人教版七年级初一数学下学期第八章 二元一次方程组单元达标测试题

人教版七年级初一数学下学期第八章 二元一次方程组单元达标测试题
一、选择题
1．某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有x 个，小房间有y 个.下列方程正确的是( )
A ．7086480x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．7068480x y x y +=⎧⎨+=⎩
C ．4806870x y x y +=⎧⎨+=⎩
D ．480
8670x y x y +=⎧⎨+=⎩
2．已知1,
2x y =⎧⎨=⎩
是二元一次方程24x ay +=的一组解，则a 的值为（ ）
A ．2
B ．2-
C ．1
D ．1-
3．方程()()2
18
235m n
m x n y ---++=是二元一次方程，则（ ）
A ．23m n =⎧⎨=⎩
B ．2
3m n =-⎧⎨=-⎩
C ．2
3m n =⎧⎨=-⎩
D ．2
3m n =-⎧⎨=⎩
4．某校七年级1班学生为了参加学校文化评比买了22张彩色的卡纸制作如下图形（每个图形由两个三角形和一个圆形组成），已知一张彩色卡纸可以剪5个三角形，或3个圆形，要使圆形和三角形正好配套，需要剪三角形的卡纸有x 张，剪圆形的卡纸有y 张，可列式为（ ）
A ．22
56x y x y +=⎧⎨=⎩
B ．22
65x y x y +=⎧⎨=⎩
C ．22310x y x y +=⎧⎨=⎩
D ．22103x y x y +=⎧⎨=⎩
5．已知方程组27
28
x y x y +=⎧⎨+=⎩，则5510x y -+的值是( )
A ．5
B ．-5
C ．15
D ．25
6．《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：“现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x 钱，共同购买该物品的有y 人，则根据题意，列出的方程组是（）
A ．8374y x y x -=⎧⎨-=⎩
B ．83
74y x y x -=⎧⎨-=-⎩
C ．83
74y x y x -=-⎧⎨-=-⎩
D ．8374y x y x -=⎧⎨-=⎩
7．为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x 元，每个实心球y 元，则根据题意列二元一次方程组得（ ）
A ．329557230x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．239557230x y x y +=⎧⎨+=⎩
C ．329575230x y x y +=⎧⎨+=⎩
D ．239575230x y x y +=⎧⎨+=⎩
8．若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩
，则方程组111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是( )
A ．2128x y =⎧⎨=⎩
B ．9
8x y =⎧⎨=⎩
C ．7
14x y =⎧⎨
=⎩
D ．9787x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
9．小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜、1斤排骨共花了41.4元，而两个月前买同重量的这两样菜只要36元，与两个月前相比，这次萝卜的单价下降了10%，但排骨单价却上涨了20%，设两个月前买的萝卜和排骨的单价分别为x 元/斤，y 元/斤，则可列方程为（ ）
A ．()()236
2110%120%41.4x y x y +=⎧⎨⨯-++=⎩
B ．()()241.4
2110%120%36x y x y +=⎧⎨⨯-++=⎩
C ．()()241.4110%2120%36x y x y +=⎧⎨-+⨯+=⎩
D ．()()236110%2120%41.4x y x y +=⎧⎨-+⨯+=⎩
10．解方程组229
229232x y y z z x +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
得x 等于( )
A ．18
B ．11
C ．10
D ．9
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的橫、纵坐标都乘以同一种实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（m >0，n >0），得到正方形A ′B ′C ′D ′及其内部的点，其中点A ，B 的对应点分别为A ′，B ′，则a ＝_____，m ＝_____，n ＝_____．若正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F ′与点F 重合，则点F 的坐标为_____．
