导数大题练习带答案

导数大题练习
1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2，
(Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当a ＝－1时，求函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e
x
2
1-成立．
2、已知函数2
()ln 2(0)f x a x a x
=
+->.（Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区间[e ―
1，e]上有
两个零点，求实数b 的取值范围.
3．设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R .（Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值； （Ⅱ）若函数f (x )在1
[
,2]2
上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x )的极值点. 4、已知函数2
1()(21)2ln ()2
f x ax a x x a =
-++∈R . (Ⅰ)若曲线
()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调
区间；(Ⅲ)设2
()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得
12()()f x g x <，求a 的取值范围.
5、已知函数())0(2ln 2
>-+=
a x a x
x f (Ⅰ)若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，求函数y ＝f (x )的单调区
间；
(Ⅱ)若对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立，试求a 的取值范围；
(Ⅲ)记g (x )＝f (x )＋x －b (b ∈R ).当a ＝1时，函数g (x )在区间[
]
e ,e 1
-上有两个零点，求实
数b 的取值范围．
6、已知函数1ln ()x
f x x
+=
． (1)若函数在区间1
(,)2
a a +
(其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1
k
f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围． 1.解：(Ⅰ)对一切)()(),
,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，即2ln 2--≥-x ax x x 恒成立.
也就是+
+≤x x a ln x
2
在),0(+∞∈x 恒成立.………1分 令x
x x x F 2ln )(+
+=， 则F '2
222)
1)(2(2211)(x
x x x x x x x x -+=-+=-+=，……2分 在)10(，上F '0)(<x ，在)1(∞+，上F '0)(>x ， 因此，)(x F 在1=x 处取极小值，也是最小值， 即3)1()(min ==F x F ，所以3≤a .……4分
(Ⅱ)当时，1-=a
x x x x f +=ln )(，
f '2ln )(+=x x ，由f '0)(=x 得21
e
x =
.………6分 ①当2
10e
m <
<时，在)1,[2e m x ∈上f '0)(<x ，在]3,1
(2+∈m e x 上f '0)(>x 因此，
)(x f 在21e x =
处取得极小值，也是最小值.2
min
1
)(e x f -=. 由于
0]1)3)[ln(3()3(,0)(>+++=+<m m m f m f
因此，]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f ………8分 ②当时2
1
e m
≥
，0)('≥x f ，因此]3,[)(+m m x f 在上单调递增， 所以
)1(ln )()(min +==m m m f x f ，
]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f ……9分
(Ⅲ)证明：问题等价于证明)),0((2
ln +∞∈->+x e
e x x x x x ,………10分
由(Ⅱ)知1-=a 时，x x x x f +=ln )(的最小值是2
1
e -
，当且仅当2
1
e x =
时取得，……11分
设)),0((2)(+∞∈-=
x e e x x G x ，则G
'x
e x
x -=1)(，易知 e
G x G 1
)1()(max -==，当且仅当1x =时取到，………12分
但，e e 112
->-
从而可知对一切(0,)x ∈+∞， 都有ex
e x x
2
11ln ->
+成立.………13分 2、解：（Ⅰ）直线y =x +2的斜率为1.函数f (x )的定义域为（0，+∞），因为22'()a f x x x =-
+，所以22'(1)111
a
f =-+=-，所以a =1.所以2()ln 2f x x x =+-.22
'()x f x x
-=.由'()0f x >解得x ＞0；由'()0f x <解得0
＜x ＜2.所以f (x )的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）.……4分
（Ⅱ）
22
22'()a ax f x x x x -=-
+=，由'()0f x >解得2x a >；由'()0f x <解得2
0x a <<.所以f (x )在区间2(,)a +∞上单调递增，在区间2(0,)a 上单调递减.所以当2
x a =时，函数f (x )取得
最小值，min 2
()y f a
=.因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，
所以2()2(1)f a a >-即可.则22
ln 22(1)2a a a a
+->-.由2ln a a a >解得20e a <<.所以a
的取值范围是2
(0,)e
. ………………8分
（Ⅲ）依题得2
()ln 2g x x x b x
=++--，则22
2'()x x g x x +-=.由'()0g x >解得x ＞1；由'()0g x <解得0＜x ＜1.所以函数()g x 在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数.又因为函数()g x 在区间[e －
1，e]上有两个零点，所以1()0
()0(1)0
g e g e g -⎧≥⎪≥⎨⎪<⎩
.解得21e 1e b <≤+-.所以b
的取值范围是2
(1,e 1]e
+-. ………………13分
3．解：（Ⅰ）f (x )的定义域为（0，+∞）.
………………1分
因为
1
'()20f x x x
=
+>，所以f (x )在[1，e]上是增函数， 当x =1时，f (x )取得最小值f (1)=1. 所以f (x )在[1，e]上的最小值为1.
………………3分
（Ⅱ）解法一：21221
'()2()x ax f x x a x x
-+=+-=
设g (x )=2x 2―2ax +1，
………………4分
依题意，在区间1
[
,2]2
上存在子区间使得不等式g (x )＞0成立. ……5分
注意到抛物线g (x )=2x 2―2ax +1开口向上，所以只要g (2)＞0，或1
()02
g >即可
………………6分
由g (2)＞0，即8―4a +1＞0，得94
a <
， 由1()02g >，即1
102a -+>，得32a <，
所以9
4
a <，
所以实数a 的取值范围是9
(,)4
-∞.
