2020年绍兴市数学高二第二学期期末质量检测试题含解析

2020年绍兴市数学高二第二学期期末质量检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数2()ln sin 1f x x x x =+++的导函数是（）
A ．12cos 1x x x
+
++ B ．12cos x x x -
+ C ．12cos x x x +- D ．12cos x x x ++ 【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数的公式即可得到结论．
【详解】 解：由2()ln sin 1f x x x x =+++，得1()2cos f x x x x
'=++ 故选：D ．
【点睛】
本题考查了导数的基本运算，属基础题．
2．曲线324y x x =-+在点(1
3)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30°
B ．60°
C ．45°
D ．120°
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】 324y x x =-+求导得：2'32y x =-
在点(1,3)处的切线斜率即为导数值1.
所以倾斜角为45°.
故选C.
3．已知变量x ，y 满足回归方程y bx a =+，其散点图如图所示，则（ ）
A ．0a <，0b >
B ．0a >，0b >
C ．0a <，0b <
D ．0a >，0b <
【解析】
【分析】
由散点图知变量,x y 负相关，回归直线方程的斜率小于1；回归直线在y 轴上的截距大于1．可得答案.
【详解】
由散点图可知，变量,x y 之间具有负相关关系．
回归直线l 的方程y bx a =+的斜率0b <．
回归直线在y 轴上的截距是正数0a >．
故选：D
【点睛】
本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是基础题．
4．设i 是虚数单位，则复数22i i -
的虚部是（ ） A ．2i
B ．2
C ．2i -
D ．2-
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部.
【详解】 2222112i i i i i
-=--=-+，因此，该复数的虚部为2，故选B. 【点睛】
本题考查复数的概念，考查复数虚部的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.
5．8张卡片上分别写有数字12345678、、、
、、、、，从中随机取出2张，记事件A =“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件B =“所取2张卡片上的数字之和小于9”，则()|=P B A （ ）
A ．16
B ．13
C ．12
D ．23
【答案】C
【解析】
【分析】
利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概率公式()
P B A = ()()
P AB P A 可得出答案。

事件AB 为“所取2张卡片上的数字之和为小于9的偶数”，以(),a b 为一个基本事件，则事件AB 包含的基本事件有：()1,3、()1,5、()1,7、()2,4、()2,6、()3,5，共6个，
由古典概型的概率公式可得()286314
P AB C ==， 事件A 为“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，则所取的两个数全是奇数或全是偶数，
由古典概型的概率公式可得()2428237
C P A C ==，因此，()()()3711432P AB P B A P A ==⨯=， 故选：C 。

【点睛】
本题考查条件概率的计算，数量利用条件概率公式，是解本题的关键，同时也考查了古典概型的概率公式，考查运算求解能力，属于中等题。

6．用数学归纳法证明“533*1232n n n n N ++++
+=∈，”，则当1n k =+时，应当在n k =时对应的等式的左边加上（ ）
A ．3k 1+
B ．()31k +
C ．()()()333k 1k 21k ++++
++ D ．54 【答案】C
【解析】
【分析】
由数学归纳法可知n k =时，左端3123k ++++，当1n k =+时，3123k ++++
33(1)(1)k k +++
++，即可得到答案.
【详解】 由题意，用数学归纳法法证明等式5331232n n n ++++
+=时， 假设n k =时，左端3123k +++
+， 当1n k =+时，3123k ++++33(1)(1)k k +++++，
所以由n k =到1n k =+时需要添加的项数是33(1)(1)k k ++
++，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了数学归纳法的应用，着重考查了理解与观察能力，以及推理与论证能力，属于基础题.
7．设复数（是虚数单位），则复数的虚部是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】A
【解析】 由，得，故其虚部为，故选A.
8．若复数z 满足
20171z i i =-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1i -
B ．1i +
C ．1i --
D ．1i -+
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】 由
2017i 1i
z =-，得()()()50420174i 1i i i 1i 1z i =-=-=+，则1i z =-，故选A. 9．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）
A ．8225
B ．12
C ．34
D ．38
【答案】D
【解析】
分析：根据条件概率求结果.