12．自来水厂的供水池有7个进出水口，每天早晨6点开始进出水，且此时水池中有水15%，在每个进出水口是匀速进出的情况下，如果开放3个进口和4个出口，5小时将水池注满；如果开放4个进口和3个出口，2小时将水池注满．若某一天早晨6点时水池中有水24%，又因为水管改造，只能开放3个进口和2个出口，则从早晨6点开始经过____小时水池的水刚好注满．
13．某餐厅以A、B两种食材，利用不同的搭配方式推出了两款健康餐，其中，甲产品每份含200克A、200克B；乙产品每份含200克A、100克B．甲、乙两种产品每份的成本价分别为A、B两种食材的成本价之和，若甲产品每份成本价为16元．店家在核算成本的时候把A、B两种食材单价看反了，实际成本比核算时的成本多688元，如果每天甲销量的4倍和乙销量的3倍之和不超过120份，那么餐厅每天实际成本最多为______元．14．为了适合不同人群的需求，某公司对每日坚果混合装进行改革．甲种每袋装有10克核桃仁，10克巴旦木仁，10克黑加仑；乙种每袋装有20克核桃仁，5克巴旦木仁，5克黑加仑．甲乙两种袋装干果每袋成本价分别为袋中核桃仁、巴旦木仁、黑加仑的成本价之和．已知核桃仁每克成本价0.04元，甲每袋坚果的售价为5.2元，利润率为30%，乙种坚果每袋利润率为20%，若这两种袋装的销售利润率达到24%，则该公司销售甲、乙两种袋装坚果的数最之比是____．
15．若m1，m2，…，m2019是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，
m1+m2+…+m2019=1525，（ m1-1）2+（m2-1）2+…+（m2019-1）2=1510，则在m1，m2，…，
m2019中，取值为2的个数为___________．
16．为响应“双十二购物狂欢节”活动，某零食店推出了甲、乙、丙三类饼干礼包，已知甲、乙、丙三类礼包均由A、B、C三种饼干搭配而成，每袋礼包的成本均为A、B、C三种饼干成本之和.每袋甲类礼包有5包A种饼干、2包B种饼干、8包C种饼干；每袋丙类礼包有7包A种饼干、1包B种饼干、4包C种饼干.已知甲每袋成本是该袋中A种饼
干成本的3倍，利润率为30%，每袋乙的成本是其售价的5
6
，利润是每袋甲利润的
4
9
；
每袋丙礼包利润率为25%.若该网店12月12日当天销售甲、乙、丙三种礼包袋数之比为4:6:5，则当天该网店销售总利润率为__________.
17．小纪念册每本5元，大纪念册每本7元．小明买这两种纪念册共花142元，则两种纪念册共买______本．
18．2018年秋，珊瑚中学开启“珊中大阅读”活动,为了充实漂流书吧藏书,号召全校学生捐书,得到各班的大力支持.同时,本部校区的两个年级组也购买藏书充实学校图书室,初二年
级组购买了甲、乙两种自然科学书籍若干本,用去8315元;初一年级买了A 、B 两种文学书籍若干本,用去6138元．其中A 、B 的数量分别与甲、乙的数量相等,且甲种书与B 种书的单价相同,乙种书与A 种书的单价相同.若甲种书的单价比乙种书的单价多7元,则甲种书籍比乙种书籍多买了_____________本.
19．如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm ，小红所搭的“小树”的高度为22 cm ，设每块A 型积木的高为x cm ，每块B 型积木的高为y cm ，则x =__________，y =__________．
20．若（x ﹣y +3）2+
=0，则x +y 的值为______．
三、解答题
21．当,m n 都是实数，且满足28m n =+，就称点21,
2
n P m +⎛⎫
- ⎪⎝⎭
为“爱心点”． （1）判断点()5,3A 、()4,8B 哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点(),4A a -、()4,B b 是“爱心点”，请判断A 、B 两点的中点C 在第几象限？并说明理由；
（3）已知P 、Q 为有理数，且关于x 、y 的方程组333x y p q x y p q
⎧+=+⎪
⎨
-=-⎪⎩解为坐标的点
(),B x y 是“爱心点”，求p 、q 的值．
22．平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），a ，b 满足
2(25)220a b a b ++++-=，将线段AB 平移得到CD ，A ，B 的对应点分别为C ，D ，
其中点C 在y 轴负半轴上．
（1）求A ，B 两点的坐标；
（2）如图1，连AD 交BC 于点E ，若点E 在y 轴正半轴上，求
BE OE
OC
-的值； （3）如图2，点F ，G 分别在CD ，BD 的延长线上，连结FG ，∠BAC 的角平分线与∠DFG 的角平分线交于点H ，求∠G 与∠H 之间的数量关系．
23．如图，已知∠a 和β∠的度数满足方程组223080
αββα︒
︒
⎧∠+∠=⎨∠-∠=⎩，且CD //EF,AC AE ⊥.
