广东省广州市海珠实验中学2021年高二数学理月考试卷含解析

广东省广州市海珠实验中学2021年高二数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，则双曲线方程为（）
A. B.或
C. D.
参考答案：
D
略
2. 若函数在区间上最大值为M,最小值为m,则的值为（）
A. B. 0 C. 2 D. 4
参考答案：
D
3. 已知直线切于点（1，3），则b的值为：（）
A．3 B．－3 C．5 D．－5
参考答案：
A
4. 已知是椭圆的半焦距,则的取值范围是( )
A (1, +∞)
B
C D
参考答案：
D 略
5. 设、、是互不相等的正数，现给出下列不等式⑴；
⑵；⑶；⑷，则其中正确个数是（）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
参考答案：
D
略
6. 设原命题：若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是
（）
A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题
参考答案：
A
【考点】26：四种命题的真假关系．
【分析】根据题意，写出逆否命题，据不等式的性质判断出逆否命题是真命题，所以原命题是真命题；写出逆命题，通过举反例，说明逆命题是假命题．
【解答】解：逆否命题为：a，b都小于1，则a+b＜2是真命题
所以原命题是真命题
逆命题为：若a，b 中至少有一个不小于1则a+b≥2，例如a=3，b=﹣3满足条件a，b 中至少有一个不小于1，但此时
a+b=0，故逆命题是假命题
故选A
7. 函数y=2sinx的单调增区间是（）
A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z） B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）
C．[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）D．[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）
参考答案：
A
【考点】HM：复合三角函数的单调性．
【分析】由于y=2u是增函数，只需求u=sinx的增区间即可．
【解答】解：因为y=2x是增函数，求函数y=2sinx的单调增区间，就是g（x）=sinx的增区间，
它的增区间是[2kπ﹣π/2，2kπ+π/2]（k∈Z）
故选A．
8. 设抛物线的焦点为F，准线为,P为抛物线上一点,PA⊥,A为垂足．如果直线AF的斜率为
,那么|PF|等于
A． B. 8 C. D. 4
参考答案：
B
略
9. 已知复数z=lgm+（lgn）i，其中i是虚数单位．若复数z在复平面内对应的点在直线y=﹣x上，则mn的值等于（）
A．0 B．1 C．10 D．
参考答案：
B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】复数z=lgm+（lgn）i，复数z在复平面内对应的点（lgm，lgn）在直线y=﹣x上，可得
lgm=﹣lgn，化简即可得出．
【解答】解：复数z=lgm+（lgn）i，复数z在复平面内对应的点（lgm，lgn）在直线y=﹣x上，
∴lgm=﹣lgn，可得lg（mn）=0，可得mn=1．
故选：B．
10. 已知命题、,“非为真命题”是“或是假命题”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．
参考答案：
0.8
12. 对于回归方程，当时，的估计值为。

