【期末】金山区高一第一学期期末考试1

【关键字】期末
金山区2008学年第一学期期末考试
高一数学试卷
(满分：100分，完卷时间：90分钟)
2009.01
(答题请写在答题纸上)
一、填空题(每小题3分，共36分)
1、计算：lg2+lg5= 。

2、计算：= 。

3、设A={x|x≥ –1}，B={x|x≤2}，用区间来表示集合A∩B= 。

4、已知函数f(x)=(x>–2)，g(x)=(x>0)，若F(x)=f(x)g(x)，则F(x)= 。

5、函数的定义域是。

6、实数x>0，则函数y=的最小值是。

7、函数y= x2（x≥0）的反函数为。

8、若对数函数y=是增函数，则a的取值范围是。

9、若二次函数f(x)=(m–1)x2+2mx+1为偶函数，则常数m= 。

10、如果函数y=f(x)是在定义域为(–4，4)上的奇函数，并且它在区间,4)上的图像如图所示，那么函数y=f(x)在(–4, 0)上的单调递减区间为。

11、用一根长度为8的铁丝，围成如图所示的矩形框架(不记损耗)，其中宽为x米，如果框架面积为f(x)，那么f(x)= 。

12、“函数y=f(x)与y=g(x)互为反函数”是“函数f(x)与g(x)的图像的
交点都在直线y=x上”的条件。

2、选择题(每小题3分，共12分)
13、下列各组函数中，函数f(x)与g(x)表示同一函数的是…………………………… ( )
(A)与(B)与
(C)与(D)与
14、指数函数y=a x是减函数，下面结论中正确的是…………………………………( )
(A)0<a<1，当x>0时，0<y<1，当x<0时，y>1
(B)0<a<1，当x>0时，y>1 , 当x<0时，0<y<1
(C)a>1，当x>0时，y>1，当x<0时，0<y<1
(D)a>1，当x>0时，0<y<1，当x<0时，y>1
15、函数的值域为…………………………………………………( )
(A)(–, 2(B) (–, 4(C)[0, 2](D)[0, 4]
16、函数的大致图象是………………………………………………………( )
三、解答题(本大题有6个小题，共计52分，请写出必要步骤)
17、(本题满分4分)
求函数y = x2 – 2x + 3在区间[0, 3]上的最大值和最小值。

18、(本题满分6分)
设函数(x2–1)，判断函数f(x)的奇偶性，并给与证明。

19、(本题满分6分)
求证：函数f(x)=在区间上单调递减。

20、(本题满分8分)
已知集合M ={x ||x –1|≤2，x ∈R }，P ={x |
1
5
+x ≥1，x ∈Z } (1)用区间或列举法表示集合M 和集合P ； (2)求M ∩P 。

21、(本题满分10分)
设集合A ={x |–2≤x ≤a }，函数y =2x+3的定义域为A ，值域为集合B ，函数y=x 2的定义域也是A ，值域为集合C 。

(1)写出函数y =2x+3的值域 (用字母a 来表示)； (2)写出函数y=x 2的值域 (用字母a 来表示)； (3)当C ⊆ B 时，求实数a 的取值范围。

22、(本题满分18分) 已知函数2
1()1f x x =
+，令1()g x f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭。

(1)求函数f (x )的值域；
(2)任取定义域内的5个自变量，根据要求计算并填表；观察表中数据间的关系，猜想一个等式并给予证明；
x
f (x )–21
g (x )–
2
1
(3)函数f (x )在区间[)0,+∞的大致图像如图所示，请在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的大致图像，并在同一坐标系中作出函数g (x )的大致图像。

（必须说明你的作图依据）
金山区2008学年第一学期期末考试
高一数学试题评分意见
一、填空题（每题3分，共36分）
1、1；
2、2；
3、[–1，2]；
4、x （x >0）；
5、[–1,1]；
6、6；
7、y=x (x ≥0)；
8、a >2；
9、0； 10、(–3,–1)(开闭不限)； 11、x (4–2x ), 0<x <2； 12、非充分且非必要
二、选择题（每题3分，共12分）
13、C ； 14、A ； 15、C ； 16、B ；
三、解答题(本大题有6个小题，共计52分) 17、（本题满分4分）
解：2)1(2
+-=x y ，………………………………………………………………………1分 函数在]1,0[上是减函数，在]3,1[上是增函数……………………………………………2分 当1=x 时，函数取最小值2；………………………………………………………………3分 当3=x 时，函数取最大值6。

