【精品】2016学年四川省攀枝花十五中高二上学期期中数学试卷和解析(文科)

2015-2016学年四川省攀枝花十五中高二（上）期中数学试卷（文
科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）椭圆16x2+9y2=144长轴长是（）
A．4 B．3 C．8 D．6
2．（5分）已知命题p：∃x∈R，使sinx＜x成立．则¬p为（）
A．B．
C．D．
3．（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2+y2+2x=0 B．x2+y2+x=0 C．x2+y2﹣x=0 D．x2+y2﹣2x=0
4．（5分）已知直线l经过点M（2，3），当l截圆（x﹣2）2+（y+3）2=9所得弦长最长时，直线l的方程为（）
A．x﹣2y+4=0 B．3x+4y﹣18=0 C．y+3=0 D．x﹣2=0
5．（5分）执行如图所示的程序框图．若输入x=3，则输出k的值是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（5分）过点P（2，4）且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．.3条
7．（5分）“mn＜0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，且它的一个焦点在抛物线y2=12x的准线上，则此双曲线的方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
9．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=6，那么|AB|=（）
A．8 B．10 C．6 D．4
10．（5分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）
A．B．2 C．D．
11．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点为F（c，0），
方程ax2+bx﹣c=0的两个实根x1，x2，则点P（x1，x2）（）
A．必在圆x2+）y2=2上B．必在圆x2+y2=2内
C．必在圆x2+y2=2外D．以上三种情况都有可能
12．（5分）已知点F1，F2分别是椭圆为C：的左、右焦点，过点F1（﹣c，0）作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线于点Q，若直线PQ与双曲线的一条渐近线平行，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13．（5分）命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为：．
14．（5分）已知程序框图，则输出的i=．
15．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，
6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为．
16．（5分）给出下列四个命题：
（1）动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆；
（2）双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点；
（3）点M与点F（0，﹣2）的距离比它到直线l：y﹣3=0的距离小1的轨迹方程是x2=﹣8y；
（4）方程为+=1（a＞b＞0）的椭圆的左顶点为A，左、右焦点为F1、F2，D是它短轴的一个顶点．若2﹣=，则该椭圆的离心率为．
其中正确命题的序号．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知命题p：4﹣x≤6，q：x＞a﹣1，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
18．（12分）直线3x﹣4y+12=0与坐标轴的交点是圆C一条直径的两端点
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）圆C的弦AB长度为且过点（1，），求弦AB所在直线的方程．19．（12分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：
m2﹣15m＜0，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．20．（12分）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一
点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．
22．（12分）如图所示，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点A（1，）在椭圆上．
（1）求椭圆方程；
（2）点M（x0，y0）在圆x2+y2=b2上，点M在第一象限，过点M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P、Q两点，问||+||+||是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．
2015-2016学年四川省攀枝花十五中高二（上）期中数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）椭圆16x2+9y2=144长轴长是（）
A．4 B．3 C．8 D．6
【解答】解：椭圆16x2+9y2=144即为
椭圆=1，
则a=4，b=3，
即有2a=8．
故选：C．
2．（5分）已知命题p：∃x∈R，使sinx＜x成立．则¬p为（）
A．B．
C．D．
【解答】解：由含有量词的命题否定法则，得
∵命题p：，
∴命题¬p为：∀x∈R，
故选：D．
3．（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2+y2+2x=0 B．x2+y2+x=0 C．x2+y2﹣x=0 D．x2+y2﹣2x=0
【解答】解：因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2﹣2x+y2=0，
故选：D．
4．（5分）已知直线l经过点M（2，3），当l截圆（x﹣2）2+（y+3）2=9所得弦长最长时，直线l的方程为（）
A．x﹣2y+4=0 B．3x+4y﹣18=0 C．y+3=0 D．x﹣2=0
【解答】解：当|AB|最长时为圆的直径，所以直线l的方程经过圆心，
由圆的方程，得到圆心坐标为（2，﹣3），
∵直线l经过点M（2，3），
∴直线l的方程为：x﹣2=0．
故选：D．
5．（5分）执行如图所示的程序框图．若输入x=3，则输出k的值是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：循环前x=3，k=0，接下来x=8，k=1满足判断框条件，
第1次循环，x=8+5=13，k=2，
第2次判断后循环，x=13+5=18，k=3，
第3次判断并循环x=18+5=23，k=4，
第4次判断并循环x=23+5=28，k=5，
满足判断框的条件退出循环，输出k=5．
故选：C．
6．（5分）过点P（2，4）且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．.3条
【解答】解：由题意可知点P（2，4）在抛物线y2=8x上
故过点P（2，4）且与抛物线y2=8x只有一个公共点时只能是
①过点P（2，4）且与抛物线y2=8x相切
②过点P（2，4）且平行与对称轴．
∴过点P（2，4）且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线有2条．
故选：C．
