2021届江西省九江市同文中学高三上学期期中考试数学试题(理)

江西省九江市同文中学2021届高三上学期期中考试
数学试题（理）
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1
．已知(3)z +⋅=-（i 是虚数单位），那么复数z 对应的点位于复平面内的( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．下列命题中的真命题有（ ）
A ．已知,a b 是实数，则“1133a b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
”是“33log log a b >”的充分而不必要条件；
B ．已知命题:0p x ∀>，总有(1)1x x e +>，则0:0p x ⌝∃≤，使得()011x
x e +≤
C ．设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“//m β”是“//αβ”的充要条件；
D ．“2
00,2x
x R x ∃∈>”的否定为“2,
2x x R x ∀∈≤”
3.函数ln ()x x
f x x
=的大致图象为（ ）
A B C D
4.将函数y=3sin （2x+3π）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（12
π-，0）中心对称（ ） A. 向左平移
12
π
个单位 B.向右平移
12
π
个单位
C.向左平移
6π个单位 D.向右平移6
π
个单位
5.设f(x)是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ） A.f(x)f(－x)是奇函数； B.f(x)f(-x)是奇函数； C.f(x)＋f(－x)是偶函数； D.f(x)－f(－x)是偶函数
6.函数()2
2x
f x a x
=-
-的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,3
B ．()1,2
C ．()0,3
D ．()0,2
7.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为( ) A ．y x =-
B ．2y x =-+
C ．y x =
D ．2y x =-
8.如图，点A 为单位圆上一点，，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点
,则sinα＝（ ）
A.
4 B.4 C.4- D.4
-9．将全体正整数排成一个三角形数阵，按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数 为（ ）
A ．13
B ．39
C ．48
D ．58
10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111
30(2),3
n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ）
A ．1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列
B ．13n S n
=
C ．1
3(1)
n a n n =-
-
D ．{}
3n S 是等比数列
11.在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，2CA =，点P 为三角形ABC 所在平面上一动点，且满足BP =1，则
()CB
CA BP +⋅的取值范围是（ ）
A. [-
B. [0,
C. 『-2,2』
D.[-
12.已知函数f(x)在定义域R 上可导，且f´(x)≥cosx ，则关于x 的不等式
()())24
f x f x x ππ
≥-+-的解集为（ ）
A.『
4π，＋∞) B.『－4π，＋∞) C.(－∞，4π』 D.(－∞，－4
π』 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13.已知向量a =(1,2),b =(4,m ),若a //b ,则a ⋅b =__________
14.若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<,则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大.
15．若
11
0,a b
>>有下列四个不等式①33a b <;②21log 3log 3;a b ++>④3322.a b ab +>则下列组合中全部正确的为__________
16.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足()2()f x f x +=，当11x -≤<时，
()3f x x =．若函数()()log a g x f x x =-恰有6个不同零点，则a 的取值范围是_________
三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{}n a 中，11a =且1211n n a a a a +++⋅⋅⋅+=-．数列{}n b 中，11b =且
11
n n n
b b n -=
-（1,n >*n N ∈）． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设n n n
c a b =⋅，求数列
{}n c 的前n 项和为n
T
.
18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1A B ⊥平面ABC ，1AB AC ==，
12AA =.
()1证明:平面1AA B ⊥平面11AAC C ； ()2求二面角1B AC C --的正弦值.
19.某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答.竞答分为必答题(共5题)和选答题(共2题)两部分.每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响.已知甲同学答对每道必答题的概率为4
5，答对每道选答题的
概率为25
.
(1)求甲恰好答对4道必答题的概率；
(2)在选答阶段，若选择回答且答对奖励5分，答错扣2分，选择放弃回答得0分.巳知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为1
2，试求甲同学在选答题阶段，得分X
的分布列.
20．已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率为2
，且椭圆上一点到两个焦点的距离
之和为
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点1,03S ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点T ，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知函数()2
1ln 2
f x x a x =
-．其中a 为常数． （1）若函数)(x f 在定义域内有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围；
（2）已知1x ，2x 是函数()f x 的两个不同的零点，求证：12x x +>
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t α
α
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数，0απ<<）
．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos sin θ
ρθ
=．
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，若8AB =，求α值．
23．已知函数()22f x x x a =-++，a R ∈. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥； （2）若存在0x 满足
()0023
f x x +-<，求实数a 的取值范围
——★ 参 考 答 案 ★——
13．20; 14. 8; 15. ①③; 16. (]7,55,7 ⎥⎦
⎤
⎝⎛
17.解：（1）因为1211n n a a a a +++⋅⋅⋅+=-， 当2n ≥时，1211n n a a a a -++⋅⋅⋅+=-， 两式相减得12(2)n n a a n +=≥；
当1n =时，2112a a =+=，所以212a a =； 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，则12n n a ．
数列{}n b 中，11b =，满足11
n n n
b b n -=
-（1,n >*n N ∈）． 即11n n b n b n -=-，1212n n b n b n ---=-，2323n n b n b n ---=-，…，3232b b =，1221b b =，
等式左右两边分别相乘可得
11
n b n
b =，而11b =，所以n b n =．
（2）n n n c a b =⋅，由（1）可得1
2n n c n -=⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T .
