2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书：第2章 第3讲 二次函数与幂函数

第3讲二次函数与幂函数
一、知识梳理 1．幂函数
(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2
，y ＝x 3
，y ＝x 12
，y ＝x －
1.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数
(1)二次函数解+析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质
1．巧识幂函数的图象和性质
2．记牢一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是
⎩
⎨⎧a >0，
b 2
－4ac <0. (2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩
⎨⎧a <0，
b 2
－4ac <0. 二、习题改编
1．(必修1P79习题T1改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2
2，则k ＋α＝( )
A.1
2 B ．1 C.32
D ．2
详细分析：选C.因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1.又f (x )的图象过点⎝⎛⎭
⎫12，2
2，所以⎝⎛⎭⎫12α
＝
22，所以α＝12，所以k ＋α＝1＋12＝3
2
.故选C. 2．(必修1P39B 组T1改编)函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1，1]，则y 的最小值为 ． 详细分析：函数
y ＝2x 2－6x ＋3＝2
⎝⎛⎭⎫x －322
－32的图象的对称轴为直线x ＝32
>1，所以函数
y ＝2x 2－6x ＋3在[－1，1]上单调递减，所以y min ＝2－6＋3＝－1.
答案：－1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 13
是幂函数．( )
(2)当n >0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )不可能是偶函数．( ) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (5)二次函数
y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是
4ac －b 2
4a
.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏
常见误区(1)幂函数定义不清晰，导致出错； (2)二次函数的性质理解不到位出错； (3)忽视对二次函数的二次项系数的讨论出错． 1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝
⎛⎭
⎫
2，
22，则此函数的解+析式为 ；在区间 上递减．
详细分析：设y ＝f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎫2，2
2，代入解+析式得α＝－12，则y ＝x －1
2，
由性质可知函数
y ＝x －1
2在(0，＋∞)上递减．
答案：y ＝x －1
2
(0，＋∞)
2．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，若y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为 ．
详细分析：由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.
答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)
3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是 ． 详细分析：因为函数f (x )＝ax 2＋x ＋5
的图象在x 轴上方，所以⎩
⎨⎧a >0，
Δ＝12－20a <0，解得a >120
. 答案：⎝⎛⎭
⎫1
20，＋∞
幂函数的图象及性质(典例迁移)
(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是()
(2)已知幂函数y＝x m2－2m－3(m∈N*)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，则m的所有可能取值为．
(1)设幂函数的解+析式为y＝xα，
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝1
2，
所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，
当0<x<1时，其图象在直线y＝x的上方．故选C.
(2)因为幂函数y＝x m2－2m－3 (m∈N*)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，所
以m2－2m－3≤0且m2－2m－3(m∈N*)为偶数．由m2－2m－3≤0得－1≤m≤3，又m∈N*，所以m＝1，2，3，当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4为偶数，符合题意；当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3为奇数，不符合题意；当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0为偶数，符合题意．综上所述，m＝1，3.
【答案】(1)C(2)1，3
【迁移探究1】(变条件)若本例(2)中，将函数“f(x)＝x m2－2m－3”变为“f(x)＝(m2＋2m －2)x m2－3m”，其他条件不变，则m的值为．
详细分析：由于f(x)为幂函数，所以m2＋2m－2＝1，
解得m＝1或m＝－3，经检验只有m＝1适合题意，所以m＝1.
答案：1
【迁移探究2】(变条件)本例(2)中f(x)不变，m∈N*.若函数的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m的值为．
详细分析：因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以m2－2m－3<0，解得－1<m<3.
又m∈N*，所以m＝1或m＝2.
由于f(x)的图象关于y轴对称．
所以m2－2m－3为偶数，
又当m＝2时，m2－2m－3为奇数，所以m＝2舍去，
因此m＝1.
答案：1
幂函数的图象与性质问题的解题策略
(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等． (2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．
(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．
1．已知点⎝⎛
⎭
⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )是( ) A ．奇函数 B ．偶函数
C ．定义域内的减函数
D ．定义域内的增函数
详细分析：选A.设f (x )＝x α
，由已知得⎝⎛⎭
⎫33α＝3， 解得α＝－1，
因此f (x )＝x －1，易知该函数为奇函数．
2．已知a ＝345
，b ＝425
，c ＝1215
，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．c <b <a
D ．c <a <b
详细分析：选C.因为a ＝8115
，b ＝1615
，c ＝1215
，由幂函数y ＝x 15
在(0，＋∞)上为增函数，知a >b >c ，故选C.
