2020-2021备战中考数学二轮 二次函数 专项培优 易错 难题

2020-2021备战中考数学二轮二次函数专项培优易错难题
一、二次函数
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．
【答案】（1）y=3
8
x2﹣
3
4
x﹣3
（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是
9 10
（3）K1（1，﹣27
8
），K2（3，﹣
15
8
）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=﹣
9 10
（t﹣1）2+
9
10
．利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=3
4
x﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征
可设点K的坐标为（m，3
8
m2﹣
3
4
m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得
S△CBK=9
4
．则根据图形得到：S△CBK=S△CEK+S
△BEK
=
1
2
EK•m+
1
2
•EK•（4﹣m），把相关线段的长度代入推知：﹣
3
4
m2+3m=
9
4
．易求得K1（1，﹣
27
8
），K2（3，﹣
15
8
）．
解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得
4230
16430
a b
a b
--=
⎧
⎨
+-=
⎩
，
解得
3
8
3
4
a
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
所以该抛物线的解析式为：y=
3
8
x2﹣
3
4
x﹣3；
（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．
∴PB=6﹣3t．
由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．
在Rt△BOC中，BC=22
34
+=5．
如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．
∴QH∥CO，
∴△BHQ∽△BOC，
∴HB
OC
BG
BC
=，即
Hb
35
t
=，
∴HQ=3
5
t．
∴S△PBQ=
1
2
PB•HQ=
1
2
（6﹣3t）•
3
5
t=﹣
9
10
t2+
9
5
t=﹣
9
10
（t﹣1）2+
9
10
．
当△PBQ存在时，0＜t＜2
∴当t=1时，
S△PBQ最大=
9
10
．
答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910
； （
3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）． 把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得
40
3k c c +=⎧⎨
=-⎩， 解得3k 4c 3
⎧=⎪⎨⎪=-⎩，
∴直线BC 的解析式为y=3
4
x ﹣3． ∵点K 在抛物线上．
∴设点K 的坐标为（m ，3
8m 2﹣34
m ﹣3）．
如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，
3
4
m ﹣3）．
∴EK=
34m ﹣3﹣（38m 2﹣34
m ﹣3）=﹣3
8m 2+32m ．
当△PBQ 的面积最大时，∵S △CBK ：S △PBQ =5：2，S △PBQ =9
10
． ∴S △CBK =
94
． S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+1
2
•EK•（4﹣m ） =
1
2
×4•EK =2（﹣38
m 2+3
2
m ） =﹣
34
m 2
+3m ．
即：﹣3
4
m2+3m=
9
4
．
解得 m1=1，m2=3．
∴K1（1，﹣27
8
），K2（3，﹣
15
8
）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．
2．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
【答案】（1）足球飞行的时间是8
5
s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.
【解析】
试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，
∴当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t 得t=2.8， ∴当t=2.8时，y=﹣
×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门． 考点：二次函数的应用．
3．在平面直角坐标系中，有两点(),A a b 、(),B c d ，若满足：当a b ≥时，c a =，
2d b =-；当a b <时，c a <-，d b <，则称点为点的“友好点”.
（1）点()4,1的“友好点”的坐标是_______.
（2）点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，点B 是点A 的“友好点”. ①当B 点与A 点重合时，求点A 的坐标.
②当A 点与A 点不重合时，求线段AB 的长度随着a 的增大而减小时，a 的取值范围. 【答案】（1）()41-,；（2）①点A 的坐标是()2,0或()1,1-；②当1a <或3
2
2a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小； 【解析】 【分析】
（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B 点坐标，A 点又在直线2y x =-上，得到2b a =-；①当点A 和点B 重合，得2b b =-．解出即可，②当点A 和点B 不重合， 1a ≠且2a ≠．所以对a 分情况讨论，1°、当1a <或
2a >时，()2
22313224AB b b a a a ⎛
⎫=--=-+=-- ⎪⎝
⎭，所以当a ≤32时，AB 的长度随
着a 的增大而减小，即取1a <．2°当12a <<时，()2
2231
+3224
AB b b a a a ⎛
⎫=--=--=--+
⎪
⎝
⎭
，当32a ≥
时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取3
2
2a ≤<． 综上，当1a <或3
2
2a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【详解】
（1）点()4,1，4＞1，根据“友好点”定义，得到点()4,1的“友好点”的坐标是()41-, （2）Q 点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，
∴2b a =-．
Q 2a a >-，根据友好点的定义，点B 的坐标为()
2,B a b -，
①当点A 和点B 重合，∴2b b =-． 解得0b =或1b =-． 当0b =时，2a =；当1b =-时，1a =，
∴点A 的坐标是()2,0或()1,1-．
②当点A 和点B 不重合，1a ≠且2a ≠．
当1a <或2a >时，()2
22313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭． ∴当a ≤
3
2
时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取1a <．
当12a <<时， ()2
2
2
31+3224AB b b a a a ⎛
⎫=--=--=--+ ⎪⎝
⎭ ．
∴当3
2
a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取
