必修4教学问答

数学地研究现实世界的一个范例
——高中课程标准实验教科书必修《数学4》（苏教版）教学问答 樊亚东（苏州中学园区校 215021）
问：怎样理解和把握数学必修4全书的整体结构？
答：数学（必修4）共有三章内容，第1章“三角函数”，第2章“平面向量”，第3章“三角恒等变换”。

各章内容均围绕着对同一个背景进行数学研究的过程而逐层展开，教材结构新颖独特，整体互通，密切相连。

全书的整体结构如下：
问：能具体地阐述各章节是以怎样的模式而“生成长大”？
答：第1章《三角函数》，首先从自然界广泛的周期性现象中聚焦到圆周上一点的运动，这是一个简单又基本的例子，是一个待解剖的“小麻雀”。

于是问题自然地提出：用什么样的数学模型来刻画周期性运动？这就明确了任务：建构这样的数学模型，同时也指明了教学起点：对周期性现象的数学（分析）研究；
即建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程。

本章定位为“展示建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程”，作为定位的具体体现，教材有如下鲜明的特点：
特点1 采用以问题链为线索的呈现方式“生长知识”
教材要展示“思维过程”，而思维是从问题开始的，思维的过程就是不断地提出问题，解决问题的过程。

教材采用了以问题链展开的呈现方式，在提出问题的环节，问题间的逻辑递进，以及问题对强化目标（建构刻画周期性现象的数学模型）的指向作用等方面进行了精心设计。

例如，教材P12在提出：“怎样将锐角三角函数推广到任意角？”之前，还安排了一个问题：“用怎样的数学模型模型建立(x , y )与(r , α)之间的关系？”这就是考察锐角三角函数的“理由”。

那么，怎么又想到要研究(x , y )与(r , α)间的关系的呢？这是因为用(r , α)(x , y )都可以表示圆周上的点。

那么，为什么要表示圆周上的点呢？这是为了刻画圆周上点的运动。

那么为什么要刻画圆周上点的运动呢？这是因为它是周期现象的“一个简单又基本的例子”。

为什么要研究周期现象呢？因为我们的任务就是要“建构刻画周期性现象的数学模型。

”这里的问题串，揭示了建构数学模型的思维过程，揭示了数学知识间的联系。

在问题串的指引下，师生可以真正主动地参与建构数学的活动。

特点2 以“数学地研究”的一般程序来组织、选取教学内容
（1）教材展开的主线如下：
（2）教材充分发挥学习“函数”一章的经验在建构“刻画周期性现象的数学模型”中的作
用，在结构上尽可能地与“函数”一章相同。

（3）为了突出“建构—研究—应用”这一主线，教材对传统的教学内容做了“强干削技”的处理。

如，抽出“三角变换”的内容，另立一章；把6种三角函数减为3种，突出了基本的数学思想和数学地研究问题的方法。

特点3 突出周期性
（1）本章的研究对象是周期性现象，建构的是“刻画周期性现象的数学模型”，教材突出了周期性，它是教材的出发点和归属。

（2）首先研究“三角函数的周期性”，为此专门列了一节。

三角函数的周期性，不是由图象得到的，而是从三角函数的定义，从终边位置周而复始的出现，从诱导公式，即从以前的研究过程中得到的。

相反，三角函数周期性的研究为后续图象与性质的研究起了铺垫作用。

（3）在正式研究三角函数的性质之前，教科书就从总体上作出了判断：“周而复始的基本性质必然蕴含在三角函数的性质之中”，因为三角函数就是我们为刻划周期运动而建构的数学模型。

这样的判断对不对呢？这就促使我们来研究三角函数具有哪些性质？首先什么是“周而复始的基本性质？“这样就提出了本小节的问题：如何用数学语言刻划函数的周期性？这样的设计，不仅为三角函数性质的学习提供了问题背景，突出了本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题，而且充分地发挥了理性思维的作用。

周期函数的定义是学习中的一个难点。

同学们可以从“周而复始的重复出现”出发，如“白天黑夜、白天黑夜”，一步步地使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”、“自变量每增加或减少一个值函数值就重复出现”等逐步抽象出函数周期性的定义。

特点4加强几何直观，强调形数结合的思想
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系。

在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与x轴的交点等性质；另一方面以数助形，例如，应用三角函数的周期性来简化函数图象的作图．值得一提的是诱导公式的推导。

首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等。

除此以外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称，关于原点对称等，那么它们之间的三角函数值之间具有什么样的关系呢？”
导出公式的程序如下：
上述推导方式本意有三点：
（1）问题是“从对三角函数的性质进行研究”这个主题中派生出来的，是对“模型”研究的一个有机的组成部分，而不是为了将任意角转化为锐角以便查表求值才来讨论诱导公式。

（2）三角函数的值是由角的终边的位置决定的，因此从终边的位置关系提出问题就更为合理。

（3）突出了形数结合思想。

特别是教材中，在小结时，更是深刻地揭示了诱导公式的本质：“诱导公式所揭示的是终边有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系。

