基于泛复变函数求解Maxwell方程的方法

文章编号：１００３—６５２０（２００６｝０４－００３４—０３
Ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ Ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ．Ｍａｘｗｅｌｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｈｙｐｅｒｃｏｍｐｌｅｘ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ
ＢＩＡＮ Ｘｉｎｇｒｎｉｎｇ，ＷＥＮ Ｙｕａｎｆａｎｇ，ＨＵＡＮＧ Ｆｅｉｒａｎ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｕａｚｈｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ
认工，Ｙ，鬈）一∑∑口。ｃｏｓ（铆墟）ｃｏｓ（ｐｎｙ）ｃｏｓｈ（鬈／五万汪再ｊ；万ｒ）＋
６，，，ｌ ｓｉｎ（∞船）ｓｉｎ（ｐ拶）ｓｉｎｈ（√丽万ｑ罚；孬＿）， 代人方程的边界条件很容易求得电位的解：
ｄ如ｚｙ“，㈡扣：半罩。蛰∑争．ｓ，ｉｎ∑（ｍｎｘ／ａ）ｓｉ砌…ｎ‘（ｍｙ／ａ）． “Ⅲ一奇数Ｒ一奇 ！ｉ翌ｈ（！（！翌！』垒２ １±鱼！匹』垒２：２：竺兰２ ｓｉｎｈ（（（栅／ｎ）２＋（，两／６）２）１１２ｃ）。
Ｒ／ａｘ２＋ａ２Ｒ／ａｙ２＋ａ２Ｒ／ａｚ２一ａＺＲ／ｃ２ａｔ２一ｏ’
，●Ｊ、●，【 ∥ａｚ２＋ａ２∥ａｙ２＋ａ２∥ａｚ２一ａ２９／ｃ２ａｔ２一ｏ
２００６年４月
高电压技术
第３２卷第４期 ·３５·
在洛仑兹规范ａＰ／ａｚ＋ａＱ／ａｙ＋ａＲ／ａｚ＋ａ∥ｃ２３ｔ＝Ｏ 情况下，方程组的特征方程是：ｅｉ＋ｅ；＋ｅｌ—ｄ／ｃ２— ０，（ｅ１，ｅ２，ｅ３，ｅ４）取四维复数（ａｉ，ｂｊ，ｃｋ，ｄ）ｃ１４］，这 里，令泛复变量叩一ｚ８１＋ｙｅ２＋ｚｅ３＋ｔｅ４，如果，（＇７）、 ｇ（矽、＾（叩）、９（叩）是＇７的泛复解析函数且满足，ｏ’ （ｒ１）ｅ１＋９７（叩）ｅ２＋＾７（ｒ１）ｅ３＋∥（ｒ１）ｅ４／ｃ２一ｏ，则ｐ＝ｆ （１７）、Ｑ—ｇ（叩）、Ｒ＝ｈ（ｒ／）、９—９（砂是方程的泛复解， 对应的实分量是方程的实解。
Ｚｇ－－…ｆＭｅａａｚ。们Ａ／Ｏ之ｔ篓， ∞ＶＩ Ｖ ２Ａ一肛ｅａ２
２一一从Ｊｒ
㈤…
再次用Ｆｏｕｒｉｅｒ方法将上述方程组展开为单色波
后，即将问题转化为求解形式如下列所示方程组：
Ｐ／ａｘ２＋ａ２Ｐ／３ｙ２＋ａ２Ｐ／ａｚ２一ａ２Ｐ／ｃ２３ｔ２—０
Ｑｌａｘ２＋ａ２Ｑ／ａｙ２＋ａ２Ｑ／ａｚ２一ａ２Ｑ／ｃ２ａｔ２一ｏ
在电磁场问题中由Ｅ一一ａＡ／ａ￡一Ｖ９、Ｂ—Ｖ ×Ａ、Ｄ＝ｅＥ、Ｈ＝Ｂ／Ｉ－ｔ求得（Ｄ，Ｅ，．Ｂ，Ｈ）一组物理量。 现以求解下列方程组为例说明泛复变函数在解偏微 分方程组中的具体方法：
｛ａｕ／ａｘ＋ＯＨ扫》＋ａｔｌ／３ｚ＝Ｏ ＜ａ２ｕ／ａｘ２＋ａ２ｕ／ａｙ２＋ａ２甜／ａ≯一ｏ。 【ａ４ ｕ／ａｘ４＋ａ４ ｕ／ａｙ４＋ａ４ ｕｌａｚ４一。 先列出该方程组的特征方程
·３６·Ａｐｒ．２００６
Ｈｉｇｈ Ｖｏｌｔａｇｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｖ０１．３２ Ｎｏ．４
沿用单色波的求解方法得到相应的解，本文用例３ 进行了相关研究（见图３）。
Ｚ
， Ｘ
