数学_2014年山东省高考数学模拟试卷(五)(理科)_(含答案)

2014年山东省高考数学模拟试卷（五）（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中选择一个符合题目要求的选项）
1. 已知条件p:x 2−3x −4≤0；条件q:x 2−6x +9−m 2≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ）
A [−1, 1]
B [−4, 4]
C (−∞, −1]∪[1, +∞)
D (−∞, −4]∪[4, +∞) 2. 已知
x 1+i
=1−yi ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x +yi 的共轭复数为（ ）
A 1+2i
B 1−2i
C 2+i
D 2−i
3. 等差数列{a n }中，S 10=90，a 5=8，则a 4=( ) A 16 B 12 C 8 D 6
4. 函数f(x)=lnx −1
2x 2的大致图象是（ ）
A B C D
5. 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（ ） A 360 B 520 C 600 D 720
6. 已知函数f(x)是(−∞, +∞)上的偶函数，若对于x ≥0都有f(x +2)=f(x)，且当x ∈[0, 2)时，f(x)=log 2(x +1)，则f(−2011)+f(2012)=( ) A 2 B 1 C −l D −2
7. 将函数y =cos(x −π
3)的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向
左平移π
6
个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为( )
A x =π9
B x =π8
C x =π
2
D x =π
8. 已知a ∈R ，则“a <2”是“|x −2|+|x|>a 恒成立”的（ ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件 9. 函数f(x)=3x 2−x −1，x ∈[−1, 2]，任取一点x 0∈[−1, 2]，使f(x 0)≥1的概率是（ ）
A 2
3
B 5
9
C 1
4
D 4
9
10. 函数f(x)的定义域为A ，若存在非零实数t ，使得对于任意x ∈C(C ⊆A)有x +t ∈A ，且f(x +t)≤f(x)，则称f(x)为C 上的t 度低调函数．已知定义域为[0, +∞)的函数f(x)=−|mx −3|，且f(x)为[0, +∞)上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（ ） A [0, 1] B [1, +∞) C (−∞, 0] D (−∞, 0]∪[1, +∞)
二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分） 11. 已知圆x 2
+y 2
−10x +24=0的圆心是双曲线x 2
a 2−y 29
=1(a >0)的一个焦点，则此双
曲线的渐近线方程为________．
12.
已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中主视图、俯视图是全等
的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为________．
13. 已知a →
、b →
均为单位向量，它们的夹角为60∘
，那么|a →
+3b →
|等于________．
14. 已知O 是坐标原点，点A(1, 0)，若点M(x, y)为平面区域{x +y ≥2
x ≤1y ≤2上的一个动点，则
|OA →
+OM →
|的最小值是________．
15. 关于函数f(x)=sin2x −cos2x 有下列命题： ①函数y =f(x)的周期为π；
②直线x =π
4是y =f(x)的一条对称轴；
③点(π
8
，0)是y =f(x)的图象的一个对称中心；
④将y =f(x)的图象向左平移π
4个单位，可得到y =√2sin2x 的图象．
其中真命题的序号是________．（把你认为真命题的序号都写上）
三、解答题（本大题共6小题，共75分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且a +c ＝6，b ＝2，cosB =7
9．
（1）求a ，c 的值；
（2）求sin(A −B)的值．
17. 如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，DB // AE ，且AC =AB =BC =
AE =1，BD =2，F 为CD 中点． （1）求证：EF ⊥平面BCD ；
（2）求平面ECD 和平面ACB 所成的锐二面角的余弦值．
18. 某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为4
5，第二、第三种产品受欢迎的概率分别为p ，q(p >q)，且不同种产品是否受欢迎相互独立．记ξ为公
司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为
(2)求p，q的值；
(3)求数学期望Eξ．
19. 设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，S n是其前n项和．记b n=nS n
，n∈N∗，
n2+c
其中c为实数．
（1）若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk＝n2S k(k, n∈N∗)；
（2）若{b n}是等差数列，证明：c＝0．
20. 已知函数f(x)=x2+ax−ln x，a∈R．
（1）若函数f(x)在[1, 2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g(x)=f(x)−x2，是否存在实数a，当x∈(0, e]时，函数g(x)的最小值是3？若
存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
（3）当x∈(0,e]时，证明：e2x2−5
x>(x+1)ln x．
2
21. 设点P是曲线C:x2=2py(p>0)上的动点，点P到点(0, 1)的距离和它到焦点F的距离之
．
和的最小值为5
4
（1）求曲线C的方程；
（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k(k≠0)的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q
且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若
存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
2014年山东省高考数学模拟试卷（五）（理科）答案
1. D
2. D
3. D
4. B
5. C
6. B
7. C
8. C
9. D
10. D
11. y=±3
x
4
12. 36π
13. √13
14.