参考答案：
390
略
13. 设圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2=5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，与y轴交于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为．
参考答案：
y=2x﹣1或y=﹣2x+11
【考点】直线与圆相交的性质；直线的一般式方程．
【分析】由题意可设直线L的方程为y﹣5=k（x﹣3），P（0，5﹣3k），设A（x1，y1），B（x2，
y2），联立，然后由方程的根与系数关系可得，x1+x2，x1x2，由A为PB的中点可得x2=2x1，联立可求x1，x2，进而可求k，即可求解直线方程
【解答】解：由题意可得，C（3，5），直线L的斜率存在
可设直线L的方程为y﹣5=k（x﹣3）
令x=0可得y=5﹣3k即P（0，5﹣3k），设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立消去y可得（1+k2）x2﹣6（1+k2）x+9k2+4=0
由方程的根与系数关系可得，x1+x2=6，x1x2=①
∵A为PB的中点
∴即x2=2x1②
把②代入①可得x2=4，x1=2，x1x2==8
∴k=±2
∴直线l 的方程为y ﹣5=±2（x ﹣3）即y=2x ﹣1或y=﹣2x+11 故答案为：y=2x ﹣1或y=﹣2x+11
14. 已知F 1，F 2是椭圆的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在 △AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为
参考答案：
6
15. 若点P （x ，y ）在曲线（θ为参数，θ∈R ）上，则点P 到原点的距离的取值范围
是 ．
参考答案：
[1，3]
考点：参数方程化成普通方程． 专题：直线与圆；坐标系和参数方程．
分析：把曲线的参数方程化为普通方程，由几何法求出圆上的点到原点的距离即可．
解答： 解：把曲线（θ为参数，θ∈R）化为普通方程，得；
x
2
+（y ﹣2）2
=1，
∴点P 在以点A （0，2）为圆心，以1为半径的圆上， 且圆心A 到原点O 的距离为1，
∴点P 到原点的距离取值范围是[1，3]． 故答案为：[1，3]．
点评：本题考查了参数方程的应用问题，解题时应把参数方程化为普通方程，是基础题目．
16. 已知圆过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为4，则该圆的标准方程为______________．
参考答案：
(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37
17. 三位同学参加跳高，跳远，铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项
目相同的概率是______
参考答案：
2/3 略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，椭圆
：
（
）和圆
：
，已知圆
将椭圆
的长轴三
等分，椭圆
右焦点到右准线的距离为
，椭圆
的下顶点为
，过坐标原点
且与坐标轴不重
合的任意直线与圆
相交于点、
．
（Ⅰ ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线、
分别与椭圆
相交于另一个交点为点
、
.
①求证：直线
经过一定点；
②试问：是否存在以
为圆心，为半径的圆，使得直线和直线都与圆
相交？若存在，请求出所有
的值；若不存在，请说明理由。

参考答案：
（Ⅰ）依题意，，则，
∴，又，∴，则，
∴椭圆方程为．…………………………………………………………4分
（Ⅱ）①由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，
由得或
∴，………………………………………………………………6分
用去代，得，
方法1：，
∴：，即，
∴直线经过定点．
方法2：作直线关于轴的对称直线，此时得到的点、关于轴对称，则与相交于轴，可知定点在轴上，
当时，，，此时直线经过轴上的点，
∵
∴，∴、、三点共线，即直线经过点，
综上所述，直线经过定点．……………………………………………9分
②由得或∴，
则直线：，
设，则，直线：，直线：，………………11分
假设存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，
则由（）得对恒成立，则，
由（）得，对恒成立，
当时，不合题意；当时，，得，即，
∴存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，所有的取值集合为．……………………………………14分
解法二：圆，由上知过定点，故；又直线过原点，故，从而得．…………………14分
略
19. 已知等差数列{的公差d>0，且是方程的两根，
(1)求数列通项公式
(2)设,数列的前n项和为,证明.
参考答案：
略
20. 画出下列函数的图象，（用虚线保留作图痕迹），并根据图象写出函数的单调区间：
（1）f（x）=log2（x+1）
（2）f（x）=x2﹣2|x|﹣3．
参考答案：
【考点】函数的图象；函数单调性的性质．
【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用．
【分析】（1）作函数y=log2x的图象，向左平移1个单位即可，从而写出单调区间；（2）作函数f（x）=x2﹣2|x|﹣3的图象，从而写出单调区间．
【解答】解：（1）作函数y=log2x的图象，向左平移1个单位即可，如下图；
，
f（x）=log2（x+1）的单调递增区间（﹣1，+∞）；
（2）作函数f（x）=x2﹣2|x|﹣3的图象如下，
故函数的单调递增区间（﹣1，0）和（1，+∞），单调递减区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）．
【点评】本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，同时考查了图象的变换．
21. （12分.某项考试按科目、科目依次进行，只有当科目成绩合格时，才可继续参加科目
的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考
试，科目每次考试成绩合格的概率均为，科目每次考试成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均不影响.
(1)求他不需要补考就可获得证书的概率；
(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的分布
列和数学期望.
参考答案：
22. 已知点P(2,-1)．
（1）求过点P且与原点距离为2的直线l的方程．
（2）求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
参考答案：见解析．
（）①当的斜率不存在时显然成立，此时的方程为．②当的斜率存在时，
设，即，
由点到直线的距离公式得，解得，
∴．
故所求的方程为或．
（）即与垂直的直线为距离最大的．
∵，
∴．
∴直线为．
最大距离．。