2020-2021学年安徽省宣城市高二(下)期末数学试卷(文科)(附答案详解)

2020-2021学年安徽省宣城市高二（下）期末数学试卷（文
科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x|y=ln(1−x)}，B={x|1≤2
x
}，则A∩B=()
A. (−∞,1)
B. [0,1)
C. (0,1)
D. (0,2]
2.复数z满足(1+i)z=|i|，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为()
A. −1
2B. 1
2
C. −1
2
i D. 1
2
i
3.在△ABC中，sinA>sinB是A>B的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.我国古代数学名著《九章算术》有一衰分问题：“今有北乡八千一百人，西乡九千
人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百人．”若要用分层抽样从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽出人数为()
A. 60
B. 70
C. 80
D. 90
5.人口普查是世界各国所广泛采取的一种调查方法，根据人口普查的基本情况，可以
科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作．截止2021年6月，我国共进行了七次人口普查，如图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况，下列说法错误的是()
A. 城镇人口数逐次增加
B. 历次人口普查中第七次普查城镇人口最多
C. 城镇人口比重逐次增加
D. 乡村人口数逐次增加
6.已知圆A：x2+y2−2x−4y−4=0，圆B：x2+y2+2x+2y−2=0，则两圆
的公切线的条数是()
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条
7.函数f(x)=(x−2)ln|x−3|
|x−2|
的图象向左平移2个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)的图象大致为()
A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)为R上的奇函数，且f(−x)=f(2+x)，当x∈[0,1]时，f(x)=2x+a
2x
，则f(2019)+f(2022)的值为()
A. −3
2B. 0 C. 3
2
D. 21
4
9.如果执行如图的框图，输入2021，则输出的数为()
A. 2019
2020B. 2020
2021
C. 2021
2022
D. 2022
2023
10.若cos(α+π
6)=1
5
，α为锐角，则cos(2α−π
6
)=()
A. 1+6√2
10B. √3+2√6
10
C. 2√6
25
D. 4√6
25
11.已知过抛物线x2=4y焦点F的直线m交抛物线于M、N两点，则|MF|−9
|NF|
的最小值为()
A. −3
B. −5
2
C. 2√2−2
D. 6
12.已知三棱锥P−ABC的各顶点都在球O上，D，E分别是PB，BC的中点，PA⊥平
面ABC，BC=2PA=2AB=4，PC=2√6.下列结论：
(1)BC⊥平面PAB；
(2)球O的体积是8√6π；
(3)直线AC与平面PAB所成角的正弦值是√5
5
；
(4)平面ADE被球O所截的截面积是14π
3
．
以上命题正确的个数是()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.命题“∀x≥0，x2−2x+3>0”的否定是______．
14.已知向量a⃗=(1,−1)，,b⃗ =(m+3,2m)，当a⃗与b⃗ 的夹角为锐角时，则实数m的取
值范围是______．
15. 设直线x =t 与函数f(x)=x 2，g(x)=2lnx 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN|达
到最小值时，t 的值为______．
16. 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1=1，
a 2，a 4，a 8成等比数例，设向量OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a n n ,2S n
n
2)(n ∈N ∗)，则OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模的最大值是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 为了进一步提高垃圾分类规范化水平，某市公开向社会招募垃圾分类志愿者100名，
向市民宣传垃圾分类政策．某部门为了了解志愿者的基本情况，调查得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[40,45)岁内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图： (1)求m 和n 的值；
(2)此次活动的100名志愿者通过现场和网络两种方式报名．他们报名方式的部分数据如下表所示．请完善下表，并通过计算说明能否有99.9%的把握认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？
男 女 总计 现场报名
50
网络报名 31
总计
50
参考公式及数据：K 2
=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ． P(K 2≥k 0)
0.05 0.01 0.005 0.001 k 0
3.841
6.635
7.879
10.828
18. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2n+1+2(n ∈N ∗).
