高中数学选修2-2同步练习题库：定积分的简单应用(填空题：一般)

定积分的简单应用（填空题：一般）
1、已知函数，则 .
2、__________．
3、已知曲线，，所围成的图形的面积为，则__________．
4、已知曲线，，所围成的图形的面积为，则__________．
5、由曲线所围成图形的面积是，则__________．
6、若函数与函数的图像所围成的阴影部分的面积为，则实数的值为_______
7、已知平面区域，，在区域内随机选取一点，则点恰好取自区域的概率是__________．
8、__________．
9、如图所示，在平面直角坐标系内，四边形为正方形且点坐标为.抛物线的顶点在原点，关于轴对称，且过点.在正方形内随机取一点，则点在阴影区域内的概率为
_________．
10、在区间上随机地取两个数，则事件“”发生的概率为__________．
11、直线与抛物线围成的封闭图形的面积等于___________.
12、由函数，的图象及两坐标轴围成的图形（如图中的阴影部分）的面积是
__________．
13、曲线与直线所围成的平面图形的面积为 __________.
13、如图，圆内的正弦曲线，与轴围成的区域记为（图中阴影部分），随机向圆内投一个点，记A表示事件“点落在一象限”，表示事件“点落在区域M 内”，则概率__________．
15、__________________
16、曲线和它在点（2，1）处的切线以及轴围成的封闭图形的面积为____．
17、定积分的值为 .
18、__________.
19、__________.
20、__________
21、曲线与直线和所围成的平面图形的面积为__________．
22、已知曲线在点处的切线为，则由以及直线围成的区域的面积等于__________．
23、自由落体的运动速度（为常数），则当时，物体下落的距离为__________．
24、如图,函数解析式，点的坐标为(1,0),函数过点,若在矩形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于__________．
25、 ____________.
26、曲线与直线围成的封闭图形的面积为___________；
27、设函数的图象与直线及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积，
已知函数在上的面积为，则函数在
上的面积为__________．
28、计算得__________．
29、在区间上随机地取两个数，则事件“”发生的概率为__________．
30、已知数列为等比数列，且，则的最小值为
______________
31、若，则的值是___________．
32、已知函数的两个零点分别为，则
__________．
33、如图，在边长为1的正方形内，阴影部分是由两曲线，（）围成，
在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是，则函数的值域为
________.
34、定积分的值为．
35、计算 .
36、函数f(x)＝的图象与直线x＝1及x轴所围成的封闭图形的面积为________．
37、以曲线为曲边的曲边形（如图阴影部分）面积为
_______________．
38、若，则的值是______．
39、由直线,,曲线及轴所围成的封闭图形的面积是__________.
40、曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为．
41、曲线与所围成的图形的面积是__________.
42、曲线与直线所围成的封闭图形的面积为．
43、由曲线，与直线，所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是_____________．
44、如图所示，由直线，及轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即．类比之，，
恒成立，则实数．
45、已知展开式的常数项为15，则______．
46、．
47、已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为________．
48、由直线，，与曲线所围成的封闭图形的面积为．
49、已知，则二项式的展开式中的系数为 .
50、已知，展开式的常数项为15，则___________
51、______。

52、设函数，若，则的值为______．
53、e x dx＝________．
54、如图，直线与函数的图象围成的封闭图形（阴影部分）的面积是_____________．
55、把写成定积分式为
56、计算定积分___________.
57、若的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为，则直线与曲线所围成的封闭区域面积为．
58、已知，展开式的常数项为15，则____________.
59、已知函数的图象如图所示，它与轴在原点相切，且轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为,则的值为_________
60、若，则常数的值为_________________
61、若的展开式所有的系数之和为81，则直线与曲线所围成的封闭区域面积为
__________.
62、 .
63、计算_____________________.
64、若的展开式中各项的系数之和为，且常数项为，则直线与曲线所围成的封闭区域的面积为______.
65、定积分．
66、_______________.
67、如图阴影部分是由与直线围成，则其面积为________．
68、（原创）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 .
69、已知且曲线与所围成的封闭区域的面积为，则________．
70、定积分的值为 .
参考答案1、
2、
3、
4、
5、1
6、2
7、
8、
9、
10、
11、
12、
13、
14、
15、
16、
17、
18、
19、
20、
21、
22、
23、
24、
25、
26、
27、
28、
29、
30、
31、2
32、
33、
34、
35、
36、
37、
38、
39、
40、
41、
42、
43、
44、
45、
46、
47、－3
48、
49、－6480
50、
51、
52、
53、e－1.
54、.
55、
56、
57、
58、.
59、
60、3
61、
62、.
63、
64、
65、
66、
67、
68、
69、
70、
【解析】
1、试题分析：，其中
，其中由定积分的几何意义可知，其表示半径为
的圆的面积的，即，故，故答案为.
考点：定积分的计算.
2、∵在上为奇函数，∴=0
∵表示以原点O为圆心，半径为2的圆的二分之一，∴，
∴
故答案为：
3、画出曲线如下图，所以
，填。

4、画出曲线如下图，所以
，填。

5、由，得图象的交点坐标为，
所以曲线所围成图形的面积是
，所以
故答案为：1
点睛：用定积分处理面积问题的方法：牛顿-莱布尼茨定理，几何意义，奇偶性.
6、直线方程与抛物线方程联立，解得x=0,x=2k,得到积分区间为[0,2k]，
由题意得：，
即k3=8，解得k=2.
7、依题意知，平面区域是一个边长为的正方形区域（包括边界），其面积为，
，如图2，
点恰好取自区域的概率．故结果为；
点睛：考查集合概型，和积分，利用面积之比求出概率即可；
8、，
，，由定积分的几何意义，表示半圆
与x轴围成的图形的面积，其面积为，所以。