详解：因为在下雨天里，刮风的概率为既刮风又下雨的概率除以下雨的概率，所以在下雨天里，刮风的概率为1
31048
15
=， 选D.
点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力.
10．已知关于x 的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点是(2,1)，则这个方程可以是（ ） A ．2450x x -+= B ．2450x x ++=
C ．2430x x -+=
D ．2430x x +-=
【答案】A
【解析】
【分析】 先由题意得到方程的两复数根为2=+x i ，2=-x i (i 为虚数单位)，求出+x x ，xx ，根据选项，即可得出结果. 【详解】 因为方程的根在复平面内对应的点是(2,1)， 可设根为：2=+x i ，(i 为虚数单位)，所以方程必有另一根2=-x i ， 又224+=++-=x x i i ，()()225=+-=xx i i ，
根据选项可得，该方程为2450x x -+=.
故选A
【点睛】
本题主要考查复数的方程，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.
11．已知为坐标原点，点、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，且，
与轴交于点，则
的值为（ ） A ． B ．
C ．
D ． 【答案】B
【解析】
【分析】
根据且为中点可知，又为椭圆的半通径，可得，从而求得结果.
【详解】
如下图所示：
由可知：且为椭圆的半通径
为中点为的中位线
又
本题正确选项：
【点睛】
本题考查椭圆几何性质的应用，关键是能够熟练掌握椭圆通径长和对称性，属于基础题.
12．设函数f（x）＝xlnx的图象与直线y＝2x+m相切，则实数m的值为（）
A．e B．﹣e C．﹣2e D．2e
【答案】B
【解析】
【分析】
设切点为（s，t），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得s，t，进而求得m．
【详解】
设切点为（s，t），f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，
可得切线的斜率为1+lns＝2，解得s＝e，
则t＝elne＝e＝2e+m，即m＝﹣e．
故选：B．
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题
13．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好．”
乙说：“我们四人中有人考的好．”
丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”
丁说：“我没考好．”
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的______________两人说对了．
【答案】乙 ，丙
【解析】甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确。

故答案为：乙，丙。

14．已知复数a bi +（a ，b 为常数，,a b ∈R ）
是复数z 的一个平方根，那么复数z -的两个平方根为______. 【答案】ai b -,ai b -+
【解析】
【分析】
由题可知()2a bi z +=,再对z -开根号求z -的两个平方根即可.
【详解】
由题()2a bi z +=,故()()()()222222a bi z i
a bi ai bi ai
b -+=-=+=+=-, 即()2z ai b -=-,故复数z -的两个平方根为ai b -与ai b -+
故答案为：ai b -,ai b -+
【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算,运用21i =-即可联系z -与()2a bi z +=的关系,属于基础题型. 15．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AC AA === ,E F 分别是,BA 11A C 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所成角的余弦值为10，则线段BD 的长为_______．
【答案】2【解析】
【分析】
以E 为原点，EA,EC 为x,y 轴建立空间直角坐标系，设(0,,2)(11)D t t -≤≤，用空间向量法求得t ，进一步求得BD.
【详解】
以E 为原点，EA,EC 为x,y 轴建立空间直角坐标系，如下图．
31(0,0,0),(,,2),(0,1,0),
(0,,2)(11)22
E F B D t t --≤≤ 31(,,2),(0,1,2)22
EF BD t ==+ 2(1)4102cos 5(1)4
t EF BD EF BD t θ++⋅===⋅++ 解得t=1，所以22BD =，填22．
【点睛】
利用空间向量求解空间角与距离的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
16．在6(2x x +
二项式展开式中，第五项为________. 【答案】60
【解析】
【分析】
根据二项式()n
a b +的通项公式1r n r r r n T C a b -+=求解. 【详解】
二项式6
2x x ⎛+ ⎝
的展开式的通项公式为： ()366621662=2r r r r r r r T C x C x x ---+= ， 令4r =，则3644
22416260T C x -⨯+==，
故第五项为60.