7．（5分）“mn＜0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：（1）mn＜0⇔m＞0，n＜0或m＜0，n＞0．
若m＞0，n＜0，则方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线；
若m＜0，n＞0，则方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线；
所以由mn＜0不能推出方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线，即不充分．（2）若方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则m＜0，n＞0，所以mn ＜0，即必要．
综上，“mn＜0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的必要不充分条件．
故选：B．
8．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，且它的一个焦点在抛物线y2=12x的准线上，则此双曲线的方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，
且它的一个焦点在抛物线y2=12x的准线上，
抛物线y2=12x的准线方程x=﹣3，
∴，解得a=，b2=9﹣3=6，
∴双曲线方程为．
故选：C．
9．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=6，那么|AB|=（）
A．8 B．10 C．6 D．4
【解答】解：如图，
由抛物线y2=4x，得2p=4，p=2，
∴|AB|=|AF|+|BF|=|AA′|+|BB′|=x1+x2+p，
∵x1+x2=6，
∴|AB|=8．
故选：A．
10．（5分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）
A．B．2 C．D．
【解答】解：取双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x，即bx﹣ay=0．由圆x2+y2﹣4y+3=0化为x2+（y﹣2）2=1．圆心（0，2），半径r=1．
∵渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，∴=1化为3a2=b2．
∴该双曲线的离心率e===2．
故选：B．
11．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点为F（c，0），
方程ax2+bx﹣c=0的两个实根x1，x2，则点P（x1，x2）（）
A．必在圆x2+）y2=2上B．必在圆x2+y2=2内
C．必在圆x2+y2=2外D．以上三种情况都有可能
【解答】解：∵椭圆的离心率e==，
∴c=a，b=a，
∴ax2+bx﹣c=ax2+ax﹣a=0，
∵a≠0，
∴x2+x﹣=0，又该方程两个实根分别为x1和x2，
∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=+1＜2．
∴点P在圆x2+y2=2的内部．
故选：B．
12．（5分）已知点F1，F2分别是椭圆为C：的左、右焦点，过点F1（﹣c，0）作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线于点Q，若直线PQ与双曲线的一条渐近线平行，
则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：将点P（﹣c，y1）（y1＞0）代入C：，
得y1=，
∴P（﹣c，），
∵过点F2作直线PF2的垂线交直线于点Q，PF2⊥QF2，
∴设Q（，y），得，解得y=2a，∴Q（，2a），
∵直线PQ与双曲线的一条渐近线平行，
∴，即4a﹣=+，
整理，得2e3﹣+2e﹣=0，
解得e=．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13．（5分）命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为：若x≠0且y≠0 则xy≠0．
【解答】解：若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，
所以原命题的逆否命题是“若x≠0且y≠0 则xy≠0”
故答案为：若x≠0且y≠0 则xy≠0．
14．（5分）已知程序框图，则输出的i=9．
【解答】解：S=1，i=3
不满足S≥100，执行循环体，S=3，i=5
不满足S≥100，执行循环体，S=15，i=7
不满足S≥100，执行循环体，S=105，i=9
满足S≥100，退出执行循环体，输出i的值为9．
故答案为：9．
15．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为12．
【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2
≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），
直线AF′的方程为与x2﹣=1联立可得y2+6y﹣96=0，
∴P的纵坐标为2，
∴△APF周长最小时，该三角形的面积为﹣=12．
故答案为：12．
16．（5分）给出下列四个命题：
（1）动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆；
（2）双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点；
（3）点M与点F（0，﹣2）的距离比它到直线l：y﹣3=0的距离小1的轨迹方程是x2=﹣8y；
（4）方程为+=1（a＞b＞0）的椭圆的左顶点为A，左、右焦点为F1、F2，D是它短轴的一个顶点．若2﹣=，则该椭圆的离心率为．
其中正确命题的序号（2），（3），（4）．
【解答】解：（1）若点M到F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则轨迹不是椭圆，故错误；
（2）根据定义可知，双曲线﹣=1与椭圆+y2=1中c2=34，且在x轴上，故有相同的焦点，故正确；
（3）法1：点M与点F（0，﹣2）的距离比它到直线l：y﹣3=0的距离小1，
∵点M到点F（0，﹣2）的距离比它到直线l：y﹣3=0的距离小1，
设M（x，y），依题意得
∴由两点间的距离公式，得
=|y﹣3|﹣1，
根据平面几何原理，得y＜3，原方程化为=2﹣y
两边平方，得x2+（y+2）2=（2﹣y）2，整理得x2=﹣8y
即点M的轨迹方程是x2=﹣8y，故正确．
法2：也可根据第二定义可知点M与点F（0，﹣2）的距离与它到直线l：y﹣2=0的距离相等，可得焦准距为8，
可得x2=﹣8y．
（4）方程为+=1（a＞b＞0）的椭圆的左顶点为A，左、右焦点为F1、F2，
D是它短轴的一个顶点．
∴D（0，b），A（a，0），F1（﹣c，0）F2（c，0），
2﹣=，
∴2（﹣c，﹣b）=（c，﹣b）+（a，﹣b），
∴﹣2c=a+c，
∴该椭圆的离心率为，故正确．
故答案为（2），（3），（4）．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知命题p：4﹣x≤6，q：x＞a﹣1，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
【解答】解：由题意得：p：x≥﹣2，
又q：x＞a﹣1，
因为p是q的充分不必要条件，
所以a﹣1＜﹣2，即a＜﹣1．
故a的取值范围a＜﹣1．
18．（12分）直线3x﹣4y+12=0与坐标轴的交点是圆C一条直径的两端点
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）圆C的弦AB长度为且过点（1，），求弦AB所在直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，A（0，3）B（﹣4，0）