(1)设b n =a
n
2n ，求证：数列{b n }为等差数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)设c n =a
n
4n ，若T n =c 1+c 2+c 3+⋅⋅⋅+c n ，求T n ．
19. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且满足
2c−a b
=
cosA cosB
．
(1)求角B ；
(2)若b =√6，c =√2，点D 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
3
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求△ABD 的面积．
20. 如图，在三棱锥S −ABC 中，△SAC 是等边三角形，
AB =BC ，O 是AC 中点，平面SAC ⊥平面ABC ，OD ⊥SC 于D ．
(1)求证：SC ⊥平面BOD ；
(2)若OD =OB =√3，求三棱锥A −BOD 的体积．
21.已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)上的点A(1,√3
2
)到左、右两个焦点F1，F2的距离
之和等于4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过原点O且与坐标轴不垂直的直线n交椭圆C于M，N两点，点B(1,1
2
)，求△BMN面积的最大值．
22.已知函数f(x)=lnx+a
x
(a>0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若不等式f(x)≥2−e
x
+a对于x>0的一切值恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵A={x|x<1}，B={x|0<x≤2}，
∴A∩B=(0,1)．
故选：C．
可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了集合的描述法和区间的定义，对数函数的定义域，分式不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由(1+i)z=|i|=1，
得z=
1
1+i
=1−i
(1+i)(1−i)
=1−i
1−i2
=1
2
−1
2
i，
∴z−=1
2+1
2
i，
则z的共轭复数的虚部为1
2
，
故选：B．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z−，再得到其虚部．本题考查复数代数形式的乘除运算和复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：若sinA>sinB成立，
由正弦定理a
sinA =b
sinB
=2R，
所以a>b，
所以A>B．
反之，若A>B成立，
所以a>b，
因为a=2RsinA，b=2RsinB，所以sinA>sinB，
所以sinA>sinB是A>B的充要条件．故选：C．
由正弦定理知a
sinA =b
sinB
，由sinA>sinB，知a>b，所以A>B，反之亦然，故可得结
论．
本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形．属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由题意知，抽样比为500
8100+9000+5400=1
45
；
所以北乡应抽8100×1
45
=180，
南乡应抽5400×1
45
=120，
所以180−120=60，
即北乡比南乡多抽60人．
故选：A．
根据分层抽样原理建立比例关系，即可得到结论．
本题主要考查了分层抽样原理应用问题，根据条件建立比例关系是解题的关键，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由图可知，城镇人口数逐次增加，且第七次普查人口最多，城镇人口比重逐次增加，故A、B、C正确；
而乡村人数数在第五次、第六次普查时减少，故D错误，
故选：D．
利用题中柱形图和折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了条形图和折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，圆A ：x 2+y 2−2x −4y −4=0，即(x −1)2+(y −2)2=9，其圆心A(1,2)，半径R =3，
圆B ：x 2+y 2+2x +2y −2=0，即(x +1)2+(y +1)2=4，其圆心B(−1,−1)，半径r =2，
圆心距|AB|=√4+9=√13，则有3−2<√13<3+2，两圆相交， 则两圆有2条公切线， 故选：B ．