【点睛】
本题考查二项式定理的通项公式，注意1r T +是第1r +项.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 的前n 项和()312n n S a =
-，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设321log n n b a -=，*n N ∈，求数列12·n n b b +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】（1）3n n a =；（2）221
=+n n T n 【解析】
【分析】
（1）将1n =代入可求得1a .根据通项公式与前n 项和的关系1n n n a S S -=-,可得数列{}n a 为等比数列,由等比数列的通项公式即可求得数列{}n a 的通项公式.
（2）由（1）可得数列{}n b 的通项公式,代入12·
n n b b +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭中,结合裂项法求和即可得前n 项和n T . 【详解】 （1）当1n =时,由()11312
a a =
-得13a =； 当2n ≥时,由()1132n n n n n a S S a a --=-=- 得()1
32n n a n a -=≥ {}n a ∴是首项为3,公比为3的等比数列
3n n a ∴=
当1n =,13a =满足此式
所以3n n a =
（2）由（1）可知21213n n a --=
213log 321n n b n -∴==-
()()2211·121212121
n n b b n n n n ∴==-+-+-+, 1111113352121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1212121
n n n =-=++ 【点睛】
本题考查了通项公式与前n 项和的关系,裂项法求和的应用,属于基础题.
18．已知函数2()sin sin 2222ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭x x x f x . （1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；
（2）求()f x 在区间[],0π-上的最大值和最小值
【答案】（1）最小正周期2.T π=增区间为()52,266k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦；（2）
和1+-. 【解析】
【分析】
（1）先将函数化简整理，得到()sin 32f x x π⎛⎫=+
+ ⎪⎝⎭，再由正弦函数的性质，即可得出结果； （2）先由x 的范围，得到3x π+
的范围，进而可得出结果. 【详解】
(1)因为()2sin cos 222
x x x f x =+
1sin sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭ 所以()f x 的最小正周期2.T π= 由22,232π
π
π
ππ-+≤+<+∈k x k k Z ， 所以522,66
ππππ-+≤<+∈k x k k Z ， 因此，增区间为()52,266k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦ (2)因为[],0x π∈-，所以2,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦
.
所以当33x π
π
+=，即0x =时，函数()f x 取得最大值sin 3π
=
当32x π
π
+=-，即56x π=-时，函数()f x 取得最小值12-+
所以()f x 在区间[]
,0π-上的最大值和最小值分别为3和31.2
-+ 【点睛】
本题主要考查三角函数，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.
19．如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为直角梯形，90ABC ∠=︒，PA BD ⊥，1
2
BC CD AB ==
，PA PD =.
（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；
（2）若直线PA 与平面ABCD 所成角为45︒，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）3
【解析】
分析：（1）根据题意，设法证明BD ⊥平面PAD ，即可证得平面PAD ⊥平面ABCD ；；
（2） 如图以D 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值. 详解：
（1）证明：因为ABCD 为直角梯形，90ABC ∠=，
又因为1
2
BC CD AB ==
，所以2AD BD BC ==， 所以22224AD BD BC AB +==，所以AD BD ⊥,
又因为PA BD ⊥，AD PA A ⋂=，所以BD ⊥平面PAD ， 又因为BD ⊂平面ABCD ， 所以平面PAD ⊥平面ABCD ；
（2）作PE AD ⊥于E ，因为PA PD =，所以E 为AD 中点，
由（1）知平面PAD ⊥平面ABCD ，
且平面PAD ⋂平面=ABCD AD ，
所以PE ⊥平面ABCD ，
所以PAE ∠为直线PA 与平面ABCD 所成的角， 设1BC =，因为45PAE ∠=，
AD =
，所以2
PE =
， 如图以D 为原点建立空间直角坐标系，则
P ⎝⎭
，()
B
，C ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，PC ⎛=- ⎝⎭ 9分
设平面PBD 法向量(),,n x y
z =，则
002200n DP x z n DB ⎧⋅=+=⎪⇒⎨
⎨⋅=⎪⎪⎩=⎩
，取1x =，则1,0z y =-=， 所以平面PBD 一个法向量()1,0,1n =-， 设PA 与平面PBD 所成角为θ，则
2
2sin 63PC n PC n
θ⋅==⨯,
所以直线PA 与平面ABD 点睛：
本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面垂直等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数学结合思想，化归与转化思想
20．已知抛物线22y x = 与直线:2l x ty =
+ 相交于A 、B 两点，点O 是坐标原点. （Ⅰ）求证：OA ⊥OB ；
（Ⅱ）当△OAB
的面积等于时，求t 的值. 【答案】（I ）见解析；（II ）t =【解析】 【分析】
（Ⅰ）联立抛物线与直线方程，得到关于y 的一元二次方程，进而应用根与系数的关系即可证明OA ⊥OB ； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，建立t 的方程，即可得到答案． 【详解】
（I ）由2222402
y x y ty x ty ⎧=⇒--=⎨=+⎩ ，设()11 , A x y ，()22, B x y 则12122–4y y t
y y +=⎧⎨=⎩.