3．若(a ＋1)12
<(3－2a )12
，则实数a 的取值范围是 ．
详细分析：易知函数y ＝x 1
2
的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23
.
答案：⎣
⎡⎭⎫－1，23
求二次函数的解+析式(师生共研)
(一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)
＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解+析式．
【解】 法一(利用一般式)：
设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎨
⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，
a －
b ＋
c ＝－1，
4ac －b
2
4a ＝8，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.
所以所求二次函数的解+析式为f (x )＝－4x 2
＋4x ＋7.
法二(利用顶点式)：
设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)，f (－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122
＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －1
22
＋8＝－4x 2＋4x ＋7.
法三(利用零点式)：
由已知得f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.
又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－a 2
4a ＝8.
解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，
所以所求函数的解+析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.
求二次函数解+析式的方法
根据已知条件确定二次函数的解+析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：
1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(－1，11)，且其对称轴是直线x＝1，则a＋b的值是()
A．－2 B．0
C．1 D．2
详细分析：选A.因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象的对称轴是直线x＝1，所以－b
2a ＝1①.又f(－1)＝a－b＋5＝11，所以a－b＝6②.联立①②，解得a＝2，b＝－4，所以a ＋b＝－2，故选A.
2．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f(x)的解+析式为f(x)＝．
详细分析：由二次函数f(x)有两个零点0和－2，可设f(x)＝a(x＋2)x，则f(x)＝a(x2＋2x)＝a(x＋1)2－a.
又f(x)有最小值－1，则a＝1.所以f(x)＝x2＋2x.
答案：x2＋2x
二次函数的图象与性质(多维探究)
角度一二次函数图象的识别问题
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；
③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的结论是()
A．②④B．①④
C．②③D．①③
因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，为x＝－1，即－b
2a
③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．故选B.
【答案】 B
确定二次函数图象应关注的三个要点
一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向．
二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置．
三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．
从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．
角度二 二次函数的单调性及最值问题
(1)函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间
[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是 ．
(2)求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上的最大值．
【解】 (1)当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a
2a ，
由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪
⎧a <03－a 2a ≤－1，
解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]．故填[－3，0]． (2)f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，
所以f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . ①当－a <12即a >－1
2时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5.
②当－a ≥12即a ≤－1
2
时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ，
综上，f (x )max ＝⎩
⎨⎧4a ＋5，a >－1
2
，
2－2a ，a ≤－1
2
.
二次函数的单调性及最值问题
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
角度三 一元二次不等式恒成立问题
(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于
任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是 ．
(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围
为 ．
(1)作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，
则有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）<0，f （m ＋1）<0，
即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，
解得－22
<m <0.
(2)由题意得x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．
设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减． 所以g (x )min ＝g (－1)＝1.
所以k <1.故k 的取值范围为(－∞，1)． 【答案】 (1)⎝
⎛⎭
⎫
－
22，0 (2)(－∞，1)
不等式恒成立求参数取值范围的思路
一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．
1．函数f (x )＝ax 2－2x ＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是( ) A ．a ＝0 B ．a <0 C ．0<a ≤1
3
D ．a ≥1
详细分析：选D.当a ＝0时，f (x )为减函数，不符合题意；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－2x ＋3图象的对称轴为x ＝1
a ，要使f (x )在区间[1，3]上为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1a ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1a ≤1，解得a ≥1.
故选D.
2．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )
A ．f (0)<f (2)<f (－2)
B ．f (0)<f (－2)<f (2)
C ．f (2)<f (0)<f (－2)
D ．f (－2)<f (0)<f (2)
详细分析：选A.由f (1＋x )＝f (－x )知函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝1
2，而抛物线的开
口向上，且⎪⎪⎪⎪0－12＝12，⎪⎪⎪⎪2－12＝32，⎪⎪⎪⎪－2－12＝5
2，根据到对称轴的距离越远的函数值越大得f (－2)>f (2)>f (0)．故选A.