换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系”翻译“成三角函数之间的代数关系。

第2章《平面向量》仍然从圆周上一点的表示(r, )出发，导出“既要考虑大小（r），又要
考虑方向（α）”；而自然界广泛地存在着“既要考虑大小，又要考虑方向”的现象，如力、速度。

接着提出问题：用什么样的数学模型来刻画力、速度这样的量；这就明确了任务：建构这样的数学模型，同时也指明了教学起点：对向量的数学（分析）研究。

本章作为展示对向量进行数学研究的过程，即建构刻画“既有大小，又有方向”的量的数学模型的（思维）过程。

有下列主要特点：
特点1 主背景源于第一章。

另外，本章特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引人向量概念。

章头图中矫健的银燕连同它身后的航迹，像利箭直插天穹。

它使人联想到下面的问题：怎样表示运动物体的位移和速度呢？于是建构向量的思维活动就此展开了。

引言首先说明了本章的研究课题是第1章研究内容的拓展。

三角函数可以看成是圆周上一点P 绕圆周运动的数学模型。

而向量则是为了刻画更一般的运动而建立的数学模型。

这时，只有同时考虑点P 的方向和大小才能确定点P 的位置。

接着引言又指出，在生活中，既有大小又有方向的量是很多的，如位移、速度、力等等都是。

这样就从知识结构和现实生活两个方面为向量的研究提供了广阔的背景。

在此基础上，引言提出了问题：用什么样的数学模型来刻划位移、速度、力这样的量？这个数学模型有什么性质与应用？
这就是本章的中心问题，也是本章的知识增长点。

特点2 采用以问题链为线索的呈现方式
例如，“用什么样的数学模型来刻划位移，速度、力这样的量？”，“这样的数学模型有什么
性质与应用？”（教材P56），“这里的向量OA →，AB →，OB →之间什么关系？”（教材P61）。

特点3 按照数学模型研究的一般程序展开教材
（1）和《函数》、《三角函数》类似，本章也是对一种数学模型的研究。

教材也是按照对数学模型研究的一般程序即“建构模型——研究模型——应用模型”的顺序展开的。

这样的顺序不仅符合向量知识的发展过程，而且可以唤起学生在《函数》、《三角函数》学习中获得的经验，在助于发挥学生在学习中的主动权。

（2）本章首先现实根据学生的生活经验，从实际背景中抽象出向量的概念（数学模型），然后用数学的方法研究向量及其运算的性质，最后再运用数学模型去解决实际问题．这样处理体现了数学知识产生和发展的过程，突出了数学的来龙去脉，有助于同学们理解数学的本质，形成对数学完整的认识，达到培养创新思维和理性思维的目的，同时也有助于数学应用意识的发展．
特点4 承前启后，在延伸第一章的同时，为第三章作好铺垫
例如，教材P83：“设向量a = (cos75︒, sin75︒)，b = (cos15︒, sin15︒)，试分别计算a ⋅ b = | a | | b |cos θ及a ⋅ b = x 1x 2 + y 1y 2．比较两次计算的结果，你能发现什么？”
在第1章中，我们迈出了对周期现象研究的第一步：建立了一种描述和刻划周期现象的重要的数学模型，并初步探讨了它的性质。

而在第3章中，我们又将以向量为工具来进一步探讨三角函数的性质。

因此，从整体上看，《向量》的学习应该放在对周期性现象的研究这一大背景下进行。

这样可以更好地体现向量这工具价值。

第3章《三角恒等变换》又回到第一章的主背景：圆周上一点的运动。

并提出引向纵深的另一个基本基本问题：周期运动的叠加；经过向量方法的解析引出本章的主问题：cos(α - β) 能否用α的三角函数和β的三角函数来表示？这就明确了任务：导出用单角的三角函数来表示和（差）角的三角函数的公式；进而展示“用演绎方法，建立数学知识体系的一个范例”。

本章的教学起点是：“对刻画周期性现象的数学模型的进一步的研究”。

与其他教材相比，这一点很不一样。

本章的主要特点如下：
特点1 主背景仍源于第一章。

从章头图中我们又看到了大海——浩瀚的大海中朵朵卷起的浪花，潮涨潮落。

这暗示着本章
和第1章《三角函数》的联系。

事实上，本章讨论的主题是三角函数的运算，它是笫1章的延伸
和发展。

循着第1章的轨迹，在引言中，提出了“周期运动的叠加”的问题。

（两个简谐运动叠加后
是否还是简谐运动？）
接着，课本以向量为工具对一个特例进行了分析，提出了一个具体的问题：sin x+ cos x能
够恒等变形为A sin(ωx+ϕ)的形式吗？这不仅引出了用向量方法推导cos(α-β)公式的“预演”，而且由此提出了本节的研究课题：cos(α-β)能否用α的三角函数与β的三角函数来表示？这样就抓住了本章知识的增长点，从此展开了探索活动。