∴ 22
2
12121212(4)(4)044
y y OA OB x x y y y y →
→
-⋅=+=+=-+=
∴ OA OB →→
⊥ （II ）设:2l x ty =+与x 轴交于E , 则() 2 , 0 E ，∴2OE =，
12121
2
()OAB
S
OE y y y y =
+=-==
解得：t =【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质的知识点，直线和抛物线的位置关系，可通过直线方程与抛物线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，同时注意过焦点的弦的一些性质，属于中档题． 21．已知函数()()ln f x a x a R =∈，()2
142
g x x x =
-. （1）若函数()f x 的图象与直线2y x =相切，求实数a 的值；
（2）设函数()()()h x f x g x =+在区间()1,3内有两个极值点()1212,x x x x <. （ⅰ）求实数a 的取值范围；
（ⅱ）若()()1212h x h x mx x -≤恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）2a e =.（2）（ⅰ）()3,4；（ⅱ）4
ln 3,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
()1求导并设出切点，建立方程组，解出即可；
()2（ⅰ）求导得()244'a x h x x a x x x
-+=+-=
，令()2
4m x x x a =-+，则函数()m x 在()1,3上有两个零点1x ，2x ，由此建立不等式组即可求解；
（ⅱ）由根与系数的关系可得124x x +=，12x x a =，且()()12h x h x >，故()1
122
2x aln
x x am x --≤，通过换元令12x t x =，可得212t m lnt t -≥-，令()211,,123t n t lnt t t -⎛⎫=-
∈ ⎪⎝⎭
，由导数研究其最值即可． 【详解】 （1）由()'2a f x x =
=得2
a
x =，
所以切点为,2a a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，代入()ln f x a x =， 即ln
2
a
a a =，得2a e =. （2）()()()2
1ln 42
h x f x g x a x x x =+=+
-， ()244'a x h x x a
x x x
-+=+-=
， （ⅰ）由题意知方程240x x a -+=在()1,3内有两个不等实根，
可得2
216401403120a a a =->⎧⎪-+>⎨⎪-+>⎩
，解得34a <<，
故实数a 的取值范围为()3,4.