3．若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则a 的取值集合为 ． 详细分析：因为函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，对称轴x ＝1， 因为f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，
所以当1≤a 时，f (x )min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，解得a ＝－1(舍去)或a ＝3，
当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，解得a ＝1(舍去)或a ＝－3， 当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (x )min ＝f (1)＝0≠4， 故a 的取值集合为{}
－3，3. 答案：{}－3，3
思想方法系列2 分类讨论思想在二次函数问题中的应用
已知函数f (x )＝x 2－2tx ＋1在区间[2，
5]上单调且有最大值为8，则实数t 的值为 ．
函数f (x )＝x 2－2tx ＋1图象的对称轴是x ＝t ， 函数在区间[2，5]上单调，故t ≤2或t ≥5. 若t ≤2，则函数f (x )在区间[2，5]上是增函数， 故f (x )max ＝f (5)＝25－10t ＋1＝8，解得t ＝9
5；
若t ≥5，则函数f (x )在区间[2，5]上是减函数， 此时f (x )max ＝f (2)＝4－4t ＋1＝8，
解得t ＝－34，与t ≥5矛盾．综上所述，t ＝9
5.
【答案】 9
5
二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x＝－b
为其最值点横坐标，
2a
在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系、二次函数开口方向进行分类讨论，研究其最值．
已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值．
解：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
(2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a
；
＝3
8
(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a ＝－3.
或－3.
综上可知，a的值为3
8
[基础题组练]
1．如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c <b <a
B ．a <b <c
C ．b <c <a
D ．a <c <b
详细分析：选D.根据幂函数的性质，可知选D.
2．(2020·辽宁第一次联考)设函数f (x )＝x 23
，若f (a )>f (b )，则( ) A ．a 2>b 2 B ．a 2<b 2 C ．a <b
D ．a >b
详细分析：选A.函数f (x )＝x
2
3
＝(x 2)1
3，令
t ＝x 2，易知y ＝t 1
3
，在第一象限为单调递增函数．
又f (a )>f (b )，所以a 2>b 2.故选A.
3．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f (x )( )
A ．在(－∞，2)上递减，在[2，＋∞)上递增
B ．在(－∞，3)上递增
C ．在[1，3]上递增
D ．单调性不能确定
详细分析：选A.由已知可得该函数图象的对称轴为x ＝2，又二次项系数为1>0，所以f (x )在(－∞，2)上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．
4．若a ＝⎝⎛⎭⎫122
3
，b ＝⎝⎛⎭⎫152
3，c ＝⎝⎛⎭⎫121
3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <a
D ．b <a <c
详细分析：选D.因为y ＝x 2
3
在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫122
3
>b ＝⎝⎛⎭⎫152
3，因为y ＝⎝⎛⎭
⎫12x
是减函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223
<c ＝⎝⎛⎭
⎫121
3，所以b <a <c . 5．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－25
4，－4，则m 的取值范围是( ) A ．[0，4] B.⎣⎡⎦⎤
32，4 C.⎣⎡⎭
⎫3
2，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤32，3
详细分析：选D.二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝⎛⎭⎫32＝－25
4，f (3)＝f (0)＝－4，结合函数图象(如图所示)可得m ∈⎣⎡⎦⎤32，3.
6．(2020·甘肃兰州一中月考)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x m
2－
2m －3是幂函数，且在
x ∈(0，
＋∞)上递减，则实数m ＝ ．
详细分析：根据幂函数的定义和性质，得m 2－m －1＝1. 解得m ＝2或m ＝－1，
当m ＝2时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意； 当m ＝－1时，f (x )＝x 0＝1在(0，＋∞)上不是减函数， 所以m ＝2. 答案：2
7．设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，则实数m 的取值范围是 ．
详细分析：当m ＝0时，f (x )＝－1<0，符合题意．当m ≠0时，f (x )为二次函数，则由f (x )<0
恒成立得⎩⎨⎧m <0，Δ<0，即⎩⎨⎧m <0，（－m ）2
－4m ×（－1）<0，
解得－4<m <0. 故实数m 的取值范围是(－4，0]． 答案：(－4，0]
8．(2020·重庆(区县)调研测试)已知函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋3(0≤m ≤4，0≤x ≤1)的最大值为4，则m 的值为 ．
详细分析：f (x )＝－2x 2＋mx ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫x －m 42
＋m 2
8
＋3， 因为0≤m ≤4，所以0≤m
4≤1，
所以当x ＝m
4时，f (x )取得最大值，
所以m 2
8＋3＝4，解得m ＝2 2.