根据题意，先求出两圆的圆心和半径，分析两个圆的位置关系，据此分析可得答案． 本题考查圆与圆位置关系的判断，涉及圆的一般方程，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意，函数f(x)=(x−2)ln|x−3|
|x−2|
的图象向左平移2个单位长度得到函数
g(x)的图象， 则g(x)=
xln|x−1||x|
，
在区间(0,1)上，|x −1|=1−x <1，则有ln|x −1|=ln(1−x)<0，必有g(x)<0，排除A 、C ，
在区间(−1,0)上，|x −1|=1−x >1，则有ln|x −1|=ln(1−x)>0，必有g(x)<0，排除B ， 故选：D ．
根据题意，求出g(x)的解析式，分析区间(−1,0)和(0,1)上，f(x)的符号，利用排除法分析可得答案．
本题考查函数图象的平移变换，涉及函数的图象分析，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，函数f(x)为R 上的奇函数，且当x ∈[0,1]时，f(x)=2x +a
2x ， 则f(0)=1+a =0，则a =−1，
又由f(−x)=f(2+x)，则f(x +2)=−f(x)，
则有f(x +4)=−f(x +2)=f(x)，f(x)是周期为4的周期函数； f(2019)=f(−1+2020)=f(−1)=−f(1)=−(2−1
2)=−3
2，
f(2022)=f(2+505×4)=f(2)=f(0)=0，
故f(2019)+f(2022)=−3
2
，
故选：A．
根据题意，由奇函数的性质和函数的解析式可得f(0)=1+a=0，可得a的值，又由f(−x)=f(2+x)，变形可得f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，f(x)是周期为4的周期函数，据此求出f(2019)和f(2022)的值，相加可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的周期性，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：由程序图已知，该程序的功能是利用循环变量计算并输出变量S=1
1×2
+
1 2×3+⋅⋅⋅+1
2021×2022
的值，
∴S=1
1×2+1
2×3
+⋅⋅⋅+1
2021×2022
=(1−1
2
)+(1
2
−1
3
)+⋅⋅⋅+1
2021
−1
2022
=1−1
2022
=2021
2022
．
故选：C．
由程序图已知，该程序的功能是利用循环变量计算并输出变量S=1
1×2+1
2×3
+⋅⋅⋅
+1
2021×2022
的值，
结合数列的裂项相消法，即可求解．
本题考查了程序框图与数列的综合应用，需要学生熟练掌握裂项相消法，属于基础题．10.【答案】D
【解析】解：∵cos(α+π
6)=1
5
，α为锐角，∴sin(α+π
6
)=√1−cos2(α+π
6
)=√1−(1
5
)2=
2√6
5
，
所以cos(2α−π
6)=cos[2(α+π
6
−π
6
)−π
6
]=cos[2(α+π
6
)−π
2
]=sin[2(α+π
6
)]
=2sin(α+π
6)cos(α+π
6
)=2×1
5
×2√6
5
=4√6
25
故选：D．
结合三角函数的同角公式，可得sin(α+π
6)=2√6
5
，把α+π
6
看成整体，将cos(2α−π
6
)表
示为sin[2(α+π
6
)]，再结合二倍角公式求解．
本题考查了三角函数的同角公式，诱导公式，二倍角公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
11.【答案】A
【解析】解：作MP⊥y轴于点P，NQ⊥
y轴于Q，
设∠MFQ=θ，
由抛物线的方程可得F(0,1)，准线l的
方程为y=−1，
作MA⊥l于A，NB⊥l于B，
由抛物线的定义可得|MF|=|AM|，
|NF|=|BN|，
所以|AM|+|FP|=2，|BN|−|FQ|=2，
当θ≠180°时，
所以|AF|+|AF|cosθ=2，|BF|−|BF|cosθ=2，
所以|AF|=2
1+cosθ，|BF|=2
1−cosθ
，
所以|MF|−9|NF|=2
1+cosθ+9
2
(cosθ−1)=2
1+cosθ
+9
2
(cosθ+1)−9≥2√9−9=−3，
当θ=180°时，|MF|=|AM|=2，|NF|=|BN|=2，
所以|MF|−9|NF|=2−92=−52，
综上，|MF|−9|NF|的最小值为−3，
故选：A．
作MP⊥y轴于点P，NQ⊥y轴于Q，设∠MFQ=θ，作MA⊥l于A，NB⊥l于B，由抛物线的定义可得|MF|=|AM|，|NF|=|BN|，则|AM|+|FP|=2，|BN|−|FQ|=2，分两种情况：当θ≠180°时，当θ=180°时，结合基本不等式即可得出|MF|−9|NF|的最小值．