3
2
2a ≤<． 综上，当1a <或3
2
2a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【点睛】
本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB 的长用a 进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论
4．如图，直线y ＝-
1
2
x-3与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，经过点A ，C 的抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴的另一个交点为点B(2，0)，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接AD ，DC ．设点D 的横坐标为m ． (1)求抛物线的解析式；
(2)当点D 在第三象限，设△DAC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D 的坐标；
(3)连接BC ，若∠EAD ＝∠OBC ，请直接写出此时点D 的坐标．
【答案】(1)y ＝14x 2+x ﹣3；(2)S △ADC =﹣34
(m+3)2+274；△ADC 的面积最大值为27
4；此时D(﹣3，﹣
15
4
)；(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21).
【解析】 【分析】
（1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为：(m ，
14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣1
2
m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ．
②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝3
2
x+9，解方程组求出函数图像交点坐标. 【详解】
解：(1)在y ＝﹣
1
2
x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，
将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：
36630
4230a b a b --=⎧⎨
+-=⎩
， 解得：141
a b ⎧
=⎪
⎨⎪=⎩，
∴抛物线的解析式为：y ＝14
x 2
+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣1
2
m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F.
∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣3
2
m ， ∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC
＝12DF•AE+1
2•DF•OE ＝1
2
DF•OA ＝
12×(﹣14m 2﹣3
2
m)×6 ＝﹣
34m 2﹣9
2m ＝﹣34
(m+3)2+274，
∵a ＝﹣
3
4
＜0， ∴
抛物线开口向下，
∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274
， 又∵当m ＝﹣3时，14
m 2+m ﹣3＝﹣154，
∴存在点D(﹣3，﹣
15
4)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274
； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)， 直线AD′的解析式为y ＝
3
2
x+9， 由23
9
2
134
y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩，
此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件， 综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.
5．如图1，在矩形ABCD 中，DB ＝6，AD ＝3，在Rt △PEF 中，∠PEF ＝90°，EF ＝3，PF ＝6，△PEF （点F 和点A 重合）的边EF 和矩形的边AB 在同一直线上．现将Rt △PEF 从A 以每秒1个单位的速度向射线AB 方向匀速平移，当点F 与点B 重合时停止运动，设运动时间为t 秒，解答下列问题：
（1）如图1，连接PD ，填空：PE ＝ ，∠PFD ＝ 度，四边形PEAD 的面积是 ；
（2）如图2，当PF 经过点D 时，求△PEF 运动时间t 的值；
（3）在运动的过程中，设△PEF 与△ABD 重叠部分面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式及相应的t 的取值范围．
【答案】（1）3009+93
；（233）见解析. 【解析】
分析：（1）根据锐角三角形函数可求出角的度数，然后根据勾股定理求出PE 的长，再根据梯形的面积公式求解.
（2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，可得∠EPD=∠ADF=30°，用三角函数计算可得3
（3）根据题意，分三种情况：①当0≤t 3时，3＜3时，③3≤t≤6时，根据三角形、梯形的面积的求法，求出S 与t 的函数关系式即可. 详解：（1）∵在Rt △PEF 中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6
∴sin ∠P=
1
=2
EF PF ∴∠P=30° ∵PE ∥AD
∴∠PAD=300，
根据勾股定理可得3 所以S 四边形PEAD =
12×（3+3）993+； （2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，得∠EPF=∠ADF=30°， 在Rt △ADF 中，由AD=3，得33 ； （3）分三种情况讨论：
①当0≤t 3 PF 交AD 于Q ，∵AF=t ，3t ，∴S=
1233
； ②3＜3时，PF 交BD 于K ，作KH ⊥AB 于H ，∵AF=t ，∴3-t ，S △ABD 93
， ∵∠FBK=∠FKB ，∴3，KH=KF×sin600=9-32
t
,∴S=S △ABD ﹣S △FBK =239932t +
③当3≤t≤33时，PE与BD交O，PF交BD于K，∵AF=t，∴AE=t-3，BF=33-t,
BE=33-t+3，OE=BE×tan300=9-333
3
t+
，∴S=2
33233633
-
1224
t t
--
++．
点睛：此题主要考查了几何变换综合题，用到的知识点有直角三角形的性质，三角函数值，三角形的面积，图形的平移等，考查了分析推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，要熟练掌握，比较困难.
6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．
①当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标；
②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN 沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．
【答案】（1）（1，4）（2）①点M坐标（﹣1
2
，
7
4
）或（﹣
3
2
，﹣
9
4
）；②m的值
317
±117
±
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）①根据tan∠MBA=
223
3
m m
MG
BG m