(1)分别求∠a 和β∠的度数；
(2)请判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由； (3)求C ∠的度数。

24．a 取何值时(a 为整数），方程组24
20x ay x y +=⎧⎨-=⎩
的解是正整数，并求这个方程组的解．
25．小明到某服装商场进行社会调查,了解到该商场为了激励营业员的工作积极性,实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法,并获得如下信息:
假设营业员的月基本工资为x 元,销售每件服装奖励y 元: (1)求x y 、的值；
(2)若营业员小丽某月的总收入不低于1800元,那么小丽当月至少要卖服装多少件? (3)商场为了多销售服装,对顾客推荐一种购买方式:如果购买甲3件、乙2件、丙1件，共需315元；如果购买甲1件,乙2件,丙3件，共需285元，某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
26．已知：平面直角坐标系中，A (a ，3)、B (b ，6)、C (c ，1)，a 、b 、c 都为实数，并且满足3b －5c ＝－2a －18，4b －c ＝3a ＋10 (1) 请直接用含a 的代数式表示b 和c
(2) 当实数a 变化时，判断△ABC 的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围
(3) 当实数a 变化时，若线段AB 与y 轴相交，线段OB 与线段AC 交于点P ，且S △PAB ＞S △PBC ，求实数a 的取值范围.
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】大房间有x个，小房间有y个，根据等量关系：大小共70个房间，共住480人，列方程组即可.
【详解】大房间有x个，小房间有y个，
由题意得：
70 86480
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
故选A.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程组是解此类问题的关键.
2．C
解析：C
【分析】
把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
【详解】
把
1,
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程24
x ay
+=，得224
a
+=，
解得1
a=.
故选C.
【点睛】
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．3．D
解析：D
【分析】
二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【详解】 由题意得2
11
81
m n ⎧-=⎨
-=⎩且20
30
m n -≠⎧⎨
+≠⎩，
解得2m =-，3n =， 故选D ． 【点睛】
主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
4．A
解析：A 【分析】
设需要剪三角形的卡纸有x 张，剪圆形的卡纸有y 张，根据彩色卡纸的总张数为22张其剪出三角形的数量为圆的2倍，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，此题得解． 【详解】
设需要剪三角形的卡纸有x 张，剪圆形的卡纸有y 张，
根据题意得：22
56x y x y +=⎧⎨=⎩
．
故选：A ． 【点睛】
此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．A
解析：A 【分析】
将方程①-方程②得到x-y=-1，代入5x-5y+10计算即可. 【详解】
解：2728x y x y +=⎧⎨
+=⎩
①
② ①-②，得：x-y=-1，
∴5x-5y+10=5(x-y)+10=5×(-1)+10=5. 故选A. 【点睛】
本题考查了用加减法解二元一次方程组.
6．B
解析：B 【分析】
设该物品的价格是x 钱，共同购买该商品的由y 人，根据题意每人出8钱，则多3钱；每
人出7钱，则差4钱列出二元一次方程组. 【详解】
设该物品的价格是x 钱，共同购买该商品的由y 人，
依题意可得83
74y x y x -=⎧⎨-=-⎩
故选：B 【点睛】
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组.
7．B
解析：B 【解析】
分析：根据题意，确定等量关系为：若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，根据所设未知数列方程，构成方程组即可. 详解：设每个排球x 元，每个实心球y 元，
则根据题意列二元一次方程组得：2395
57230
x y x y +=⎧⎨
+=⎩ ， 故选B ．
点睛：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是确定问题中的等量关系，列方程组.