……………………………………………………………4分 (只要写出一个最值，就给3分)
18、（本题满分6分）
解：定义域为{x |x ≠0}…………………………………………………………………………2分 因为f (–x )=
x x --||[(–x )2–1]= –x
x ||(x 2
–1) = –f (x )，…………………………………………4分
所以f (x )为奇函数。

…………………………………………………………………………6分
19、（本题满分6分）
证：任取0<x 1<x 2，…………………………………………………………………………1分
有f (x 1)–f (x 2)=214x –224x =2
2
21212
2
)(4x x x x -…………………………………………………3分 =
))((4
12122
2
21x x x x x x +-……………………………………………………………4分 因为0<x 1<x 2，所以x 2–x 1>0，
2
2
214
x x >0，即f (x 1)–f (x 2)>0…………………………5分 所以，函数f (x )=24
x
在区间(0,)+∞上单调递减。

……………………………………6分
20、（本题满分8分） 解：（1）由
1
5
+x ≥1，解得:–1<x ≤4………………………………………………………2分 因为x ∈Z ，所以P ={0,1,2,3,4}；…………………………………………………3分 （2）由|x –1|≤2，解得：–1≤x ≤3，………………………………………………………5分
即 M =[–1，3]，……………………………………………………………………6分
所以{}3,2,1,0=P M ……………………………………………………………………8分
21、（本题满分10分）
解：(1)函数y =2x+3 (x ∈A )的值域为B={y | –1≤y ≤2a +3}…………………………………1分
(2)当–2≤a <0时，函数y=x 2 (x ∈A )的值域C ={y | a 2≤y ≤4}…………………………3分 当0≤a <2时，函数y=x 2的值域C ={y |0≤y ≤4}………………………………………4分 当a ≥2时，函数y=x 2 (A x ∈)的值C ={y |0≤y ≤a 2}…………………………………5分 (3)当C ⊆ B 时，则有：
(1)当–2≤a <0时，有–1≤a 2且4≤2a +3，即a ≥
2
1
，故a ∈Φ………………………6分
(2)当0≤a <2时，有–1≤0且4≤2a +3，即a ≥
21，故21
≤a <2……………………7分 (3)当a ≥2时，有–1≤0且a 2≤2a +3，即–1≤a ≤3，故2≤a ≤3…………………8分 综上所述：满足条件C ⊆ B 的a 的取值范围是
2
1
≤a ≤3…………………………10分 (第（3）小题如果仅用数形结合方法得出答案，而没有具体说明过程，则扣2分)
22、（本题满分18分）
解：（1）解：由条件，()f x 的定义域为一切实数，故x 2≥0…………………………2分 所以，(]()0,1f x ∈.…………………………………………………………………4分 （2）表格内数据只要满足1()2
f x -和1()2
g x -
互为相反数即可得分…………………6分
（写对两组给1分） 猜想：11
()()2
2
()f x g x -
-=-[或()()1f x g x +=]………………………………………8分
证明：2
2
2
11()()111x f x f x x x
+=+=++………………………………………………10分 (3) 因为R x ∈，且()()f x f x -=，()()g x g x -=，所以函数()f x 和()g x 都是偶函数，其本身图像关于y 轴对称.……………………………………………………………12分 又11()()22f x g x ⎛
⎫-
=-- ⎪⎝
⎭所以函数1()2f x -的图像和1()2g x -的图像关于x 轴对称，即()f x 图像和()g x 图像关于直线1
2
y =
对称。

……………………………………14分 由此，可作出()f x 和()g x 在定义域内的全部图像。

………………………………18分 注意：若采用描点法作图且图像基本正确，但没有对性质加以研究的解答可给4分（一个图像2分），函数()g x 图像中的()f x 和()g x 的图像见下图。

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⊙x
o y=f(x)
y=g(x)。