AB的中点（﹣2，）为圆的圆心，直径AB=5
以线段AB为直径的圆的方程（x+2）2+（y﹣）2=；
（Ⅱ）圆C的弦AB长度为，所以圆心到直线的距离为1，
设直线方程为y﹣=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+=0，
所以=1，所以k=0或﹣，
所以弦AB所在直线的方程为y=或3x+4y﹣5=0．
19．（12分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：
m2﹣15m＜0，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．
【解答】解：命题p为真命题时，
将方程改写为，
只有当1﹣m＞2m＞0，即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，若命题q为真命题时，
0＜m＜15，
∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，
∴p，q中有一真一假；
当p真q假时，无解；
当p假q真时，，解得
综上：m的取值范围为
20．（12分）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
【解答】解：（I）由，消去y得：x2﹣4x﹣4b=0①，
因为直线l与抛物线C相切，
所以△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，
解得b=﹣1；
（II）由（I）可知b=﹣1，
把b=﹣1代入①得：x2﹣4x+4=0，
解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得y=1，
故点A的坐标为（2，1），
因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，
即r=|1﹣（﹣1）|=2，
所以圆A的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．
21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一
点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．
（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，【解答】解：
所以，
又椭圆的离心率为，即，所以，…（2分）
所以a=3，．
所以b=1，椭圆M的方程为．…（3分）
（Ⅱ）不妨设直线AB的方程x=ky+m．
由消去x得（k2+9）y2+2kmy+m2﹣9=0，…（5分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有，．①…（6分）
因为以AB为直径的圆过点C，所以．
由，
得（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=0．…（7分）
将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，
得（k2+1）y1y2+k（m﹣3）（y1+y2）+（m﹣3）2=0．
将①代入上式，解得或m=3（舍）．…（8分）
所以，令D是直线AB与X轴的交点，则|DC|=
则有=．…
（10分）
设，则．
取得最大值．…（12分）
所以当时，S
△ABC
22．（12分）如图所示，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点A（1，）在椭圆上．
（1）求椭圆方程；
（2）点M（x0，y0）在圆x2+y2=b2上，点M在第一象限，过点M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P、Q两点，问||+||+||是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．
【解答】解：（1）∵右焦点为F2（1，0），∴c=1
∴左焦点为F1（1，0），点H（1，）在椭圆上，
∴2a=|HF1|+|HF2|=4，
∴a=2，
∴b==
∴椭圆方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），（|x1|≤2）
∴|PF2|2=（x1﹣1）2+y12=（x1﹣4）2，
∴|PF2|=2﹣x1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）连接OM，OP，由相切条件知：
|PM|2=|OP|2﹣|OM|2=x12+y12﹣3=x12，
∴|PM|=x1，
∴|PF2|+|PM|=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
同理可求|QF2|+|QM|=2
∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=4为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
赠送初中数学几何模型
【模型五】
垂直弦模型：图形特征：
运用举例：
1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.
(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；
(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.
2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

（1）求︵
AB l＋
︵
CD l的值；
（2）求AP2＋BP2＋CP2＋DP2的值；
3. 已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点P．
(1)如图1，设⊙O的半径是r，若︵
AB l＋
︵
CD l＝πr，求证：AC⊥BD；
(2)如图2，过点A作AE⊥BC，垂足为G，AE交BD于点M，交⊙O于点E；过点D作DH
⊥BC，垂足为H，DH交AC于点N，交⊙O于点F；若AC⊥BD，求证：MN＝EF．
图1 图2
4. 如图，在⊙O中，弦AB丄弦CD与E，弦AG丄弦BC与F点，CD与AG相交于M点．
(1)求证：︵
BD ＝︵
BG ；(2)如果AB=12，CM=4，求⊙O的半径．G
C
M E D O
B
A
5.（1）如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，求证：AE=BE；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA、PB 组成⊙O的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立.请写出证明过程.
第21页（共21页）
（3）如图3，PA 、PB 组成⊙O 的一条折弦，若C 上优弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，
则AE 、PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.
图1 图2 图3
6.已知：四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且AC ⊥BD 于E ，F 为AB 中点。

（1）如图1，若连接FE 并延长交DC 于H ，求证：FH ⊥DC ；
（2）如图2，若OG ⊥DC 于G ，试判断线段OG 与EF 的关系，并说明理由。

H
E
F
D
B
O
A
C
G
F
E
B
C
O
A
D
图1 图2。