8．C
解析：C 【分析】
先将111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩化简为11
1222
3277327
7a x b y c a x b y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，然后用“整体代换”法，求出方程组
的解即可； 【详解】 解：
111
2
22327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨
+=⎩， 111222
32773277a x b y c a x b y c ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，
设3
727
x t y s ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
1112
22a t b s c a t b s c +=⎧∴⎨+=⎩， 方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩
，
∴方程组1112
22a t b s c a t b s c +=⎧⎨
+=⎩的解为3
4t s =⎧⎨=⎩，
3
37247
x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，
解得：714x y =⎧⎨=⎩
．
故选C ． 【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．
9．A
解析：A 【分析】
根据题目中设的两个月前的萝卜和排骨的单价，先列出两个月前的式子236x y +=，再根据降价和涨价列出现在的式子()()2110%120%41.4x y ⨯-++=，得到方程组． 【详解】
解：两个月前买菜的情况列式：236x y +=，
现在萝卜的价格下降了10%，就是()110%x -，排骨的价格上涨了20%，就是
()120%y +，
那么这次买菜的情况列式：()()2110%120%41.4x y ⨯-++=， ∴方程组可以列为(
)()236
2110%120%41.4x y x y +=⎧⎨⨯-++=⎩．
故选：A ． 【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组．
10．C
解析：C 【分析】
利用加减消元法解方程组即可． 【详解】
229229232x y y z z x +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
①②③， ①+②+③得： 3x+3y+3z=90． ∴x+y+z=30 ④ ②-①得： y+z-2x=0 ⑤ ④-⑤得： 3x=30 ∴x=10 故答案选：C ． 【点睛】
本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解题的关键．
二、填空题
11．（1，4） 【分析】
首先根据点A 到A′，B 到B′的点的坐标可得方程组 ， ，解可得a 、m 、n 的值，设F 点的坐标为（x ，y ），点F′点F 重合可列出方程组，再解可得F 点坐标． 【详解】 由点A
解析：
121
2
（1，4） 【分析】
首先根据点A 到A ′，B 到B ′的点的坐标可得方程组 312a m n -+=-⎧⎨=⎩， 32
2a m n +=⎧⎨=⎩
，解可
得a 、m 、n 的值，设F 点的坐标为（x ，y ），点F ′点F 重合可列出方程组，再解可得F 点坐标． 【详解】
由点A 到A ′，可得方程组 31
2a m n -+=-⎧⎨=⎩；
由B 到B ′，可得方程组 32
2a m n +=⎧⎨=⎩
，
解得
1
2
1
2
2
a
m
n
⎧
=
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
=
⎪
⎪⎩
，
设F点的坐标为（x，y），点F′点F重合得到方程组
11
22
1
2
2
x x
y y ⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
，
解得
1
4 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
即F（1，4），
故答案为：1
2
，
1
2
，2，（1，4）．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形变化－平移以及二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，根据点的坐标列出方程组．
12．．
【分析】
设每个进水口每小时进水量为x，每个出水口每小时出水量为y，根据题意，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入中即可求出结论．
【详解】
设每个进水口每小时进
解析：38 17
．
【分析】
设每个进水口每小时进水量为x，每个出水口每小时出水量为y，根据题意，可得出关于
x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入124%
32
x y
-
-
中即可求出结论．
【详解】
设每个进水口每小时进水量为x，每个出水口每小时出水量为y，
依题意，得：
()
() 534115% 243115%
x y
x y
⎧-=-
⎪
⎨
-=-
⎪⎩
，
解得：
0.17
0.085 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴124%383217
x y -=-． 故答案为：
3817． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13．824
【分析】
先求出100克A 原料和100克B 原料的成本和，再设100克A 原料的成本为m 元，则100克B 种原料的成本为元，生产甲产品x 份，乙产品y 份，根据题意列方程求出
【详解】
解：∵甲产品每
解析：824
【分析】
先求出100克A 原料和100克B 原料的成本和，再设100克A 原料的成本为m 元，则100克B 种原料的成本为(8)m -元，生产甲产品x 份，乙产品y 份，根据题意列方程求出
【详解】
解：∵甲产品每份含200克A 、200克B ，甲产品每份成本价为16元