答案：2 2
9．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[]－5，5. (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；
(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5，5]， 所以当x ＝1时，f (x )取得最小值1； 当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.
(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ， 因为y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数，
所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5.故实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
10．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解+析式；
(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由f (0)＝1，得c ＝1，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，
所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，
因此，所求解+析式为f (x )＝x 2－x ＋1.
(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在区间[－1，1]上的最小值大于0即可．
设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，
则g (x )在区间[－1，1]上单调递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝－m －1， 由－m －1>0，得m <－1.
因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．
[综合题组练]
1．(2020·福建连城一模)已知函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )
A ．f (x 1)＝f (x 2)
B ．f (x 1)>f (x 2)
C ．f (x 1)<f (x 2)
D ．与x 的值无关
详细分析：选C.由题知二次函数f (x )的图象开口向下，图象的对称轴为x ＝1
4，因为x 1
＋x 2＝0，所以直线x ＝x 1，x ＝x 2关于直线x ＝0对称，由x 1<x 2，结合二次函数的图象可知
f (x 1)<f (x 2)．
2．(创新型)定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）
b －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均
值点，如y ＝x 4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 ．
详细分析：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x 0为均值点， 所以f （1）－f （－1）1－（－1）
＝m ＝f (x 0)，
即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1，1)内有实数根， 解方程得x 0＝1或x 0＝m －1. 所以必有－1<m －1<1，即0<m <2， 所以实数m 的取值范围是(0，2)． 答案：(0，2)
3．(2020·辽宁第一次联考)已知幂函数f (x )＝(m －1)2x m
2－
4m ＋3(m ∈R )在(0，＋∞)上单调
递增．
(1)求m 的值及f (x )的解+析式；
(2)若函数g (x )＝－3
f （x ）2＋2ax ＋1－a 在[0，2]上的最大值为3，求实数a 的值． 解：(1)幂函数f (x )＝(m －1)2x m
2－
4m ＋3 (m ∈R )在(0，＋∞)上单调递增，
故⎩
⎪⎨⎪⎧（m －1）2＝1，
m 2－4m ＋3>0，解得m ＝0，故f (x )＝x 3. (2)由f (x )＝x 3，得g (x )＝－
3
f （x ）2＋2ax ＋1－a ＝－x 2＋2ax ＋1－a ，
函数图象为开口方向向下的抛物线，对称轴为x ＝a . 因为在[0，2]上的最大值为3，所以
①当a ≥2时，g (x )在[0，2]上单调递增，故g (x )max ＝g (2)＝3a －3＝3，解得a ＝2. ②当a ≤0时，g (x )在[0，2]上单调递减，故g (x )max ＝g (0)＝1－a ＝3，解得a ＝－2. ③当0<a <2时，g (x )在[0，a ]上单调递增，在[a ，2]上单调递减，故g (x )max ＝g (a )＝a 2＋1－a ＝3，解得a ＝－1(舍去)或a ＝2(舍去)．
综上所述，a＝±2.
4．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．
(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，a]上为减函数，
所以f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)在[1，a]上单调递减，
即f(x)max＝f(1)＝a，f(x)min＝f(a)＝1，所以a＝2或a＝－2(舍去)．即实数a的值为2.
(2)因为f(x)在(－∞，2]上是减函数，所以a≥2.
所以f(x)在[1，a]上单调递减，在[a，a＋1]上单调递增，
又函数f(x)的对称轴为直线x＝a，所以f(x)min＝f(a)＝5－a2，f(x)max＝max{f(1)，f(a＋1)}，又f(1)－f(a＋1)＝6－2a－(6－a2)＝a(a－2)≥0，
所以f(x)max＝f(1)＝6－2a.
因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，
所以f(x)max－f(x)min≤4，即6－2a－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，所以2≤a≤3.即实数a的取值范围为2≤a≤3.。