则123
2112232(2)2
(1)22n n n n T n n n ---=+⨯+⨯+⋅⋅⋅-⨯+-⨯+⨯
123212122232(2)2(1)22n n n n T n n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅-⨯+-⨯+⨯
两式相减可得123211222222n n n n T n ---=++++⋅⋅⋅+-⨯
12221212
n n n n n T n n --=-⨯=--⨯-，所以(1)21n
n T n =-⨯+，
18.()1证明：如图，
1A B ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，
∴1A B AC ⊥．
又
AB AC ⊥，1AB A B B ⋂=，
∴AC ⊥平面1AA B ．
又
AC ⊂平面11AAC C ，
∴平面1AA B ⊥平面11AAC C ．
()2过点A 作平面ABC 的垂线作为z 轴，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系，
则()000A ，，，()100B ，
，，()010C ，，
，(110A ，
，(111C ， ()0,1,0AC =
，(1AC =，()1,0,0AB =，
设平面1ACC 的法向量()1111n x y z =，，，
则有11100AC n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即11110
y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令11z =，()
1301n =-，， 设平面1ABC 的法向量()2222n x y z =，，，
则有11100AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪
⎩，即22
220
0x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21z
=，()
201n =，， 向量1n ，2n 所成角的余弦值：1212
1
cos 4n n n
n θ⋅=
=
⋅．
∴sin 4θ=
=，
∴二面角1
B A
C C --的正弦值为4
．
19．
20.解：（1
）由椭圆定义可得2a =
，则a =
又椭圆C
的离心率为c e a =
=
， 1c ∴=
，则1b =，
因此，椭圆C 的标准方程为2
212
y x +=.
（2）当直线l 不与x 轴重合时，可设直线l 的方程为13
x my =-， 设点()11,A x y 、()22,B x y ，设点T 的坐标为(,0)t ，
联立221312
x my y x ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 并整理得()
22
18912160m y my +--=，
()()22214464189144940m m m ∆=++=+>恒成立，
由韦达定理得122212418963m m y y m m +=
=++，122
16
189
y y m =-+， 由于以AB 为直径的圆恒过点T ，则TA TB ⊥，
111,3TA my t y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，221,3TB my t y ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭，
12121133TA TB my t my t y y ⎛
⎫⎛⎫⋅=----+ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
()()2
2
121211133m y y m t y y t ⎛⎫⎛⎫
=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()22
2116112131893m m t m t m ⎛⎫
-+-+⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭=++ ⎪
+⎝⎭
2
2
2
1(1220)1603189t m t m ++⎛⎫=+-= ⎪+⎝⎭
， 由于点T 为定点，则t 为定值，所以
122016
189
t +=，解得1t =， 此时2
416039TA TB ⎛⎫⋅=-= ⎪⎝⎭
，符合题意；
当直线l 与x 轴重合时，则AB 为椭圆的短轴，此时，点T 与点A 或点B 重合，合乎题意． 综上所述，直线l 恒过定点(1,0)T ．
21. 解：（1）()2'(0)a x a
x x x x
f x -=-=>，
当0a ≤时，()'0f x >，()f x 在()0,∞+上单调递增,不符合题意， 当0a >时，令()'0f x =
，得x =
当(x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减，
当)
x ∈
+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增，
0>∴a
（2）由（1）知
当0a ≤时，()'0f x >，()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 至多有一个零点，不符合题意，
当0a >时，令()'0f x =，得x =
当(x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减，
当)x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增，
故当x =()f x 取得最小值()1ln 2
a f a =-，
当0a e <<时，1ln 0a ->，0f
>，函数()f x 无零点，不合题意，
当a e =时，1ln 0a -=，0f =，函数()f x 仅有一个零点，不合题意，
当a e >时，1ln 0a -<，0f <，
又()1102
f =>，所以()f x 在(x ∈上只有一个零点， 令()ln 1p x x x =-+，则()1'1p x x =-， 故当01x <<时，()'0p x >，()p x 单调递增，
当1x >时，()'0p x <，()p x 单调递减，
所以()()10p x p ≤=，即ln 1≤-x x ，所以ln 221a a ≤-，
所以22(2)2ln 22(21)0f a a a a a a a a =-≥--=>，
又2a >()f x 在)
x ∈+∞上只有一个零点． 所以a e >满足题意．
不妨设12x x <，则(1x ∈，)
2x ∈+∞，
令()))(0g x f x f x x =-≤≤，
则()))ln ln g x a x a x =-+，
()
'g x ==
当0x <<()'0g x <，所以()g x 在(上单调递减，
所以当(x ∈时，()()00g x g <=，即))f
x f x <，
因为(1x ∈(1x ∈，
所以()()))()21111
f x f x f x f x f x ⎤⎤==>=⎦⎦，
又)2x ∈+∞，)1x ∈+∞，且()f x 在)+∞上单调递增，
所以21x x >，故12x x +>>。