∴100克A 原料和100克B 原料的成本为8元
设100克A 原料的成本为m 元，则100克B 种原料的成本为(8)m -元，生产甲产品x 份，乙产品y 份，根据题意可得出：
[]4312016(28)162(8)688x y x m m y x m m y +≤⎧⎨++-=+-++⎩
整理得出：4344my y =+
∴餐厅每天实际成本16(8)1612344W x m y x y =++=++
∵43120x y +≤
∴1612480x y +≤
∴餐厅每天实际成本的最大值为：480344824+=（元）．
故答案为：824．
【点睛】
本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，读懂题意，理清题目中的各关系量是解此题的关键．
14．13∶30
【分析】
根据题意，先求出1克巴旦木和1克黑加仑的成本之和，然后求出乙种干果的成本，再设甲种干果x袋，乙种干果y袋，通过利润的关系，列出方程解方程即可求出甲、乙两种干果数量之比．
【详解
解析：13∶30
【分析】
根据题意，先求出1克巴旦木和1克黑加仑的成本之和，然后求出乙种干果的成本，再设甲种干果x袋，乙种干果y袋，通过利润的关系，列出方程解方程即可求出甲、乙两种干果数量之比．
【详解】
解：设1克巴旦木成本价m元，和1克黑加仑成本价n元，根据题意得
10(0.04 +m+n) ×(1+30%)=5.2
解得：m+n=0.36
甲种干果的成本价：10×(0.04+0.36)=4
乙种干果的成本价：20×0.04+5×0.36=2.6
乙种干果的售价为：2.6×(1+20 %)=3.12
设甲种干果有x袋，乙种干果有y袋，则
(4x+2.6y)(1+24 %)=5.2x+3.12y
解得：
13
30 x
y
故答案为：该公司销售甲、乙两种袋装坚果的数最之比是13∶30．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，利用利润、成本价与利润率之间的关系列出方程，理解题意得出等量关系是解题的关键．
15．508
【分析】
先设0有a个，1有b个，2有c个，根据据题意列出方程组求解即可．
【详解】
解：设0有a个，1有b个，2有c个，
由题意得：
解得：
故取值为2的个数为508个，
故答案为：508
解析：508
【分析】
先设0有a个，1有b个，2有c个，根据据题意列出方程组
2019
21525
1510
a b c
b c
a c
++=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪+=
⎩
求解即
可．
【详解】
解：设0有a个，1有b个，2有c个，
由题意得：
2019
21525
1510
a b c
b c
a c
++=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪+=
⎩
解得：
1002
509
508 a
b
c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
故取值为2的个数为508个，
故答案为：508．
【点睛】
此题主要考查了三元一次方程组的应用，会根据题意设未知数列方程并正确求解是解题的关键．
16．25%
【分析】
设每包A、B、C三种饼干的成本分别为x、y、z，从甲礼包入手，先求出
5x=y+4z，再由甲的利润率求出甲礼包的售价为19.5x，成本15x；由乙礼包所提供的条件可求出乙礼包的售价为
解析：25%
【分析】
设每包A、B、C三种饼干的成本分别为x、y、z，从甲礼包入手，先求出5x=y+4z，再由甲的利润率求出甲礼包的售价为19.5x，成本15x；由乙礼包所提供的条件可求出乙礼包的售价为12x，成本为10x；由丙礼包的条件列出丙礼包的成本为7x+y+4z=12x，进而确定丙礼包的售价为15x，成本为12x；最后再由利润率的求法求出总利润率即可．
【详解】
解：设每包A、B、C三种饼干的成本分别为x、y、z，依题意得：
5x+2y+8z=15x，
∴5x=y+4z，
由甲礼包的利润率为30%，则可求甲礼包的售价为19.5x，成本15x；
∵每袋乙的成本是其售价的5
6
，利润是每袋甲利润
4
9
，
可知每袋乙礼包的利润是：4.5x×4
9
=2x，
则乙礼包的售价为12x，成本为10x；
由丙礼包的组成可知，丙礼包的成本为：7x+y+4z=12x，∵每袋丙礼包利润率为：25%，
∴丙礼包的售价为15x，成本为12x；
∵甲、乙、丙三种礼包袋数之比为4：6：5，
∴19.54612515415610512
100%25% 415610512
x x x x x x
x x x
⨯+⨯+⨯-⨯-⨯-⨯
⨯=
⨯+⨯+⨯
，
∴总利润率是25%，
故答案为：25%．
【点睛】
本题考查三元一次方程组的应用；理解题意，能够通过已知条件逐步确定甲、乙、丙的售价与成本价是解题的关键．
17．26、24或22
【解析】
【分析】
通过理解题意可以知道，本题有一组等量关系，即：小纪念册本数×5+大纪念册本数×7=142，可以根据此等量关系，列出方程求解作答．
【详解】
解：假设购买小纪念册
解析：26、24或22
【解析】
【分析】
通过理解题意可以知道，本题有一组等量关系，即：小纪念册本数×5+大纪念册本数
×7=142，可以根据此等量关系，列出方程求解作答．
【详解】
解：假设购买小纪念册x本，购买大纪念册y本，则x，y为整数．
则有题目可得二元一次方程：5x+7y=142，
解得：x，y有4组整数解即：
27
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,
20
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,
13
11
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,
6
16
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
即有四种情况即：两种纪念册共买28、26、24或22本．
故答案为28、26、24或22本．
【点睛】
本题考查了一次方程的实际应用,中等难度,解决此类问题的关键在于，找出题目中所给的等量关系，列出方程，求解方程．
18．311
【分析】
根据已知条件设出甲乙的单价和数量,根据甲乙一共用去8315元, A、B一共用
去6138元组成方程组,整理方程组即可解题.