-++
=
-
，tan∠BDE=
BE
DE
=
1
2
，由∠MBA=∠BDE，
构建方程即可解决问题；②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-
m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题.
【详解】
（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，
得到
930
{
3
b c
c
-++=
=
，解得
2
{
3
b
c
=
=
，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，
∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D坐标（1，4）；
（2）①作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB=90°，设M（m，﹣m2+2m+3），
∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，
∴tan∠MBA=
223
3
m m
MG
BG m
-++
=
-
，
∵DE⊥x轴，D（1，4），∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，∵B（3，0），
∴BE=2，
∴tan∠BDE=BE
DE =
1
2
，
∵∠MBA=∠BDE，
∴
223
3
m m
m
-++
-
=
1
2
，
当点M在x轴上方时，
223
3
m m
m
-++
-
=
1
2
，
解得m=﹣1
2
或3（舍弃），
∴M（﹣1
2，
7
4
），
当点M在x轴下方时，
223
3
m m
m
--
-
=
1
2
，
解得m=﹣3
2
或m=3（舍弃），
∴点M（﹣3
2，﹣
9
4
），
综上所述，满足条件的点M坐标（﹣1
2
，
7
4
）或（﹣
3
2
，﹣
9
4
）；
②如图中，∵MN∥x轴，
∴点M 、N 关于抛物线的对称轴对称，
∵四边形MPNQ 是正方形，
∴点P 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，即OP=1，
易证GM=GP ，即|﹣m 2+2m+3|=|1﹣m|，
当﹣m 2+2m+3=1﹣m 时，解得m=317±， 当﹣m 2+2m+3=m ﹣1时，解得m=
1172±， ∴满足条件的m 的值为
317±或117±. 【点睛】
本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
7．如图甲，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．
【答案】（1）y=x 2﹣4x+3；（2）（2，
）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E 点坐标为（，）时，△CBE 的面积最大．
【解析】
试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC 的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；
（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．
试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，
∴B（3，0），C（0，3），
把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），
设M（2，t），且C（0，3），
∴MC=，MP=|t+1|，PC=，
∵△CPM为等腰三角形，
∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，
①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；
②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；
③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣
1+2）或（2，﹣1﹣2）；
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；
（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，
设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），
∵0＜x＜3，
∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，
∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），
即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．
考点：二次函数综合题．
8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴
10
930
b c
b c
--+=
⎧
⎨
-++=
⎩
，解得
2
3
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE．
抛物线的对称轴为x＝
2
22(1)
b
a
-=-
⨯-
＝1．
当x＝1时，y＝4，
∴点D的坐标为（1，4）．
设直线BD 的解析式为y ＝kx +b ，
则430
k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得26k b =-⎧⎨
=⎩． ∴直线BD 的解析式为：y ＝2x +6，
设点P 的坐标为（x ，﹣2x +6），又C （0，3），E （1，0），
则PC 2＝x 2+（3+2x ﹣6）2，PE 2＝（x ﹣1）2+（﹣2x +6）2，
∵PC ＝PE ，
∴x 2+（3+2x ﹣6）2＝（x ﹣1）2+（﹣2x +6）2，
解得，x ＝2，
则y ＝﹣2×2+6＝2，
∴点P 的坐标为（2，2）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．
9．综合与探究
如图，抛物线2
6y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34
时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)233642
y x x =-
++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】
【分析】 (1)利用待定系数法进行求解即可；
(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据
S △BCD =
34S △AOC ，得到S △BCD =92
，然后求出BC 的解析式为362y x =-+，则可得点G 的坐标为3(,6)2m m -+，由此可得2334
DG m m =-+，再根据S △BCD =S △CDG +S △BDG =12DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案； (3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±
154，然后分点N 的纵坐标为154和点N 的纵坐标为154
-两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4，继而求得OM 1= 8，由此即可求得答案.
【详解】
(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，
∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩
， 解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴抛物线的函数表达式为233642
y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，
∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，
由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6，
∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △
BCD =34
S △AOC ， ∴S △BCD =39642
⨯=， 设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，
由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326
k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的函数表达式为362y x =-
+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -
+， ∴2233336(6)34224
DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，
∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =
1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -
+⨯=-+（）， ∴239622
m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =，
∴m 的值为3；
(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况，
∵D 点坐标为15(3,)4
，∴点N 点纵坐标为±154， 当点N 的纵坐标为
154时，如点N 2，
此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,
)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-
时，如点N 3，N 4， 此时233156424
x x -++=-，解得：12114,114x x =-=+ ∴315(114,)4N +-
，415(114,)4N --， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；
以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，
∵115(1,
)4
N -，D(3，154)， ∴N 1D=4，
∴BM 1=N 1D=4，
∴OM 1=OB+BM 1=8，
∴M 1(8，0)， 综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(140)(140)M M M M -，，，，，，，.
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
10．课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC ，它的边BC=120mm ，高AD=80mm ．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm ？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
【答案】（1）240
7
mm，
480
7
mm；（2）PN=60mm，40
PQ mm．
【解析】
【分析】
(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm），根据平行得出△APN和△ABC 相似，根据线段的比值得出y的值，然后得出边长；(2)、根据第一题同样的方法得出y与x的函数关系式，然后求出S与x的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值.
【详解】
(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm）
∵PN∥BC,
∴=，△APN∽△ABC
∴=
∴=
∴=解得 y=
∴2y=
∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm
(2)、设PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面积为S ，则AE=80-x（mm）．.
由（1）知=
∴=
∴ y=
则S=xy=== ∵
∴ S 有最大值
∴当x=40时，S 最大=2400（mm 2） 此时，y==60 ．
∴面积达到这个最大值时矩形零件的两边PQ 、PN 长分别是40 mm ，60 mm ． 考点：三角形相似的应用
11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：
2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．
【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．
（2）存在．S △PBC 最大值为
2716 （3）2m 2
=-
或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】
【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．
（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．
【详解】
解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，
∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （
，0）、B （3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），
把C （0，3
2-）代入可得，12
a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213
y x x 22
=--．
设P （p ，
213
p p 22
--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =2
3
327p 4
2
16
--+（）． ∵3a 4=-
<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716
． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -）， ∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+． ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：
当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+， 解得：12m =22
m =(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+， 解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ． 综上所述，2
m 2
=-
或1m =-时，△BDM 为直角三角形．
12．我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是()2
y=ax bx a 0+≠。