图３立方体金一檀Ｉ内部有电荷】 Ｐｉｇ．３ Ｃｕｂｉｃ ｍｅｔａｌ ｔｒｏｕ曲（ｄｅｃｔｒｉｃ ｃＩｌａｒ寥蛔ｓｌ瞳） 例３立方体金属槽加盖后各面均保持接地，
槽内填充均匀电荷（ｐｖ＝ｐ０），则槽内部电位方程为
Ｖ ２９（ｚ，Ｙ，ｚ）＝一＆／￡一一ｌ口ｂ／￡
（４）
其边界条件为：各个面的电位都为０。求解这种复
色波时先将其用Ｆｏｕｒｉｅｒ法分解成单色波：
譬。 。蚤Ⅲ一。奇数”蚤＝奇。数扭蚤奇数‰ｉｎ警ｓ“ｉｎ字ｓ“；ｎ譬。，
上式两边同时乘以正弦因子后分别对ｚ、Ｙ、２在相 应区域上积分，注意到三角函数的正交性，得
在电磁场与电磁波分析中，可先用Ｆｏｕｒｉｅｒ方
法将它们展开为单色波分析，再叠加起来即可得到
Ｍａｘｗｅｌｌ方程一般形式的解。故只要分析单色波情 况下Ｍａｘｗｅｌｌ方程的泛复解就可完成求解目的。
若设电磁场矢量势Ａ一（Ｐ，Ｑ，Ｒ）；电磁场标量
势为９；光速为ｃ，则在洛仑兹规范下即ＶＡ＋∥￡
ａｇ／ａｔ＝ｏ，时变方程组可转化为动态势方程组：
４与分离变量法的比较
与传统的分离变量法相比，用泛复变函数的方 法求解电磁场问题很容易得到待求方程的特征根， 从而确定叩，再由关于叩的泛复解析函数厂（７７）（电磁 场问题的求解中一般取与偏微分方程本征函数系相 一致的泛复解析函数护）是方程的泛复解，写出待 求量的表达式，代人边界条件后就可迅速求得方程 的解。分离变量法需将待求量写成多个单变量函数 相乘的形式，再代人原方程分离变量后得到一系列 方程组，逐个求解这些方程后才能根据边界条件确 定出方程的解，求解过程较复杂、计算量较大。当遇 到复色波情况时，用分离变量法首先要将复色波分 解为单色波的形式，再对每个单色波分离变量，因此 分离变量的次数随着分解所得单色波的个数、变量 个数的增加而迅速增加，故使用非常有限。而用泛 复变函数的方法只要将复色波展开为单色波，就可
０引 言 在许多情况下，古典的偏微分方程和场论的方
法很难求得Ｍａｘｗｅｌｌ方程（组）的解析解，于是出现 了许多新的求解方法，如解析方法中的复势函数法 用于求解场域为较规则几何图形的情况（同轴电缆、 电机定子和转子间的气隙、三相输电线路等）可求得 较准确的解［１。２１；数值方法中的有限元法、有限差分 法则将待求场域在空间上离散，借助计算机求出多 元代数方程的解，在场域不规则的情况下其优势较 明显睁８Ｉ。但上述方法求解过程较复杂，需繁琐的计 算过程或较大的编程量和计算量。泛复变函数是复 变函数在高维情况下的推广形式，它能使求解过程 大为简化，故本文初步探讨了用泛复变函数的理论 求解Ｍａｘｗｅｌｌ方程（组）的方法，预期在待求场域可 用偏微分方程（组）、边界条件可用初等函数方程表 示的情况下，为电磁场问题的求解提供一条概念清 晰、操作简单的途径睁１２］。
以一个三元高次偏微分方程组和两个电磁场问题求解为例，用提出的方法得到了与经典求解法一致的结果。在待 求场域可用偏微分方程（组）、边界条件可用初等函数方程表示的情况下，该方法具有概念清晰、简单便捷的优点。
关键词：泛复变函数；电磁场；Ｍａｘｗｅｌｌ方程；偏微分方程组；傅立叶方法
中国分类号：ＴＭｌ５３
文献标识码：Ａ
ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｕｈａｎ ４３００７４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｈｙｐｅｒｃｏｍｐｌｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ－ｔｈｅ ｐｏｐｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｎ ｈｉｇｈ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ，ｈａｓ ｓｕｐｅｒｉｏｒｉｔｙ ｏｎ ｓｏｌ— ｖｉｎｇ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｗｈｉｃｈ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ ｍａｎｙ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ａ ｎｅｗ ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ Ｆｉｅｌｄ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｈｙｐｅｒｃｏｍｐｌｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｅ ｃａｎ ｓｉｍ— ｐｌｉｆｙ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｍａｎｙ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｏｂｔａｉｎ ａ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ Ｍａｘｗｅｌｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｗｉｔｌｌ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｓ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄ＆ Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｈｙｐｅｒｃｏｍｐｌｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ；Ｍａｘｗｅｌｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；Ｆｏｕｒｉｅｒ ｍｅｔｈｏｄ
Ｙ一厂（ｚ）及厂：Ｇ Ｃ Ｘ—Ｄ ｃ Ｙ，
（１）
泛复变函数将古典的解析函数向高维推广，不仅可
在函数论中得到许多定理和公式，而且在代数方程
根的新数量、偏微分方程高阶与低阶的关系、方程与
各种域中等式的扩展、奇异电磁场的描述、空间流场
的直接处理等方面得到了较好应用。
２用泛复变函数方法求解Ｍａｘｗｅｌ
高电压技术
Ｈｉｇｈ Ｖｏｌｔａｇｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｖ０１．３２ Ｎｏ．４ Ａｐｒ． ２００６
基于泛复变函数求解Ｍａｘｗｅｌｌ方程的方法
卞星明，文远芳，黄斐然 （华中科技大学电气与电子工程学院，武汉４３００７４）
摘要：根据泛复变函数是复变函数在高维情况下的推广形式，将这种方法用于电磁场边值问题的解析计算。并
将单色波下的电位‰（ｚ，Ｙ，ｚ）写为
‰“一Ａ。，“ｓｉｎａｚｓｉｒ向ｓｉｎＹｚ＋Ｂ。ｄ ｃｏｓ．ｒｅｏｓ缈ｃｏｓｒｚ，