【详解】
解：设乙的单价为x元/本，则甲为（7+x）元/本
解析：311
【分析】
根据已知条件设出甲乙的单价和数量,根据甲乙一共用去8315元, A、B一共用去6138元组成方程组,整理方程组即可解题.
【详解】
解：设乙的单价为x元/本，则甲为（7+x）元/本,甲购买了a本,乙买了b本,
∴A的单价为x元/本，B为（7+x）元/本, A购买了a本,B买了b本,
依题意得：
①-②得：7a-7b=2177,
∴a-b=311,
即甲种书籍比乙种书籍多买了311本.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用,难度较大,设三个未知数并整理方程是解题关键. 19．5
【解析】
根据小强搭的积木的高度=A的高度×2+B的高度×3，小红搭的积木的高度=A 的高度×3+B的高度×2，依两个等量关系列出方程组，再求解．
故答案为4和5．
点睛：本题考查了二元一
解析：5
【解析】
根据小强搭的积木的高度=A的高度×2+B的高度×3，小红搭的积木的高度=A的高度×3+B
的高度×2，依两个等量关系列出方程组
2323
3222
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，再求解
4
5
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
故答案为4和5．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解．
20．1
【解析】
试题分析：根据非负数的性质，可得二元一次方程组，解方程组可得，故
x+y=-1+2=1.
故答案为：1.
解析：1
【解析】
试题分析：根据非负数的性质，可得二元一次方程组30{20
x y x y -+=+=，解方程组可得12
x y =-⎧⎨=⎩，故x+y=-1+2=1. 故答案为：1.
三、解答题
21．（1）()5,3A 为爱心点，理由见解析；（2）第四象限，理由见解析；（3）0p =，q =23
- 【分析】
（1）分别把A 、B 点坐标，代入（m ﹣1，
22n +）中，求出m 和n 的值，然后代入2m ＝8+n 检验等号是否成立即可；
（2）把点A （a ，﹣4）、B （4，b ）各自代入（m ﹣1，22
n +）中，分别用a 、b 表示出m 、n ，再代入2m ＝8+n 中可求出a 、b 的值，则可得A 和B 点的坐标，再根据中点坐标公式即可求出C 点坐标，然后即可判断点C 所在象限；
（3）解方程组，用q 和p 表示x 和y ，然后代入2m ＝8+n 可得关于p 和q 的等式，再根据p ，q 为有理数，即可求出p 、q 的值．
【详解】
解：（1）A 点为“爱心点”，理由如下：
当A （5，3）时，m ﹣1＝5，22
n +＝3， 解得：m ＝6，n ＝4，则2m ＝12，8+n ＝12，
所以2m ＝8+n ，
所以A （5，3）是“爱心点”；
当B （4，8）时，m ﹣1＝4，22
n +＝8， 解得：m ＝5，n ＝14，显然2m ≠8+n ，
所以B 点不是“爱心点”；
（2）A 、B 两点的中点C 在第四象限，理由如下：
∵点A （a ，﹣4）是“爱心点”，
∴m ﹣1＝a ，22
n +＝﹣4， 解得：m ＝a +1，n ＝﹣10．
代入2m ＝8+n ，得2（a +1）＝8﹣10，解得：a ＝﹣2，
所以A 点坐标为（﹣2，﹣4）；
∵点B （4，b ）是“爱心点”，
同理可得m ＝5，n ＝2b ﹣2，
代入2m ＝8+n ，得：10=8+2b ﹣2，解得：b ＝2．
所以点B 坐标为（4，2）．
∴A 、B 两点的中点C 坐标为（2442,22
-+-+），即（1，﹣1），在第四象限． （3）解关于x ，y
的方程组3x y q x y q
⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩，
得：2x q y q ⎧=-⎪⎨=⎪⎩． ∵点B （x ，y ）是“爱心点”，
∴m ﹣1
﹣q ，22
n +＝2q ， 解得：m
﹣q +1，n ＝4q ﹣2．
代入2m ＝8+n ，得：
﹣2q +2＝8+4q ﹣2，
整理得
﹣6q ＝4．
∵p ，q 为有理数，若使
p ﹣6q 结果为有理数4，
则P ＝0，所以﹣6q ＝4，解得：q ＝﹣
23． 所以P ＝0，q ＝﹣
23
． 【点睛】