（1）对于这样的抛物线： 当顶点坐标为（1，1）时，a= ；
当顶点坐标为（m ，m ），m≠0时，a 与m 之间的关系式是 ；
（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线()y=kx k 0≠上，请用含k 的代数式表示b ；
（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A 1，A 2，…，A n 在直线y=x 上，横坐标依次为1，2，…，n （n 为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x 轴的垂线，垂足记为B 1，B 2，B 3，…，B n ，以线段A n B n 为边向右作正方形A n B n C n D n ，若这组抛物线中有一条经过点D n ，求所有满足条件的正方形边长。

【答案】（1）－1；1a=m -（2）2b b =k 4a 2a ⎛⎫
-⋅- ⎪⎝⎭
（3）3，6，9 【解析】
解：（1）－1；1
a=m
-。

（2）∵过原点的抛物线顶点2b b 2a 4a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，在直线()y=kx k 0≠上，∴2b b =k 4a 2a ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭。

∵b≠0，∴b=2k -。

（3）由（2）知，顶点在直线y=x 上，横坐标依次为1，2，…，n （n 为正整数，且n≤12）的抛物线为：()2
1y=x n n n -
-+，即21y=x 2x n
-+。

对于顶点在在直线y=x 上的一点A m （m ，m ）（m 为正整数，且m≤n ），依题意，作的正方形A m B m C m D m 边长为m ，点D m 坐标为（2 m ，m ）， 若点D m 在某一抛物线2
1y=x 2x n
-
+上，则 ()()2
1m=2m 22m n -
+，化简，得3m=n 4。

∵m ，n 为正整数，且m≤n≤12，∴n=4，8，12，m=3，6，9。

∴所有满足条件的正方形边长为3，6，9。

（1）当顶点坐标为（1，1）时，由抛物线顶点坐标公式，有2
b
=12a
{4ac b =14a
--，即
2b =12a
{a=1b =14a
-⇒--。

当顶点坐标为（m ，m ），m≠0时，()2
2
b =m 2am 12a
{=m a=4a m b
=m 4a
--⇒-⇒--。

（2）根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将抛物线顶点坐标2b b 2a 4a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，代入y=kx ，
化简即可用含k 的代数式表示b 。

由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判
别式等于0，由此可求出m 的值和D 点坐标。

（3）将依题意，作的正方形A m B m C m D m 边长为m ，点D m 坐标为（2 m ，m ），将（2 m ，m ）代入抛物线2
1y=x 2x n
-
+求出m ，n 的关系，即可求解。

