初中数学整数指数试题

第五讲 整数指数
一、知识要点
1、定义：
a
n n a aa a 个= （n ≥2,n 为自然数） 2、整数指数幂的运算法则：
（1）n m n m a a a +=⋅
（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠≠=≠==÷=--0,10,1
0,a n m a
a n m a n m a a a a m n n m n m n m （3）mn n m a a =)(，n n n
b a ab ⋅=)(，)0()(≠=b b a b a n n
n
3、规定：a 0=1(a ≠0) a -p =p a
1(a ≠0,p 是自然数)。

4、当a ，m 为正整数时，a m 的末位数字的规律：
记m=4p+q ，q=1,2,3之一，则q p a
+4的末位数字与q a 的末位数字相同。

二、例题示范
例1、计算 (1) 55⨯23 (2) (3a 2b 3c)(-5a 3bc 2)
(3) (3a 2b 3c)3 (4) (15a 2b 3c)÷(-5a 3bc 2)
例2、求1003100210011373⨯⨯的末位数字。

提示：先考虑各因子的末位数字，再考虑积的末位数字。

例3、123021377-是目前世界上找到的最大的素数，试求其末位数字。

提示：运用规律2。

例4求证：)5432(|52000199919981997+++。

提示：考虑能被5整除的数的特征，并结合规律2。

例5、已知n 是正整数，且x 2n =2，求(3x 3n )2-4(x 2)2n 的值。

提示：将所求表达式用x 2n 表示出来。

例6、求方程(y+x)1949+(z+x)1999+(x+y)2002=2的整数解。

提示：|y+z|,|z+x|,|x+y|都不超过1，分情况讨论。

例7、若n 为自然数，求证：10|(n 1985-n 1949)。

提示：n 的末位数字对乘方的次数呈现以4为周期的循环。

例8若y x y x 9292=，求x 和y 。

结论：x=5,y=2。

例9、对任意自然数n 和k ，试证：n 4+24k+2是合数。

提示：n 4+24k+2=(n 2+22k+1)2-(2n ⋅2k )2。

例10、对任意有理数x ，等式ax -4x+b+5=0成立，求(a+b)2003.。