【高考风向标】高考数学一轮课时知能训练 第8章 第2讲 平面向量的数量积 文

第2讲 平面向量的数量积
1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为( )
A ．－32 B.3
2
C ．2
D ．6
2．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a|＝|b| B ．a·b ＝
22
C ．a ∥b
D ．a －b 与b 垂直
3．(广东广州测试)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .设向量m ＝(a ＋b ，c )，n ＝(a －b ，b －c )．若m ⊥n ，则角A 的大小为( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
4．已知a ＝(λ，2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )
A ．λ＞103
B ．λ≥103
C ．λ＜103
D ．λ≤10
3
5．已知双曲线x 2－y 2
＝2的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P (x 0,1)在双曲线上．则F 1P →·F 2P →＝( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．4
6．(广东江门一模)若△ABC 的面积是2，cos A ＝35
，则AB →·AC →
＝______.
7．设P 是双曲线y ＝1x
上一点，点P 关于直线y ＝x 的对称点为Q ，点O 为坐标原点，则OP →·OQ →
＝______.
8．已知△ABC 中，AB →·AC →<0，△ABC 的面积S △ABC ＝154
，|AB →|＝3，|AC →
|＝5，求∠BAC 的大小．
9．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫1sin x ，－1sin x ，b ＝(2，cos2x )．
(1)若x ∈⎝
⎛⎦⎥⎤0，π2，试判断a 与b 能否平行？
(2)若x ∈⎝
⎛⎦⎥⎤0，π3，求函数f (x )＝a·b 的最小值．
10．在△ABC 中，A (2,3)，B (4,6)，C (3，－1)，点D 满足：CA →·CD →＝CB →·CD →
. (1)求点D 的轨迹方程；
(2)求|AD →|＋|BD →
|的最小值．
11．(广东东莞一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量m ＝⎝
⎛
⎭⎪⎫
2cos A
2，sin A 2，n ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos A 2，－2sin A 2，m ·n ＝－1. (1)求cos A 的值；
(2)若a ＝2 3，b ＝2，求c 的值．
12．(江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →
＝0，求t 的值．
第2讲 平面向量的数量积
1．D 2.D 3.B 4.A
5．C 解析：由题意得P (±3，1)，双曲线两焦点坐标分别是(－2,0)和(2,0)，则F 1P →＝(x 0＋2,1)，F 2P
→
＝(x 0－2,1)．∴F 1P →·F 2P →＝(x 0＋2,1)·(x 0－2,1)＝x 2
0－3＝3－3＝0.
6．3 解析：∵△ABC 的面积是2，∴12|AB |·|AC |sin A ＝2.∵cos A ＝35，∴sin A ＝4
5
.即|AB |·|AC |＝5.
∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →
|cos A ＝5×35
＝3.
7．2 解析：设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1t ，则点P 关于直线y ＝x 的对称点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t ，t ，∴OP →·OQ →＝2.
8．解：∵S △ABC ＝12|AB →|·|AC →
|sin ∠BAC ＝12×3×5×sin∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12
.
∵AB →·AC →
<0，
∴∠BAC 为钝角，∴∠BAC ＝150°.
9．解：(1)若a 与b 平行，则有1sin x ·cos2x ＝－1
sin x
·2.
因为x ∈⎝
⎛⎦⎥⎤0，π2，sin x ≠0，所以得cos2x ＝－2.
这与|cos2x |≤1相矛盾，故a 与b 不能平行．
(2)由于f (x )＝a·b ＝2sin x ＋－cos2x sin x ＝2－cos2x sin x ＝1＋2sin 2
x sin x ＝2sin x ＋1
sin x
，
又因为x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3，所以sin x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.
于是2sin x ＋1
sin x ≥2
2sin x ·1
sin x
＝2 2，
当2sin x ＝
1sin x ，即sin x ＝2
2
时取等号． 故函数f (x )的最小值等于2 2.
10．解：(1)设D (x ，y )，则CA →＝(－1,4)，CD →＝(x －3，y ＋1)，CB →＝(1,7)．∵CA →·CD →＝CB →·CD →
， ∴(－1)·(x －3)＋4·(y ＋1)＝(x －3)·1＋(y ＋1)·7， 整理得点D 的轨迹方程为2x ＋3y －3＝0.
(2)易得点A 关于直线2x ＋3y －3＝0的对称点的坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14
13，－2113，∴|AD →|＋|BD →|的最小值为|BM →|
＝
33 13
13
. 11．解：(1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos A 2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2
，－2sin A 2，m·n ＝－1，∴cos 2A 2－sin 2A 2＝－12. ∴cos A ＝－1
2
.
(2)由(1)知cos A ＝－12，且0<A <π，∴A ＝2π
3
.
∵a ＝2 3，b ＝2，由正弦定理得a sin A ＝b
sin B
，
即
2 3sin
2π3
＝2sin B ，∴sin B ＝1
2. ∵0<B <π，B <A ，∴B ＝π
6.
∴C ＝π－A －B ＝π
6
.∴c ＝b ＝2.
12．解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →
＝(－1,1)， 则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →
＝(4,4)．
所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →
|＝4 2.
故所求的两条对角线的长分别为4 2，210.
(2)由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →
＝0，得：(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，
从而5t ＝－11，所以t ＝－11
5
.。