本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
12.【答案】C
【解析】解：在Rt △PAC 中，PA =2，PC =2√6，
则AC =√24−4=2√5，
又∵AB =2，BC =4，∴△ABC 为直角三角形，∴AB ⊥BC ， 又∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAB ，故(1)正确；
结合结论(1)知，三棱锥P −ABC 可看作由长、宽、高分别为4，2，2的长方体截得， 故球O 的直径为√42+22+22=2√6，
故球O 的体积V =4
3⋅π⋅R 3=4
3⋅π⋅√63
=8√6π，故(2)正确；
由图可知，直线AC 与平面PAB 所成角的平面角为∠CAB ， sin∠CAB =BC
 AC =
2√5
5
，故(3)错误； 在Rt △PAB 中，AD =1
2PB =√2，在△PBC 中，DE =1
2PC =√6，
在Rt △DAE 中，S △DAE =1
2×√2×√6=√3，S △DOE =1
4S △PBC =1
4×1
2×2√2×4=√2， 设点O 到平面ADE 的距离为h ，则1
3×S △DOE ×AD =1
3×S △DAE ×ℎ，解得ℎ=2√3
3
， 故平面ADE 被球O 所截的截面圆的半径r =√6−4
3
=√14
3
，
故平面ADE 被球O 所截的截面积是S =π×(√143)2=
14π3
，故(4)正确；
故选：C ．
由题意作图，根据条件得到AB ⊥BC ，PA ⊥BC ，再由线面垂直的判定定理即可证明BC ⊥平面PAB ；
三棱锥P −ABC 可看作由长、宽、高分别为4，2，2的长方体截得，再求出球O 的体积即可；
可判断直线AC 与平面PAB 所成角的平面角为∠CAB ，然后求出直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值即可；
由等体积法求得点O 到平面ADE 的距离h ，得到平面ADE 被球O 所截的截面圆的半径，
再求出平面ADE被球O所截的截面积即可．
本题考查了命题真假性的判断及立体几何中垂直与平行的应用，考查了转化思想，属于中档题．
13.【答案】∃x0≥0，x02−2x0+3≤0
【解析】解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题知，
命题“∀x≥0，x2−2x+3>0”的否定是：“∃x0≥0，x02−2x0+3≤0”．
故答案为：“∃x0≥0，x02−2x0+3≤0”．
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，直接写出该命题的否定命题即可．
本题考查了全称量词命题的否定是存在量词命题应用问题，是基础题．
14.【答案】{m|m<3且m≠−1}
【解析】解：因为a⃗与b⃗ 的夹角为锐角，向量a⃗=(1,−1),b⃗ =(m+3,2m)，
所以a⃗⋅b⃗ >0，且a⃗与b⃗ 不共线，
所以a⃗⋅b⃗ =m+3−2m>0且−m−3−2m≠0，解得m<3且m≠−1，
所以m的取值范围是{m|m<3且m≠−1}；
故答案为：{m|m<3且m≠−1}．
根据a⃗与b⃗ 的夹角为锐角，可得a⃗⋅b⃗ >0，且a⃗与b⃗ 不共线，然后建立关于m的关系式，再求出m的取值范围．
本题考查向量数量积的运算，关键是利用向量积的符号判断向量夹角的大小，注意排除向量共线的情况，属基础题．
15.【答案】1
【解析】解：设ℎ(t)=f(t)−g(t)=t2−2lnt，则ℎ′(t)=2t−2
t =2(t−1)(t+1)
2
，
易知，当0<t<1时，ℎ′(t)<0，当t>1时，ℎ′(t)>0，
∴函数ℎ(t)在(0,1)为减函数，在(1,+∞)为增函数，
∴ℎ(t)min=ℎ(1)，即|MN|达到最小值时，t的值为1．
故答案为：1．
构造函数ℎ(t)=f(t)−g(t)=t2−2lnt，求导，判断其单调性，进而求得其取得最小
值时t 的值．
本题考查了构造函数求距离的最值及导数的应用，属于中档题．
16.【答案】√5
【解析】解：数列{a n }是公差d 不为零的等差数列，且a 1=1，S n 为其前n 项和，
由a 2，a 4，a 8成等比数例，可得a 42
=a 2a 8，
即(a 1+3d)2=(a 1+d)(a 1+7d)， 化为a 1=d =1，可得d =1， 则a n =1+1×(n −1)=n ， S n =1
2
n(n +1)，
向量OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=(a n n ,2S n n 2)=(1,n+1
n )， 可得|OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+(1+1
n
)2，
则当n =1时，1