本题是新定义题型，以“爱心点”为载体，主要考查了解二元一次方程组、中点坐标公式等知识以及阅读理解能力和迁移运用能力，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． 22．（1）(40),(03)A B -，，；（2）1BE OE OC
-=；（3）G ∠与H ∠之间的数量关系为2180G H ∠=∠-︒．
【分析】
（1）根据非负数的性质和解二元一次方程组求解即可；
（2）设(0,),(0,)C c E y ，先根据平移的性质可得(43)D c +，
，过D 作DP x ⊥轴于P ，再根据三角形ADP 的面积得出8(3)44(3)222c y y c +++=+，从而可得32
c y +=，然后根据线段的和差可得BE OE c OC -=-=，由此即可得出答案；
（3）设AH 与CD 交于点Q ，过H ，G 分别作DF 的平行线MN ，KJ ，设
,BAH CAH DFH GFH αβ∠=∠=∠=∠=，由平行线的性质可得
180(),1802()QHF DGF αβαβ∠=︒-+∠=︒-+，由此即可得出结论．
【详解】
（1）∵20,(25)220a b a b ≥+++-≥，且2(25)220a b a b ++++-= ∴250220a b a b ++=⎧⎨+-=⎩
解得：43a b =-⎧⎨
=⎩ 则(40),(03)A B -，
，； （2）设(0,),(0,)C c E y
∵将线段AB 平移得到CD ，(40),(03)A B -，
， ∴由平移的性质得(43)D c +，
如图1，过D 作DP x ⊥轴于P
∴4,3,,AO OP DP c OE y OC c ===+==-
∵ADP AOE OEDP S
S S =+梯形 ∴()222
AP DP OA OE OE DP OP ⋅⋅+⋅=+ 即8(3)44(3)222
c y y c +++=+ 解得32
c y +=
∴()232BE OE BO OE OE BO OE y c -=--=-=-=- ∴1BE OE c OC c
--==-；
（3）G ∠与H ∠之间的数量关系为2180G H ∠=∠-︒，求解过程如下：
如图2，设AH 与CD 交于点Q ，过H ，G 分别作DF 的平行线MN ，KJ
∵HD 平分BAC ∠，HF 平分DFG ∠
∴设,BAH CAH DFH GFH αβ∠=∠=∠=∠=
∵AB 平移得到CD
∴//,//AB CD BD AC
∴BAH AQC FQH α∠=∠=∠=，180BAC ACD BDC ACD ∠+∠=︒=∠+∠ ∴2BAC BDC FDG α∠=∠=∠=
∵//MN FQ
∴,MHQ FQH NHF DFH αβ∠=∠=∠=∠=
∴180180()QHF MHQ NHF αβ∠=︒-∠-∠=︒-+
∵//KJ DF
∴2,2DGK FDG DFG FGJ αβ∠=∠=∠=∠=
∴1801802()DGF DGK FGJ αβ∠=︒-∠-∠=︒-+
∴2180DGF QHF ∠=∠-︒．
【点睛】
本题属于一道较难的综合题，考查了解二元一次方程组、平移的性质、平行线的性质等知识点，较难的是题（3），通过作两条辅助线，构造平行线，从而利用平行线的性质是解题关键．
23．（1）50130αβ︒
︒⎧∠=⎨∠=⎩
；（2）//AB CD ，理由详见解析；（3）40° 【解析】
【分析】
（1）利用加减消元法，通过解二元一次方程组可求出∠a 和β∠的度数；
（2）利用求得的∠a 和β∠的度数可得到180αβ∠+∠=︒，于是根据平行线的判定可判断AB ∥EF ，然后利用平行的传递性可得到AB ∥CD ；
（3）先根据垂直的定义得到90CAE ∠=︒，再根据平行线的性质计算C ∠的度数.
【详解】
解（1）解方程组223080αββα︒︒⎧+=⎨∠-∠=⎩
①②， ①-②得：3150α∠=︒ ，解得：50α∠=︒
把50α∠=︒代入②得：5080β∠-︒=︒
解得：130β∠=︒；
（2）//AB CD ，
理由：∵50α∠=︒，130β∠=︒，
180αβ︒∴∠+∠=，
//AB EF ∴(同旁内角互补，两直线平行)，
又 CD//EF ，
//AB CD ∴；
（3）AC AE ⊥，
90CAE ︒∴∠=
//AB CD
180C CAB ︒∴∠+∠=
180905040C ︒∴∠=︒-︒-︒=.
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定、解二元一次方程组，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题关键.