13．如图1，抛物线2:C y ax bx =+经过点(4,0)A -、(1,3)B -两点，G 是其顶点，将抛物线C 绕点O 旋转180o ，得到新的抛物线'C ．
（1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标； （2）如图2，直线12
:5
l y kx =-
经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m （2m <-），连接DO 并延长，交抛物线'C 于点E ，交直线l 于点M ，
2DE EM =，求m 的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得DEP GAB ∠=∠？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
4y x x =--，顶点为：(2,4)G -；（2）m 的值为﹣3；（3）存在，点
P 的横坐标为：7734+-
737
4
． 【解析】 【分析】
（1）运用待定系数法将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，即可求得a 和b 的值和抛物线C 解析式，再利用配方法将抛物线C 解析式化为顶点式即可求得顶点G 的坐标； （2）根据抛物线C 绕点O 旋转180o ，可求得新抛物线'C 的解析式，再将(4,0)A -代入
12
5
y kx =-
中，即可求得直线l 解析式，根据对称性可得点E 坐标，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ，由2DE EM =，即可得
1
3
ME MD =，再证明MEK ∆∽MDH ∆，即可得3DH EK =，建立方程求解即可；
（3）连接BG ，易证ABG ∆是Rt ∆，90ABG ∠=o ，可得
1
tan tan 3
DEP GAB ∠=∠=，在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH 上截取
1
3
OH OE ==E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为
所求的点；通过建立方程组求解即可． 【详解】
（1）将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，得1640
3
a b a b -=⎧⎨
-=⎩
解得1
4a b =-⎧⎨
=-⎩
∴抛物线C 解析式为：24y x x =--，
配方，得：2
2
4(2)4y x x x =--=-++，∴顶点为：(2,4)G -； （2）∵抛物线C 绕点O 旋转180o ，得到新的抛物线'C ． ∴新抛物线'C 的顶点为：'(2,4)G -，二次项系数为：'1a = ∴新抛物线'C 的解析式为：22(2)44y x x x =--=- 将(4,0)A -代入125y kx =-中，得12045k =--，解得3
5
k =-， ∴直线l 解析式为31255
y x =--， ∵2(,4)D m m m --，
∴直线DO 的解析式为(4)y m x =-+，
由抛物线C 与抛物线'C 关于原点对称，可得点D 、V 关于原点对称， ∴2(,4)E m m m -+
如图2，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ， 则3
12(,)55H m m --
，312(,)55
K m m --， ∴2
23121712
4()5555DH m m m m m =-----=--+，
223121712
4()5555
EK m m m m m =+--=++，
∵2DE EM = ∴
1
3
ME MD =， ∵//DH y 轴，//EK y 轴
∴//DH EK
∴
MEK ∆∽MDH ∆ ∴
1
3
EK ME DH MD ==，即3DH EK = ∴2
2171217123()5555
m m m m --+=++ 解得：13m =-，22
5
m =-，
∵2m <-
∴m 的值为：﹣3； （3）由（2）知：3m =-，
∴(3,3)D -，(3,3)E -
，OE =
如图3，连接BG ，在ABG ∆中，∵222
(14)(30)18AB =-++-=，22BG =，
220AG =
∴222AB BG AG +=
∴ABG ∆是直角三角形，90ABG ∠=o ，
∴1
tan 3
BG GAB AB ∠=
==， ∵DEP GAB ∠=∠ ∴1tan tan 3
DEP GAB ∠=∠=
， 在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH
上截取1
3
OH OE =
= 过点E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点； ∵(3,3)E -， ∴45EOT ∠=o ∵90EOH ∠=o ∴45HOT ∠=o
∴(1,1)H --，设直线EH 解析式为y px q =+，
则331p q p q +=-⎧⎨-+=-⎩，解得12
32p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴直线EH 解析式为13
22
y x =-
-，
解方程组213224y x y x x ⎧=--
⎪⎨
⎪=
--⎩，得1177347358x y ⎧--=⎪⎪⎨
-⎪=⎪⎩，2
2773
4
7358x y ⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩
， ∴点P 的横坐标为：7734+-
或737
4
-．
【点睛】
本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定
和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难度较大．
14．如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+． ①求抛物线的解析式．
②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值．
③过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．
【答案】①2
65y x x =-+-；②当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22③点
N 的横坐标为：4或5412+或541
2
． 【解析】 【分析】
①点B 、C 在直线为y x n =+上，则B （﹣n ，0）、C （0，n ），点A （1，0）在抛物线
上，所以2
50
505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩
，解得1a =-，6b =，因此抛物线解析式：
265y x x =-+-；
②先求出点P 到BC 的高h 为2
sin 45(4)2
BP t ︒=
-，于是21122(4)2(2)222222
PBE S BE h t t t ∆=
⋅=⨯-⨯=-+2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22