n 取得最大值1， 可得|OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |max =√5． 故答案为：√5．
设公差为d ，由等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得d ，进而得到数列{a n }的通项与前n 项和，求得向量OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再由向量模的计算公式求解． 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列中项性质，以及向量的模的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)志愿者年龄在[40,45)内的频率为：15
100=0.15
由(0.020+2m +4n +0.010)×5+0.15=1，得m +2n =0.07，①
由中位数为34可得0.020×5+2m ×5+2n ×(34−30)=0.5，即5m +4n =0.2.② 由①②解得m =0.020，n =0.025 (2)根据题意得到列联表：
K2的观测值k=100×(19×19−31×31)2
50×50×50×50
=5.76<10.828
所以没有99.9%的把握“认为选择哪种报名方式与性别有关系”．
【解析】(1)利用频率和为1及中位数列出关于m，n的方程组，通过解方程组得出答案．(2)完成列联表，计算K2的值，并与10.828比较得出结论．
本题考查频率分布直方图和独立性检验，属于基础题．
18.【答案】证明：(1)由已知S n=2a n−2n+1+2(n∈N∗)，①，
n≥2时，S n−1=2a n−1−2n+2(n∈N∗)，②
①−②得：a n=2a n−1+2n，
故a n
2n −a n−1
2n−1
=1
即b n−b n−1=1(n≥2)，
又n=1时，a1=2a1−4+2，得a1=2，
则b1=a1
2
=1，
故数列{b n}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴b n=1+(n−1)⋅1=n，
∴a n=n⋅2n；
(2)由c n=a n
4n ，得c n=n
2n
，T n=1×1
2
+2×1
22
+⋅⋅⋅n×1
2n
，
1 2T n=1×1
22
+2×1
23
+⋅⋅⋅n×1
2n+1
，
由错位相减法得1
2T n=1
2
+1
22
+⋅⋅⋅+1
2n
−n×1
2n+1
，
得T n=1+1
2+⋅⋅⋅+1
2n−1
−n×1
2n
，
∴T n=1−
1 2n
1−1
2−n⋅1
2n
=2−(n+2)⋅1
2n
．
【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
(2)利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的定义的应用，等差数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)根据正弦定理，由已知
2c−a b
=cosA
cosB ，
得
2sinC−sinA
sinB
=cosA
cosB ，得2sinC ⋅cosB =sin(A +B)，
∴cosB =1
2， ∵B ∈(0,π)， ∴B =π
3．
(2)由b =√6，c =√2及b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB ， 知a =2√2，
由题意AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知，23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13
AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴2BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=13
|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=
2√23
， ∴S △ABD =12
c ⋅BD ⋅sinB =1
2
×√2×
2√2
3
×
√32
=
√3
3
．
【解析】(1)根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosB =1
2，进而可求B 的值．
(2)由已知利用余弦定理可求a 的值，由题意利用平面向量的运算可得2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可求BD 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，余弦定理，平面向量的运算以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：(1)证明：∵AB =BC ，O 是AC 中点，∴BO ⊥AC