（ⅱ）因为()()1212h x h x mx x -≤恒成立， 所以()()1212
h x h x m x x -≥
恒成立，
由（ⅰ）知124x x +=，12x x a =(12x x <，34a <<)，
当()12,x x x ∈，240x x a -+<，所以()'0h x <，则()h x 在区间[]
12,x x 上为单调减函数， 故()()12h x h x >，
()()()()()22
1212121212
12
1ln ln 42a x x x x x x h x h x x x x x -+
----=
()()()22
121212121212
ln x x x x x x x x x x ---+=+
112221
ln
22x x x
x x x =-+， 令
12
x t x =，由12123x x <<<<得12113x
x <<，
记()11ln 1223t g t t t t ⎛⎫
=-
+<< ⎪⎝⎭
， 因为()()2
22
111022'12t t t t g t -=--=-<，
所以()g t 在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，所以()g t 在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上的取值集合为40,
ln 33⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 因为()()1212
h x h x m x x -≥恒成立，
所以4
ln 33
m ≥
-， 故实数m 的取值范围为4ln 3,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
本题主要考查导数的综合运用，主要是考查利用导数研究函数的单调性及最值，当有多个变量时，首先应该想到的是减少变量个数，即降元思想，本题属于较难题目． 22．设
01()()()(1)()(1)()(n r r n p x a n p a n p x a n p x a n p x +=+-++-++-，，，，1)n ，其中p ∈R ，
n N *∈，()r a n p ，（r ＝0，1，2，…，n ）与x 无关． （1）若2(5)a p ，＝10，求p 的值； （2）试用关于n 的代数式表示：
(1)(0)n
i
i i a n =+∑，
； （3）设0
(1)n
n i i T a n n ，==
-∑，1n c =，试比较1
2ln
21n
i i i c c =-∑与ln(21)
2
n c +的大小． 【答案】 (1) 0p =.
(2)
1
(1)(,0)(2)2
n
n i
i i a n n -=+=+∑.
(3)
1
2ln(21)
ln
212
n
i n i i c c c =+>-∑.
【解析】
分析：（1）先根据二项式展开式通项公式得()()3
2
255,110a p C p =+=，解得p 的值；
（2）先由0p =得()()001n
r
n
r r x a n x ==-∑，,再得()()()1
101n
r n
r r x
x a n x +=-=-∑，
, 等式两边对x 求导，得
()()()()1
1101n
r
n n
r r nx
x x
r a n x ，-=-+=+-∑；最后令2x =得结果，（3）先求n c n T 与，化简不等式为比
较()11111132
1n ⎛
⎫⎛⎫++
+ ⎪ ⎪-⎝
⎭⎝⎭
的大小关系，先计算归纳得大小关系，然后利用数学归纳法给
予证明.
详解：（1）由题意知()()3
2
255,110a p C p =+=，所以0p =.
（2）当0p =时，()()()()()()()01,0,01,01,01r
n
n r n x a n a n x a n x a n x =+-++-+
+-，
两边同乘以1x -得：
()()()()()()()
2
1
011,01,01,01r n r x x a n x a n x a n x +-=-+-++-+
()()
1
,01n n a n x ++-，
等式两边对x 求导，得：
()()()()()()()1011,02,011,01r
n n r nx x x a n a n x r a n x --+=+-+++-+
()()()1,01n
n n a n x ++-
令2x =得：
()()()()()()10122,02,01,01,0n n r n n a n a n r a n n a n -+=++
+++++，
即
()()()1
1,022
n
n i
i i a n n -=+=+∑
（3）()1n
n T n =+
，1n c n == 猜测：()1ln 212ln
212
n
n i
i i c c c =+>-∑
当1n =时，
1
2ln
ln221n
i i i c c ==-∑，(
)ln 21
ln322
n c +==
ln2>，此时不等式成立；
②假设n k =时，不等式成立，即：()1
ln 212ln
212
k
i k i
i =+>-∑，则1n k =+时， ()()()()()()2
1
12
111ln 2121222221ln ln ln ln ln 212121212211221k k
i i k i i i i k k k k c c c k c c c k k ++==+⎡
⎤+++=+>+=+⋅⎢⎥---+-+⎢⎥⎣⎦
∑∑ ()()()2221231484148311ln ln ln ln 232212212212
k k k k k k k k k k +⋅+⎛⎫⎛⎫++++=>==+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ ()
1ln 212
k c ++=
所以当1n k =+时，不等式也成立； 根据①②可知，n N ∀∈，均有()1ln 212ln
212
n
n i
i i c c c =+>-∑.
点睛： 有关组合式的求值证明，常采用构造法逆用二项式定理.对二项展开式两边分别求导也是一个常用
的方法，另外也可应用组合数性质进行转化：11C C k k n n k n --⋅=⋅，11
1r r r n n n C C C ++++=.。