故：９（ｚ，Ｙ，２）一∑∑∑％．“一∑∑∑Ａ州·
纠＝Ｉｎ＝１１＝１
”·＝Ｉｎ＝ｉ１＝１
ｓｉｎａｘｓｉｎｆｌｙｓｉｎＹｚ＋Ｂ，。ｄ ｅｏ舛ｘｅｏｓｆｌｙｃｏｓＴｚ，
代入边界条件易求得：
３应用举例
例１矩形槽的电位 Ｙ 分布求解分析 图１金属 槽若槽底和侧壁连成一体 并接地，槽顶与底盖绝缘， ｂ 槽顶相对于底盖电位为 图１矩形金属槽
砜。则金属槽内部的电位Ｆｉｇ·１ Ｒ竺纽ｎＰｌａｒ眦ｔａｌ
。
方程为 Ｖ ２妒（ｚ，ｙ）一０，（Ｏ＜ｚ＜ａ，０＜Ｙ＜易），（３）
此种情况下边界条件为
仪ｏ，３，）＝０，（ｏ＜Ｙ＜６）；９（ａ，ｙ）一０，（Ｏ＜Ｙ＜６）； 认ｚ，ｏ）一０，（ｏ＜Ｘ＜口）；Ｐ（ｚ，６）一ｒｉｏ，（ｏ＜Ｘ＜ｎ）。
由于式（３）的特征方程为：ｅｉ＋Ｐ；一０，故取ｅ，＝ａｉ，ｅ。 一ａ（ａＥＲ），得到生成元叩一Ｐ１ｚ＋ｅｚｙ＝ａ（ｙ＋ｘｉ）， 关于叩的指数函数Ｐ删是方程的解，它有两个分量， 故可将方程的解９（ｚ，ｙ）取为
万９（方ｘ，数ｙ据）一∑（‰ｃｏｓｈ（ａｎｙ）ｃｏｓ（甜ｚｘ）＋
６。ｓｉｎｈ（ａｎｙ）ｓｉｎ（ｏｎｘ）），
ｒ８１＋ｅ２＋如一０
＜Ｐ；＋馥＋Ｐ；一０，
ｌ硝＋程＋砖一。
若取ｅ。为主单位元，ｅ１一ｌ，ｅ２一一１／２＋√３ｉ／２，ｅ。一
一１／２－－ｆ３ｉ／２；再取泛复变量７ｌ＝ｘｅｌ＋ｙｅ２＋ｚｅ３一ｚ
＋（一１／２＋√３ｉ／２）ｙ＋（一１／２一√３ｉ／２）ｚ，则关于＇７ 的解析函数，（叩）一“是方程的解，Ｕ可取实数也可 取复数。如果待求解的方程是复色波形式，则只需 把在各单色波下求得的解叠加即可。如果用传统的 分离变量法或复势函数法则很难求得这种多维高次 偏微分方程，用泛复变函数的方法则很简单。
砜，其它几个面电位为零。
·ｔｔ
图２立方体金属槽（内部无电荷） Ｆｉｇ．２ Ｃｕｂｉｃ ｍｅｔａｌ ｔｒｏｕｇｈ（ｎｏ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｃｈａｒｇｅ ｉｎｓｉｄｅ） 求解原理和例１相同，先由电位方程及边界条 件列出特征方程，再通过求得特征方程的特解得到
生成元叩一ｅｌｘ＋ｅ‘２Ｙ＋ｅ３ｚ—ｚＪ（ａｍ）ｚ＋（触）２＋ ｘａｍｉ＋ｙｆｌｎｊ，由关于叩的泛复解析函数ｅ７是方程的 解直接列出电位表达式：
代人边界条件易求得：口一兀几，ａ。一ｏ
ｂ。一４Ｕｏ／ｎ７ｃｓｉｎｈ（ｒａｒｂ／ａ）、
如川＝警。量凼甓糍貉巡。 儿 Ｈ暑奇数
“ｏ¨“１＼，＂Ⅵ，／“／
例２立方体槽的电位分布求解分析实际金属槽
都是立方体的，本例分析了它一个截面上的电位分
布情况。就立体情况使用泛复变函数的方法求解其
内部电场分布。图２为立方体金属槽，槽顶电位为
ｐｅｏ一—。：Ｆ撒Ｘ．ａ商ＦＸ．∑ａ数型ｆ三教‰ｅｍｓｎｌｉ７ｃｎ３“罂“‘ｓ口ｉｎ“ 型“ ｓｂｉ泓 ｎ丝“ｃ，’
其次，将９看作各单色波作用效果叠加，在单色波作
用下式（４）的特征根可取为：ｅ，一ａｉ、ｅ２一序、ｅ。＝豫，
则生成元刁一ｅｌｚ＋ｅｚｙ＋ｅ３ｚ：ａｉｘ＋序了＋豫ｚ。
由于关于叩的泛复解析函数ｅ，是方程的解，故
１泛复变函数简介
如果一个广域Ｘ是巴拿赫代数，则称之为泛复
数ｍ］。其空间ｓ（ｅ）的一般元素空间ｚ一∑ｅｉＸｉ， ｉ＝１
Ｘｉ∈Ｒ。当泛复数空间ｘ的区域Ｇ中存在点ｚ，它 按照 万一方种数规据律，在泛复数空间ｙ的区域Ｄ上有点
Ｙ与之对应，称为在区域Ｇ中定义了一个泛复数算
子厂，当Ｘ～－－－Ｙ时，，称为泛复变函数，记作：