③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，所以点A 到直线BC 的距离22d =N 作
x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设(
)
2
,65N m m m -+-，则(,0)H m 、
(,5)P m m -，易证△PQN
为等腰直角三角形，即NQ PQ ==4PN =，
Ⅰ．4NH HP +=，所以265(5)4m m m -+---=解得11m =（舍去），24m =，Ⅱ．4NH HP +=，()
2
5654m m m ---+-=
解得152
m =
，252m =（舍
去），Ⅲ．4NH HP -=，(
)
2
65[(5)]4m m m --+----=
，解得152
m =（舍
去），252
m =． 【详解】
解：①∵点B 、C 在直线为y x n =+上， ∴B （﹣n ，0）、C （0，n ）， ∵点A （1，0）在抛物线上，
∴2
50505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩
， ∴1a =-，6b =，
∴抛物线解析式：265y x x =-+-； ②由题意，得，
4PB t =-，2BE t =，
由①知，45OBC ︒∠=， ∴点P 到BC 的高h
为sin 45(4)2
BP t ︒=-，
∴211(4)2(2)2222
PBE S BE h t t t ∆=
⋅=⨯-⨯=-+ 当2t =时，△PBE
的面积最大，最大值为 ③由①知，BC 所在直线为：5y x =-， ∴点A 到直线BC
的距离d =
过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ． 设(
)
2
,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -， 易证△PQN
为等腰直角三角形，即NQ PQ == ∴4PN =， Ⅰ．4NH HP +=， ∴265(5)4m m m -+---= 解得11m =，24m =，
∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形， ∴4m =；
Ⅱ．4NH HP +=， ∴(
)
2
5654m m m ---+-=
解得1m =
，2m =
∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
5m >，
∴m =
， Ⅲ．4NH HP -=，
∴()
2
65[(5)]4m m m --+----=，
解得1m =
，2m =
∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
0m <，
∴m =
， 综上所述，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为：4或
52+或52
． 【点睛】
本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．
15．如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线
2y x bx c =-++过A 、B 两点，且与x 轴交于另一点C ．
（1）求b 、c 的值；
（2）如图1，点D 为AC 的中点，点E 在线段BD 上，且BE=2ED ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 的坐标；
（3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内以点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在他们的左侧作等边△APR ，等边△AGQ ，连接QR ①求证：PG=RQ ；
②求PA+PC+PG 的最小值，并求出当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标．
【答案】（1）b=﹣2，c=3；（2）M （125-
，5125
）；（3）①证明见解析；②PA+PC+PG 的最小值为19P 的坐标（﹣919，12319
）． 【解析】
试题分析：（1）把A （﹣3，0），B （0，3）代入抛物线2
y x bx c =-++即可解决问题．
（2）首先求出A 、C 、D 坐标，根据BE=2ED ，求出点E 坐标，求出直线CE ，利用方程组求交点坐标M ．
（3）①欲证明PG=QR ，只要证明△QAR ≌△GAP 即可．②当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ，由sin ∠ACM=
AM AC =NQ
QC
求出AM ，CM ，利用等边三角形性质求出AP 、PM 、PC ，由此即可解决问题．
试题解析：（1）∵一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A （﹣3，
0），B （0，3），∵抛物线2
y x bx c =-++过A 、B 两点，∴3{930
c b c =--+=，解得：2{3
b c =-=，∴b=﹣2，c=3． （2），对于抛物线2
23y x x =--+，令y=0，则2230x x --+=，解得x=﹣3或1，∴
点C 坐标（1，0），∵AD=DC=2，∴点D 坐标（﹣1，0），∵BE=2ED ，∴点E 坐标
（2
3
-，1），设直线CE 为y=kx+b ，把E 、C 代入得到：2
1{30
k b k b -+=+=，解得：
35{35k b =-=，∴直线CE 为3355y x =-+，由233{5523y x y x x =-+=--+，解得10x y =⎧⎨=⎩或12
5
{5125
x y =-=，
∴点M 坐标（125-
，51
25
）． （3）①∵△AGQ ，△APR 是等边三角形，∴AP=AR ，AQ=AG ，∠QAC=∠RAP=60°，∴∠QAR=∠GAP ，在△QAR 和△GAP 中，∵AQ=AG ，∠QAR=∠GAP ，AR=AP ，
∴△QAR≌△GAP，∴QR=PG．
②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC，∴当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K．∵∠GAO=60°，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，
∠AGO=30°，∵∠QGA=60°，∴∠QGO=90°，∴点Q坐标（﹣6，33），在RT△QCN中，
QN=33，CN=7，∠QNC=90°，∴QC=22
QN NC
+=219，∵sin∠ACM=AM
AC
=
NQ
QC
，
∴AM=657，∵△APR是等边三角形，∴∠APM=60°，∵PM=PR，cos30°=AM
AP
，
∴AP=1219
19，PM=RM=
619
19
，∴MC=22
AC AM
-=
1419
19
，∴PC=CM﹣
PM=819
19
，∵
PK CP CK
QN CQ CN
==，∴CK=28
19
，PK=
123
19
，∴OK=CK﹣CO=
9
19
，∴点P坐
标（﹣
9
19
，
123
），∴PA+PC+PG的最小值为219，此时点P的坐标（﹣
9
19
，
123
）．
考点：二次函数综合题；旋转的性质；最值问题；压轴题．。