24．当a=0时，21x y =⎧⎨
=⎩；当a=-2时，42x y =⎧⎨=⎩；当a=-3时，84x y =⎧⎨=⎩
【分析】
先把a 当作已知求出x 、y 的值，再根据方程组有正整数解，得到关于a 的一元一次不等式组，求出m 的取值范围，再找出符合条件的正整数a 的值即可．
【详解】 解：方程组2420x ay x y +=⎧⎨-=⎩
解得:8444x a y a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
∵方程组的解是正数，
∴a ＞-4，
∵方程组的解是正整数，a ＞-4，
∴a=-3，-2，0，
它的所有正整数解为：84x y =⎧⎨=⎩，42x y =⎧⎨=⎩
，21x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】
本题考查的是解二元一次方程组及解二元一次不等式组，解答此题的关键是先把m 当作已知表示出x 、y 的值，再根据方程组有正整数解得出关于m 的不等式组，求出m 的正整数解即可．
25．（1）x=800,y=3；（2）334；（3）150元.
【解析】
【分析】
（1）通过理解题意可知此题存在两个等量关系，即小丽的基本工资+提成=1400元，小华的基本工资+提成=1250元，列方程组求解即可；
（2）根据小丽基本工资+每件提成×件数=1800元，求得件数即可；
（3）理解题意可知，计算出甲、乙、丙各购买4件共多少钱即可．
【详解】
解：（1）设营业员的基本工资为x元，买一件的奖励为y元．
由题意得
2001400
1501250 x y
x y
+
⎧
⎨
+
⎩
＝
＝
解得
800
3 x
y
⎧
⎨
⎩
＝
＝
即x的值为800，y的值为3．
（2）设小丽当月要卖服装z件，由题意得：
800+3z=1800
解得，z=333.3
由题意得，z为正整数，在z＞333中最小正整数是334．答：小丽当月至少要卖334件．
（3）设一件甲为x元，一件乙为y元，一件丙为z元．
则可列
32315
23285 x y z
x y z
++
⎧
⎨
++
⎩
＝
＝
将两等式相加得4x+4y+4z=600，则x+y+z=150
答：购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元．
【点睛】
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解；第三问的难点就在于思考的方向对不对，实际上，方向对了，做起来就方便多了．
26．（1）
4
6
b a
c a
=+
⎧
⎨
=+
⎩
；（2）S△ABC＝13为定值；（3）
5
4
2
a
-≤<-
【分析】
（1）由4b－c＝3a＋10可知c=4b-3a-10，把c代入3b－5c＝－2a－18可用a 表示出b，同理可表示c；（2）如图构造梯形，根据S△ABC=S梯形ADEC-S△ADB-S△CBE可证明S△ABC是定值，所以△ABC的面积无变化；（3）作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥x轴，根据S△PAB＞S△PBC可知AP＞PC，进而可得S△OAP＞S△OPC，所以S△OAB＞S△OBC，利用梯形和三角形的面积差可表示出△OAB和△OBC的面积，即可列出不等式，由AB与y轴相交可得－4≤a≤0，结合前面的不等式求出公共解集即可求出a的取值范围.
【详解】
（1）∵4b-c=3a+10，
∴c=4b-3a-10，
∵3b－5c＝－2a－18，
∴3b-5(4b-3a-10)=-2a-18，∴b=a+4，
同理可得：c=a+6，
∴
4
6
b a
c a
=+⎧
⎨
=+⎩
(2) 构造如图所示的梯形：
S△ABC＝1
2
⨯（3+5）⨯6-
1
2
⨯3⨯4-
1
2
⨯2⨯5=13为定值，
(3) 线段AB与y轴相交，故
40
a
a
≤
⎧
⎨
+≥
⎩
，
∴－4≤a≤0，
∵S△PAB＞S△PBC，
∴AP＞PC，
∴S△OAP＞S△OPC，
∴S△OAB＞S△OBC，
作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥x轴，
S△OAB=1
2
（3+6）4
a a
⎡⎤
++
⎣⎦ -
1
2
4
a+⨯6-
1
2
⨯6a
⨯=6-
3
2
a，
S△OBC=1
2
⨯（1+6）（64
a a
+-+）+
1
2
4
a+⨯6-
1
2
6
a+=
5
2
a+16，
∴6-3
2
a>
5
2
a+16，
解得：a<-5 2 ,
∴
5 4a
2 -≤<-
【点睛】
本题考查解二元一次方程组，利用代入消元法可减少未知数的个数，从而实现消元；本题也考查了梯形与三角形的面积公式，熟练掌握相关知识是解题关键.。