上海市普陀区2013届高三上学期一模考试数学理试题

2012学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷
考生注意： 2013.1
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.
2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 不等式1|2|≤-x 的解为 .
2. 函数x x y 2cos 2sin +=的最小正周期=T .
3. 若集合}15
6
|
{>+=x x A ，集合1{-=B ,0,1,2,}3，则A B
= . 4.【理科】如图，正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BD 与平面
11B BCC 所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.
5. 【理科】若函数3()log f x a x =-的图像经过点)1,1(，则=--)8(1
f
.
6. 若等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，则数列}{n a 的通项公式 为 .
7. 在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意 取两个，则编号的和是奇数的概率为 （结果用最简分数表示）8. 在2
10
(2x 的二项展开式中，常数项等于 . 9. 若函数)2sin()(ϕ+=x A x f （0>A ,2
2
π
ϕπ
<
<-图，则=)0(f .
10. 在ABC △中，若2AB AC ⋅=
,7-=⋅= .
11. 【理科】若函数()f x 满足)9(2)10(+=+x f x f ，且1)0(=f ，则=-)10(f _.
（第4题图）
12. 【理科】 若)0,3(-C 、)0,3(D ，M 是椭圆2
214x y +=上的动点，则11MC MD
+ 的最小值为 .
13. 三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为
SA 、AC 、BC 、SB 的中点，则截面EFGH
将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为 .
14. 已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-<≤+=1,2121
0,1)(x x x x f x ，设0a b >≥，
若)()(b f a f =，则)(a f b ⋅的取值范围是 .
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. 已知函数=y )(x f (R x ∈)，则“)2()1(f f <”是“函数=y )(x f 在R 上是增函数”
的…………………………………………………………………………………………（ ） （A ）充分非必要条件. （B ）必要非充分条件. （C ）充要条件. （D ）非充分非必要条件.
16. 【理科】双曲线22
2
21x y a b λλ
+=--（22b a >>λ）的焦点坐标为……………………（ ） （A ）)0,(22b a +±. （B ）)0,(22b a -±. （C ）)0,2(22λ-+±b a . （D ）),0(22b a +±.
17. 已知0>a ,0>b ,若11
lim 5n n n n
n a b a b ++→∞-=-，则b a +的值不可能．．．是…………………（ ） （A ）7. （B ）8. （C ）9. （D ）10.
18. 如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE =.若动点P 从点A 出发，沿正方
形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+
，下列判断
正确．．
的是…………………………………………………………………………………（ ） P
（第13题图）
S B
A
C
E
H
G
F
（A ）满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点. （B ）满足1λμ+=的点P 有且只有一个. （C ）λμ+的最大值为3. （D ）λμ+的最小值不存在.
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm .
（1）这种“浮球”的体积是多少3
cm （结果精确到0.1）？ （2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，
如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？
20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 的距离相等. 52、求动点A 的轨迹方程； 53、记点)0,2(-K ，若AF AK 2=，求△AFK 的面积.
21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.
（第
20题图）
（第19题图）
6cm
已知a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边,34=a ,6=b ，3
1
cos -=A ． （1）求c ； （2）求)4
2cos(π
-B 的值．
22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3
小题满分6分.
【理科】在平面直角坐标系xOy 中，点n A 满足)1,0(1=OA ，且)1,1
(1=+n n A A ；点n B 满足)0,3(1=OB ，且)0,)3
2
(3(1n n n B B ⋅=+，其中*n N ∈．
（1）求2OA
的坐标，并证明．．
点n A 在直线1y x =+上； （2）记四边形11n n n n A B B A ++的面积为n a ，求n a 的表达式；
（3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的正整数P ，使得对任意*
n N ∈都有P a n <成立？若存在，
求P 的值；若不存在，请说明理由．
23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.
【理科】设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数,对于任意的x M ∈，都有
))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.
（1）函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“H 函数”，求集合M ；
（2）若函数x
a x f =)((0a a >≠且1)与1)(+=x x g 在集合M 上互为 “H 函数”,
求证：1>a ；
（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且32-≠k x ，*
N k ∈}上互为“H
函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g
在集合M 上的解析式.
2012学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1.[1,3]
2.π
3.}0,1{-
4.【理科】2
2arctan 5.9
3 6.32n a n =-（*N n ∈） 7.
53
8.180 9.1- 10.3 11.【理科】1021 12.1 13.1:1 14.)2,4
3[
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15.
1
6.
1
7. 1
8. B
B
D
C
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.【解】（1）cm d 6=，cm R 3=，πππ36273
4
343=⋅==
R V 球3cm …………2分 2=h ，πππ18292=⨯⨯=⋅=h R V 圆柱3
cm …………2分 =V 圆柱球V V +6.169541836≈=+=πππ3
cm …………2分
（2）πππ369442
=⨯⨯==R S 球表2
cm …………2分
πππ122322=⨯⨯⨯==Rh S 圆柱侧2
cm …………2分 1个“浮球”的表面积πππ4
4110
48
101236=+=
S 2m
2500个“浮球”的表面积的和ππ1210
48250042500=⨯
=S 2
m 所用胶的质量为ππ120012100=⨯（克）…………2分 答：这种浮球的体积约为6.1693
cm ；供需胶π1200克.