又平面SAC ⊥平面ABC ，且BO ⊂平面ABC ，平面SAC ∩平面ABC =AC ， ∴BO ⊥平面SAC ，∴BO ⊥SC ，又OD ⊥SC ，BO ∩OD =O ， ∴SC ⊥平面BOD ．
(2)∵△AOD 与△COD 面积相等，∴V A−BOD =V B−AOD =V B−COD ， ∵BO ⊥平面SAC ，∴V B−COD =1
3S △COD ⋅OB ， ∵OD =√3，∠DOC =30°.∴CD =1， ∴S △OCD =1
2OD ⋅CD =√3
2
， ∴V B−COD =1
3×
√3
2×√3=1
2，
即三棱椎A −BOD 的体积为1
2．
【解析】(1)先根据面面垂直的性质和定理证明BO ⊥平面SAC ，得到BO ⊥SC ，再结合OD ⊥SC ，得到SC ⊥平面BOD ；
(2)由V A−BOD =V B−AOD =V B−COD ，结合三棱锥的体积公式即可求解．
本题考查线面垂直的证明，三棱锥体积的求法，考查的核心素养为直观想象和逻辑推理，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意得2a =4，即a =2，
又点A(1,√3
2)在椭圆C 上，
∴1
4+
34b 2
=1，即b 2=1，
∴椭圆C 的方程为x 24
+y 2=1．
(2)设直线n 的方程为y =kx(k ≠0)， 由{y =kx x 24
+y 2
=1
，得(1+4k 2)x 2−4=0， 则Δ>0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， x 1+x 2=0，x 1x 2=−4
1+4k 2
则|MN|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 2x 2]=4√1+k 2√1+4k 2
，
又点B(1,1
2)到直线n 的距离为d =|k−12
|√1+k 2
，
∴S △BMN =1
2|MN|⋅d =
√1+4k 2
=√1−
4k
1+4k 2
当k >0时，S △MAN <1； 当k <0时，当S △MAN =√1+
4
1
−k
+(−4k)≤√1+2√4
=√2当且仅当k =−1
2时取等号，
综上所述，△BMN 面积的最大值为√2．
【解析】(1)由椭圆C 上点A 到两个焦点距离之和为4，则2a =4，1
4+3
4b 2=1，进而解得a 2，b 2，即可得出答案．
(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线n 的方程为y =kx(k ≠0)，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，由弦长公式可得|MN|，再得点B(1,1
2)到直线n 的距离d ，进
而可得S△BMN，结合基本不等式，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1
x −a
x2
=x−a
x2
，令f′(x)=0得x=a
所以f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增
(2)原式等价于xlnx+a+e−2−ax≥0在(0+∞)上恒成立．
令g(x)=xlnx+a+e−2−ax.∵g′(x)=lnx+1−a，
令g′(x)=0，得x=e a−1，
当0<x<e a−1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当x>e a−1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
∴g(x)的最小值为g(e a−1)=(a−1)e a−1+a+e−2−ae a−1=a+e−2−e a−1．
令t(a)=a+e−2−e a−1.t′(a)=1−e a−1.令t′(a)=0得a=1．
且当0<a<1时，t′(a)>0，t(a)单调递增，当a>1时，t′(a)<0，t(a)单调违减，∴当
a∈(0,1)时，t(a)>t(0)=e−2−1
e =e(e−2)−1
e
>0，
当a∈[1,+∞)时，t(a)=a+e−2−e a−1≥0=t(2)，∴a∈[1,2]，
综上所述，实数a的取值范围为(0,2]．
【解析】(1)求出函数的导数，通过a的范围，判断导函数的符号，然后推出函数的单调区间．
(2)原式等价于xlnx+a+e−2−ax≥0在(0+∞)上恒成立．令g(x)=xlnx+a+e−2−ax，通过函数的导数求解g(x)的最小值，令t(a)=a+e−2−e a−1.推出t(a)=a+ e−2−e a−1≥0=t，然后求解实数a的取值范围为(0,2]．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．。