三线合一）；
（3）等腰三角形是轴对称图形
2．等腰三角形的判定
（1）有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有 两个角 相等，那么这个三角形是等腰三角形，简称为“等角对 等边 ”．
3．等边三角形的性质
（1）等边三角形的三个内角都等于 60° ．
（2）等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有 3 条．
4．等边三角形的判定
（1） 三边都 相等的三角形是等边三角形；
（2）有两个角是 相等 的三角形是等边三角形；
（3）有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形．
5．角平分线的性质和判定
（1）性质：角平分线上的点到角两边的 距离相等 ．
（2）判定：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
6．线段的垂直平分线的性质和判定定理
（1）性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
（2）判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 【典例分析】
【例1】（1）如图，在△P AB 中，P A ＝PB ，M 、N 、K 分别是边P A 、PB 、AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝
AK ，若∠MKN ＝44°，则∠P 的度数为（ ）
A ．44°
B ．66°
C ．88°
D ．92°
（2）如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 、AE 分别为△ABC 的中线和角平分线，过点C 作CH ⊥AE
于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH ，则线段DH 的长为 ．
【例2】如图，D 是等边△ABC 的边AB 上一点，E 是BC 延长线上一点，CE ＝DA ，连接DE 交AC 于F ，
过D 点作DG ⊥AC 于G 点．
（1）证明：AG ＝12
AD ；（2）证明：GF ＝FC ＋AG ．
【随堂演练】
1．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( ) A．5 B．6 C．8 D．10
2．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（）A．50°B．100°C．120°D．130°
3．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AM C.若AN＝1，则BC的长为( )
A．4B．6 C．43D．8
4．已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为( )
A．7 B．10 C．11 D．10或11
5．平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）
A．5B．6C．7D．8
6．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( ) A．20° B．35° C．40° D．70°
7．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( ) A．15° B．30° C．45° D．60°
8．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若P A ＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为．
9．如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是．
10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝．11．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝．12．已知等腰三角形的底角是30°，腰长为23，则它的周长是________．
D C
B
A
C
D
A
B
13．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰△AEP的底边长是．
14．把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝________. 15．如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为________．
16．如图，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为点M，求证：M是BE的中点．
17．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC 的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．
18．（1）如图①，已知：在△ABC中，①BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E．证明：DE＝BD＋CE；
（2）如图①，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有①BDA ＝①AEC＝①BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，诸说明理由；
（3）拓展与应用：如图①，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为①BAC平分线上的一点，且①ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若①BDA＝①AEC＝①BAC，试判断△DEF的形状．。