这样的安排，就为三角变换的学习提供了一个
源头，使它不仅仅是一种抽象的形式变换，而且成为“对周期性现象建立数学模型”（这正是本
教学模块的这样一个大课题）的研究中的重要组成部分。

这就把演绎的知识结构放在“对周期性
现象作数学研究”的大背景下展开，使得全书三章内容密切相连，浑然一体。

在这个引言中，突出了向量的工具作用，既紧密地联系着第二章，又为用向量方法推导两角
差的余弦公式做好铺垫。

这是一个逻辑的演绎的体系，为了突出三角函数的主
干内容，特别是突出三角函数作为描述周期变化的数学模
型这一本质，这个演绎的体系是放在对周期现象进行研究
的大背景下建立的。

首先，在引言中就从周期运动合成的
角度提出三角变换的课题，在讨论了和差角公式以后，课
本又通过“链接”，给出了正弦函数、余弦函数叠加的问题的结论。

本章就构成了一个相对完整
的数学发现和应用的过程。

这样有助于同学们从总体上理解三角变换。

特点3 删繁就简，强干削枝
在过去的课本中，往往把三角变换单纯地视为基本的技能训练，强调反复的练习和操作，强
调三角变换的具体方法和技巧，造成了公式头绪多，练习习题难，技巧方法刁的现象。

和过去相
比，本章突出公式的发现和推导过程，重视在三角变换中的思维活动和过程，以及指导这些活动
的思想方法。

同时降低了对三角变换的要求。

特别是不再要求用积化和差、和差化积、半角公式
等作复杂的恒等变形，而把推导积化和差、和差化积、半角公式作为三角恒等变换的基本训练，
避免任意加大三角变换的难度，防止了在三角变换中深挖洞的现象。

这些和过去的教材是有明显
区别的。

问：教师在具体的教学过程中应注意哪些问题？
答：（1）要突出数学模型思想。

充分利用章引言提供的情境，利用学习《函数》的经验，
自觉地参与建构刻画周期现象的数学模型的活动，在学习之初就建立起从数学模型的角度看三角
函数的意识。

（2）以问题为中心。

以“问题串”为载体，充分发挥理性思维在建构数学模型中的作用。

在感悟和理解通过问题串，揭示建构数学模型的思维过程，揭示数学知识间的联系的同时，学会
提出问题，注重学会发现。

例如，余弦的差角公式的推导是教学的重点和难点，它不仅是推导正弦的和（差）角公式、
正切的和（差）角公式以及倍角公式的基础，而且其推导过程本身就具有重要的教育价值。

它是
)有着怎样的多维景观？
怎么被发现的？等式cos x+ sin x=2cos(x-π
4
（3）加强相关知识的联系，注意章节之间的铺垫与呼应，形与数的结合。

发挥单位圆、三
角函数线、图象的直观作用。

（4）运用和深化函数思想方法。

三角函数是高中阶段系统学习的又一个基本初等函数，应
当注意运用《数学（必修l）》中学到的研究函数的方法为指导来学习本章知识，即在函数观点的
指导下，学习三角函数。

例如：用集合与对应的函数观点看三角函数，这是一种“多对一”的函
数；用函数研究中的基本问题（对应关系、定义域、值域、表示方法、图象，性质等）来理解学习三角函数的进程；在讨论y=A sin(ωx+ϕ)的图象时，渗透函数变换与图象变换（平移、伸）的关系。

（5）突出向量运算的核心地位
和函数这样的数学模型不同，向量有它的特点，在向量的教学中，要特别重视向量的运算。

运算是向量的核心内容，要根据现实的原型，自觉地“构造”运算。

虽然我们对运算并不陌生，但是，我们眼中的运算只有数的运算、字母（式）的运算。

现在要学习向量的运算，这对于运算的理解有一个突破。

多注意和数的运算进行类比，这样既可以有效地利用有关数的运算的经验，而且可以发展对运算的认识。

例如：在定义了运算以后，和数进行类比，研究向量的运算（加、减、数乘等等）和它们满足的运算律，探讨运算的应用，就都是很自然的了。

和数学中的概念一样，数学对象的运算也是一种数学模型，它也有一个建构的过程，它同样是从原型中抽象出来的。

如向量的加法就是从位移的积累，从分力和合力的关系中抽象出来的。

特别地，向量的数量积是以作功为原型抽象出来的。

（6）恰当地使用信息技术。

有条件应尽量使用计算器（机）。

把计算机变成学习的好伙伴。

结束语
“三角函数”、“平面向量”、“三角恒等变换”犹如一棵大树的三大分枝，作为一个简单又基本的周期运动的例子，“圆周上一点的运动”则是这棵大树的“根”。

相信在教师的精心引导下，学生在走近这棵大树，感悟它枝繁叶茂，博大精深的同时，也一定懂得了许多数学生长的规律，懂得了许多学习数学和学会学习的基本原理。