3√2
2
15. ①③
16. ∵ a +c ＝6①，b ＝2，cosB =7
9，
∴ 由余弦定理得：b 2＝a 2+c 2−2accosB ＝(a +c)2−2ac −149
ac ＝36−
329
ac ＝4，
整理得：ac ＝9②，
联立①②解得：a ＝c ＝3； ∵ cosB =7
9，B 为三角形的内角， ∴ sinB =√1−(7
9)2=
4√29
，
∵ b ＝2，a ＝3，sinB =
4√2
9， ∴ 由正弦定理得：sinA =asinB b
=
3×
4√29
2
=
2√2
3
， ∵ a ＝c ，即A ＝C ，∴ A 为锐角， ∴ cosA =√1−sin 2A =1
3，
则sin(A −B)＝sinAcosB −cosAsinB =
2√23
×79−1
3×
4√29
=
10√2
27
． 17. 解：（1）找BC 中点G 点，连接AG ，FG
∴ F ，G 分别为DC ，BC 中点 ∴ FG =
 // 12
DB = // 
EA ∴ 四边形EFGA 为平行四边形∴ EF // AG
∵ AE ⊥平面ABC ，BD // AE ∴ DB ⊥平面ABC ， 又∵ DB ⊂平面BCD ． ∴ 平面ABC ⊥平面BCD
又∵ G 为BC 中点且AC =AB =BC∴ AG ⊥BC ∴ AG ⊥平面BCD ∴ EF ⊥平面BCD
（2）以H 为原点建立如图所示的空间直角坐标系
则C(√32，0，0)，E(0,−12,1)，F(√34,14,1)，ED →(−√32,−12,1)，CF →(−√34,1
4,1)
设平面CEF 的法向量为n →
=(x,y,z)，
由{CF →
⋅n →
=
−√34
x −1
4y +z =0˙得n →
=(√3,−1,1)
平面ABC 的法向量为u →
=(0,0,1) 则cos(n →
，u →
)=|n →||u|→
˙=
√
5
=√5
5
∴ 平面角ECD 和平面ACB 所成的锐二面角的余弦值为√5
5．
18. 解：设事件A i 表示“该公司第i 种产品受欢迎”，i =1，2，3，由题意知P(A 1)=4
5，P(A 2)=p ，P(A 3)=q
(1)由于事件“该公司至少有一种产品受欢迎”与事件“ξ=0”是对立的，所以该公司至少有一种产品受欢迎的概率是1−P(ξ=0)=1−
245
=
4345
，
(2)由题意知P(ξ=0)=P(A 1¯A 2¯
A 3¯
)=15
(1−p)(1−q)=
2
45
，P(ξ=3)=P(A 1A 2A 3)=
4
5
pq =8
45，整理得pq =2
9且p +q =1，由p >q ，可得p =2
3，q =1
3． (3)由题意知a =P(ξ=1)=4
5
(1−p)(1−q)+1
5
p(1−q)+1
5
(1−p)q =
1345
，
b =P(ξ=2)=1−P(ξ=0)−P(ξ=1)−P(ξ=3)=
22
45
因此Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=2715
=9
5
19. 若c ＝0，则a n ＝a 1+(n −1)d ，S n =
n[(n−1)d+2a]
2
，b n =
nS n n 2
=
(n−1)d+2a
2
．
当b 1，b 2，b 4成等比数列时，则b 22=b 1b 4， 即：(a +d
2)2=a(a +
3d
2
)，得：d 2
＝2ad ，又d ≠0，故d ＝2a ． 因此：S n =n 2a ，S nk =(nk)2a =n 2k 2a ，n 2S k =n 2k 2a ．
故：S nk =n 2S k (k, n ∈N ∗)．
设数列{b n }的公差为d 1，则b n ＝b 1+(n −1)d 1， 即
nS n n 2+c