………………8分
解法二：21221
'()2()x ax f x x a x x
-+=+-=，
………………4分
依题意得，在区间1
[
,2]2
上存在子区间使不等式2x 2―2ax +1＞0成立. 又因为x ＞0，所以1
2(2)a x x
<+. ………………5分
设1()2g x x x =+，所以2a 小于函数g (x )在区间1
[,2]2的最大值.
又因为1
'()2g x x
=-，
由2
1
'()20g x x
=-
>解得2x >；
由2
1
'()20g x x =-
<解得02x <<.
所以函数g (x )在区间2)2上递增，在区间1(,22
上递减. 所以函数g (x )在1
2
x =
，或x =2处取得最大值.
又9(2)2g =
，1()32g =，所以922a <，94
a < 所以实数a 的取值范围是9
(,)4
-∞.
………………8分
（Ⅲ）因为2221
'()x ax f x x
-+=，令h (x )=2x 2―2ax +1
①显然，当a ≤0时，在（0，+∞）上h (x )＞0恒成立，f '(x )＞0，此时函数f (x )没有极值点；
………………9分
②当a ＞0时，
（i ）当Δ≤0，即0a <≤时，在（0，+∞）上h (x )≥0恒成立，这时f '(x )≥0，此时，
函数f (x )没有极值点；
………………10分
（ii ）当Δ＞0时，即a >
易知，当x <<h (x )＜0，这时f '(x )＜0；
当0x <<或x >时，h (x )＞0，这时f '(x )＞0；
所以，当a >x =是函数f (x )的极大值点；x =是函数f (x )
的极小值点.
………………12分
综上，当a ≤
f (x )没有极值点；
当a >2a x -=是函数f (x )的极大值点；2
a x +=是函数f (x )的极小值
点.
4．解：
2
()(21)f x ax a x
'=-++
(0)x >.………1分 (Ⅰ)
(1)(3)f f ''=，解得2
3
a =
.………3分 (Ⅱ)
(1)(2)
()ax x f x x
--'=
(0)x >.………4分
①当0a ≤时，0x >，10ax -<， 在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，
故
()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞.………5分
②当102a <<
时，1
2a
>， 在区间(0,2)和1(
,)a +∞上，()0f x '>；在区间1
(2,)a
上()0f x '<， 故
()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1
(2,)a
.………6分
③当12
a =时，2
(2)()2x f x x -'=，
故
()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.………7分 ④当12a
>
时，1
02a
<<， 在区间1(0,
)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1
(,2)a
上()0f x '<， 故
()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1
(,2)a
.………8分
(Ⅲ)由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <.………9分
由已知，max ()0g x =，由(Ⅱ)可知， ①当1
2
a ≤
时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1
ln 212
a -<≤
.……10分 ②当12a >
时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1
[,2]a
上单调递减， 故
max 11()()22ln 2f x f a a a ==---.
由12a
>
可知11
ln ln ln 12e
a >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，
所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， 综上所述，ln 21a >-.………12分
5、(Ⅰ)直线y ＝x ＋2的斜率为1，函数f (x )的定义域为()+∞,0
因为x a x x f
+-
=2'
2)(，所以()111
212'
-=+-=a f ，所以a ＝1 所以()()2'2
,2ln 2x
x x f x x x f -=-+= 由()0'
>x f
解得x ＞2；由()0'<x f 解得0＜x ＜2
所以f (x )得单调增区间是()+∞,2，单调减区间是()2,0………4分 (Ⅱ)2
2'
2
2)(x ax x a x x f
-=
+-
= 由()0'>x f 解得;2a x >由()0'
<x f 解得a x 20<<
所以f (x )在区间),2(+∞a 上单调递增，在区间)2
,0(a 上单调递减
所以当a x 2=时，函数f (x )取得最小值)2
(min a
f y =
因为对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立， 所以)1(2)2
(->a a
f
即可 则
)1(222ln 22->-+a a a a
，由a a a >2ln 解得e a 20<< 所以a 得取值范围是)2
,
0(e
………8分 (Ⅲ)依题意得b x x
x g --+=2ln 2)(，则2
2'
2)(x x x x g -+= 由()0'
>x g 解得x ＞1，由()0'
<x g 解得0＜x ＜1
所以函数g (x )在区间[
]
e ,e 1
-上有两个零点，
所以⎪⎩
⎪
⎨⎧<≥≥-0
)1(0)(0
)(1g e g e g 解得121-+≤<e e b
所以b 得取值范围是]12
,1(-+e e
………12分
6、解：
(1)因为1ln ()x f x x +=
，0x >，则2ln ()x
f x x
'=-，…1分 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． ∴()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上单调递减， ∴函数()f x 在1x =处取得极大值．………3分
∵函数()f x 在区间1
(,)2
a a +(其中0a >)上存在极值， ∴1,
11,2
a a <⎧⎪
⎨+>⎪⎩解得
1
12
a <<．……….5分 (2)不等式()1k f x x ≥
+，即为(1)(1ln )x x k x ++≥，………7分 记(1)(1ln )()x x g x x ++=∴22
[(1)(1ln )](1)(1ln )ln ()x x x x x x x
g x x x
'++-++-'==，…9分 令()ln h x x x =-，则1
'()1h x x
=-
，∵1x ≥，∴'()0h x ≥，∴()h x 在[1,)+∞上递增， ∴min [()](1)10h x h ==>，从而()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上也单调递增， ∴min [()](1)2g x g ==，∴2k ≤．………12分。