2013高考数学-求解圆锥曲线问题的几种措施(2013)

求解圆锥曲线问题的几种措施
圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。

熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。

一. 紧扣定义，灵活解题
灵活运用定义，方法往往直接又明了。

例1. 已知点A （3，2），F （2，0），双曲线x y 2
2
3
1-=，P 为双曲线上一点。

求||||P A P F +12的最小值。

解析：如图所示，
双曲线离心率为2，F 为右焦点，由第二定律知
12||P F 即点P 到准线距离。

∴+=+≥=||||||||P A P F P A P E A M 1252
二. 引入参数，简捷明快
参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。

例2. 求共焦点F 、共准线l 的椭圆短轴端点的轨迹方程。

解：取如图所示的坐标系，设点F 到准线l 的距离为p （定值），椭圆中心坐标为M （t ，0）（t 为
参数）
p b c
=
2，而c t = ∴==b p c p t 2 再设椭圆短轴端点坐标为P （x ，y ），则
x c t
y b pt ====⎧⎨⎪⎩
⎪ 消去t ，得轨迹方程y p x 2=
三. 数形结合，直观显示
将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。

熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。

例3. 已知x y R ,∈，且满足方程x y y 2230+=≥()，又m y x =
++33，求m 范围。

解析： m y x =++33
的几何意义为，曲线x y y 2230+=≥()上的点与点（－3，－3）连线的
斜率，如图所示
k m k P A P B ≤≤ ∴-≤≤+332352
m
四. 应用平几，一目了然
用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。

例4. 已知圆()x y -+=342
2和直线y m x
=的交点为P 、Q ，则||||O P O Q ⋅的值为________。

解： ∆∆O M PO Q N
~ ||||||||OP OQ OM ON ⋅=⋅=5
五. 应用平面向量，简化解题
向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。

例5. 已知椭圆：x y 2224161+=，直线l ：x y 128
1+=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于一点R ，点Q 在OP 上且满足||||||
O Q O P O R ⋅=2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程。

分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的
条件便可简便地解出。

解：如图，O Q O R O P →→→，，共线，设O R O Q →=→λ，O P O Q →=→μ，O Q x y →
=()，，则O R x y →=()λλ，，O P x y →=()μμ，
||||||
O Q O PO R →⋅→=→2 ∴→=→μλ||||
O Q O Q 222 ∴=μλ2
点R 在椭圆上，P 点在直线l 上
∴+=λλ22222416
1x y ，μμx y 1281+= 即x y x y 222416128
+=+ 化简整理得点Q 的轨迹方程为： ()()x y -+-=152153
122（直线y x =-23
上方部分）
六. 应用曲线系，事半功倍
利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。

所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。

例 6. 求经过两圆x y x 22640
++-=和x y y 226280++-=的交点，且圆心在直线x y --=40
上的圆的方程。

解：设所求圆的方程为：
x y x x y y 2222646280
++-+++-=λ() ()()()11662840
22+++++-+=λλλλ
x yxy 则圆心为()-+-+3131λλλ
，，在直线x y --=40上 ∴解得λ=-7
故所求的方程为x y x y 227320+-+-=
七. 巧用点差，简捷易行
在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。

例7. 过点A （2，1）的直线与双曲线x y 2
2
2
1-=相交于两点P 1、P 2，求线段P 1P 2中点的轨迹方程。

解：设Px y 111()，，P x y 222()，，则 x y x y 12122222211212-=<>-=<>
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ <2>－<1>得
()()()()x xx x y yy y 211221122
-+=-+ 即y y x x x x y y 21211212
2--=++() 设P 1P 2的中点为M x y ()00
，，则 k y y x x x y P P 12212100
2=--= 又k y x A M =--0012
，而P 1、A 、M 、P 2共线 ∴=k k P P A M 12，即y x x y 0000122--= ∴PP 12中点M 的轨迹方程是24022x y x y --+=。