=b 1+(n −1)d 1，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N ∗，有
(d 1−1
2
d)n 3+(b 1−d 1−a +12
d)n 2+cd 1n =c(d 1−b 1)．
令A =d 1−12d ，B =b 1−d 1−a +1
2d ，D ＝c(d 1−b 1)．
则对所有n ∈N ∗，有An 3+Bn 2+cd 1n ＝D ． 在上式中，分别取n ＝1，2，3，4，可得：
A +
B +cd 1＝8A +4B +2cd 1＝27A +9B +3cd 1＝64A +16B +4cd 1， 即{7A +3B +cd 1=019A +5B +cd 1=021A +5B +cd 1=0
，
由②③得A ＝0，cd 1＝−5B ，代入①，得B ＝0，从而cd 1＝0． 即d 1−1
2
d =0，b 1−d 1−a +1
2
d =0，cd 1＝0．
若d 1＝0，由d 1−1
2d =0，得d ＝0，与题设矛盾． ∴ d 1≠0，又cd 1＝0，∴ c ＝0．
20. （1）解：由题意可知f ′(x)=2x +a −1
x =2x 2+ax−1
x
≤0在[1,2]上恒成立．
令ℎ(x)=2x 2+ax −1， 则{ℎ(1)≤0，ℎ(2)≤0， 得{a ≤−1，a ≤−7
2， ∴ a ≤−7
2，
∴ 实数a 的取值范围是(−∞,−7
2]．
（2）解：假设存在实数a ，
使g(x)=f(x)−x 2=ax −ln x 在(0,e]上有最小值3， g ′(x)=a −1
x =
ax−1x
．
①当a ≤0时，g ′(x)<0， g(x)在(0,e]上单调递减，
g(x)min =g(e)=ae −1=3， 解得a =4
e （舍去）； ②当0<1a <e 时， g(x)在(0,1a )上单调递减，
在(1
a ,e]上单调递增，
∴ g(x)min =g (1
a )=1+ln a =3，
解得a =e 2，满足条件； ③当1
a ≥e 时，
g(x)在(0,e]上单调递减，
g(x)min =g(e)=ae −1=3， 解得a =4e （舍去）． 综上，存在实数a =e 2，
使得当x ∈(0,e]时， g(x)的最小值是3．
（3）证明：令F(x)=e 2x −ln x(x ∈(0,e])， 由（2）知F(x)min =3． 令φ(x)=
ln x x
+5
2， 则φ′(x)=
1−ln x x 2
．
当0<x ≤e 时，φ′(x)≥0， φ(x)在(0,e]上单调递增．
∴ φ(x)max =φ(e)=1
e
+5
2
<1
2
+5
2
=3．
∴ e 2x −ln x >
ln x x
+5
2
，
∴ e 2x 2−5
2x >(x +1)ln x ．
21. 解：（1）依题意，点P 到点(0, 1)的距离和它到焦点F 的距离之和的最小值为5
4． ∴ 1+p
2
=5
4
，解得p =1
2
．
所以曲线C 的方程为x 2=y ．…
（2）由题意直线PQ 的方程为：y =k(x −1)+1，则点M(1−1
k , 0) 联立方程组{y =k(x −1)+1y =x 2
，消去y 得x 2−kx +k −1=0 解得Q(k −1,(k −1)2)．…
所以得直线QN 的方程为y −(k −1)2)=−1
k (x −k +1)． 代入曲线x 2=y ，得x 2+1
k x −1+1
k −(1−k)2=0． 解得N(1−1
k
−k ,(1−1
k
−k)2)．…
所以直线MN 的斜率k MN =
(1−1k
−k)21−1k
−k−1+
1k
=−
(1−1k
−k)2
k
．…
∵ 过点N 的切线的斜率k′=2(1−1
k
−k)．
∴ 由题意有−(1−1k
−k)2
k
=2(1−1
k
−k)．
∴ 解得k =
−1±√5
2
． 故存在实数k =
−1±√5
2
使命题成立． …。