20.【解】
（1）由题意可知，动点A 的轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x
设方程为px y 22=，其中
22
=p
，即4=p ……2分 所以动点A 的轨迹方程为x y 82=……2分
（2）过A 作l AB ⊥，垂足为B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分
AF AK 2=，所以AFK ∆是等腰直角三角形
………2分 4||=KF …………2分
所以8442
1
=⨯⨯=∆AFK S …………2分
21.【解】（1）在ABC △中，由余弦定理得，A bc c b a cos 22
22-+=…………2分 )3
1
(6236482
-⨯⨯⨯-+=c c …………2分
即01242
=-+c c ，0)2)(6(=-+c c ，解得2=c …………2分
（2）由031cos <-
=A 得A 为钝角，所以3
22sin =A …………2分 在ABC △中， 由正弦定理，得sin sin a b
A B = 则363
43226sin sin =⨯
=⋅=
a A
b B …………2分 由于B 为锐角，则33
cos =
B ……2分 3
1
3221sin 212cos 2-=⋅-=-=B B
3
2
233362cos sin 22sin =
⋅⋅
=⋅=B B B 所以)42cos(π
-
B 6
2
4)32231(22)2sin 2(cos 22-=
+-=+=
B B ………2分 22.【理科】【解】（1）由已知条件得，(1,1)21=A A ,=21A A 2OA
1-,所以(1,2)2=OA (2)
分
(1,1)1=+n n A A ，则)1,1(1=-+n n OA OA
设),(n n n y x OA =，则11=-+n n x x ，11=-+n n y y
所以11)1(0-=⋅-+=n n x n ；n n y n =⋅-+=1)1(1………2分
即),1(n n A n -=满足方程1y x =+，所以点n A 在直线1y x =+上. ………1分 （证明n A 在直线1y x =+上也可以用数学归纳法证明.） （2）由（1）得),1(n n A n -
)0,)3
2
(3(11n n n n n OB OB B B ⋅=-=++ ………1分
设),(n n n v u B ，则31=u ，01=v
01=-+n n v v ，所以0=n v
n n n u u )32(31⋅=-+， 逐差累和得，))32
(1(9n n u -=，
所以)0),)3
2(1(9(n
n B -………2分
设直线1y x =+与x 轴的交点()1,0P -，则
()111
121210911092323n n n n
n n
n PA B PA B a S S n n +++∆∆⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
n a 1)3
2
)(2(5--+=n n ，*N n ∈……2分
（3）由（2）n a 1)3
2)(2(5--+=n n ，*
N n ∈
()()11
1224251523333n n n n n n a a n n --+⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=+--+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦ …2分
于是，54321a a a a a =<<<， >>>765a a a ………2分 数列{}n a 中项的最大值为4516527a a ==+
，则27
165>P ,即最小的正整数p 的值为6，所以，存在最小的自然数6=p ，对一切*
n N ∈都有p a n <成立.……2分
23.【解】（1）由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2=
化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x ………2分
解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈，即集合}|{πk x x M ==Z k ∈………2分 (若学生写出的答案是集合},|{Z k k x x M ∈==π的非空子集，扣1分，以示区别。

) （2）证明：由题意得，11
+=+x x a a
（0>a 且1≠a ）………2分
变形得，1)1(=-a a x ，由于0>a 且1≠a 1
1
-=
a a x
………2分 因为0>x
a ，所以
01
1>-a ，即1>a ………2分 （3）当01<<-x ，则10<-<x ，由于函数)(x g 在)1,1(-上是偶函数
则)1(log )()(2x x g x g -=-=
所以当11<<-x 时，|)|1(log )(2x x g += ……………2分 由于2)(+=x x f 与函数)(x g 在集合M 上“ 互为H 函数” 所以当M x ∈，))(()((x f g x g f =恒成立,
)2(2)(+=+x g x g 对于任意的)12,12(+-∈n n x (N n ∈)恒成立,
即2)()2(=-+x g x g ……………2分 所以2)]1(2[]2)1(2[=-+-+-+n x g n x g , 即2)]1(2[)2(=-+-+n x g n x g 所以n x g n x g 2)()2(+=+,
当)12,12(+-∈n n x （N n ∈）时,)1,1(2-∈-n x
|)2|1(log )2(2n x n x g -+=-……………2分
所以当M x ∈时，
n n x n n x g n n x g x g 2|)2|1(log 2)2(]2)2[()(2+-+=+-=+-=………2分。