故答案为：
9、由抛物线的顶点在原点，关于轴对称，且过点，所以抛物线方程为，阴影区域的面积为，正方形的面积为1，
点在阴影区域内的概率为.
故答案为：
10、由题意画出事件“”所表示的图象,如图阴影部分,阴影部分的面积为 ,由几何概型概率公式有事件“”的概率为 .
11、直线与抛物线的交点坐标为，
据此可得：直线与抛物线围成的封闭图形的面积等于:
.
12、由题意可得：函数，的图象的交点坐标为，函数的图象与x轴的交点坐标为，则图中阴影部分的面积为：
.
点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．
求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．
13、曲线与直线，y=0所围成的平面图形的面积为：
.
14、由几何概型，构成试验的全部区域为圆在第一象限的区域，面积为，正弦曲线在第一象限内与轴围成的区域面积，则所求概率为．故本题应填
．
点睛：对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时
间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.
15、,由定积分的几何意义知：是如图所示的阴影部分曲边梯形
的面积，其中，
故，故，
故，故答案为.
16、在(2,1)点处的切线l，则，∴直线l的斜率，
∴直线l的方程为y−1=x−2，即y=x−1，
当y=0时，x−1=0，即x=1，
所围成的面积如图所示：
.
点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．
求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．
17、试题分析：由定积分的几何意义知表示半圆与所围图形的面积，
，所以．
考点：定积分的几何意义．
18、由微积分基本定理可得：，
曲线表示单位圆的四分之一，则：，
据此可得： .
点睛： (1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．
(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．
(3)若y＝f(x)为奇函数，则 .
19、由微积分基本定理可得：，
曲线表示单位圆的四分之一，则：，
据此可得： .
点睛： (1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．
(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．
(3)若y＝f(x)为奇函数，则 .
20、表示以(1,0)为圆心,1为半径的圆的个圆的面积,所以π×12=；
故答案为：
21、交点坐标为转化为对y的积分，
所求面积为：
22、因为，，切线方程为，，故填
．
23、由积分的意义可得，
24、由函数的图象经过点C（2,4）,有 ,所以函数,故曲边梯形EABC面积为
,阴影部分面积为 ,所以概率 .
点睛: 本题主要考查概率的计算, 属于中档题. 本题思路: 先根据函数过点C(2,4), 求出函数的解析式, 再由定积分求出曲边梯形EABC的面积,从而求出阴影部分的面积,最后根据几何概型计算公式求出概率.
25、原式化为，，根据定积分的几何意义可知，等于以原点为圆心，以为半径的圆面积的一半，即，所以，故答案为.
【方法点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数.
26、解：由可得：，由定积分的几何意义可知，封闭图形的面积为：
.
点睛：用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．
27、解：令，则问题等价于求解在区间上的面积，
由题中所给的结论可知：，函数的周期为，结合正弦函数的性质可知：，将函数的图象向上平移两个单位得到函数的图象，增加的面积为：
，综上可得：函数在上的面积为 .
28、根据定积分的几何意义及定义，可知，故答案为.
29、由题意画出事件“”所表示的图象,如图阴影部分,阴影部分的面积为 ,由几何概型概率公式有事件“”的概率为 .
30、由定积分的几何意义，得表示以原点为圆心、半径为2的面积的四分之一，即
，因为数列为等比数列，所以
.
点睛：求定积分的值一般有两种思路：
①利用微积分基本定理进行求值，适用于原函数容易求的题型；
②利用定积分的几何意义进行求解，主要适用于形如.
31、试题分析：由，得，所以
．
考点：定积分的运算．
32、由题意得 ,而,因为
,所以,表示单位圆在轴上方(含与轴交点)半圆的面积,即.
33、设阴影部分的面积为,则，又正方形面积为
，，的值域为
点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤
(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．
2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．
34、试题分析：，由几何意义得，又
.
∴.
考点：定积分
【方法点睛】1.求曲边图形面积的方法与步骤
(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．
2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．
35、试题分析：
考点：定积分
【方法点睛】1.求曲边图形面积的方法与步骤
（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
（3）确定被积函数；
（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.
2.利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时，要分不同情况讨论.
36、由题意得所围成的封闭图形的面积为
点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤
(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．
2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．
37、由定积分的几何意义知曲边形的面积为
.故答案为．
考点：定积分在几何中的应用．
38、由，得，
所以．
考点：定积分的运算．
39、试题分析：所围成的封闭图形的面积可表示为对的积分，，故填：.
考点：定积分
40、试题分析：由可得，∴或，所以曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为
.
考点：定积分的几何意义．
41、试题分析：由积分的几何意义可知，.
考点：积分的几何意义.
42、试题分析：易得．
考点：定积分．
43、试题分析：．
考点：定积分．
44、试题分析：令，由题意
，
，∴，同理，，
，，∴
．
考点：定积分的简单应用．
【思路点睛】本题主要考查定积分的简单应用，根据定积分的定义得到的值是解题的关键，属中档题．令，由定积分的定义得到，同理可求的值，相加，
．
45、试题分析：展开式的通项为，令得
，所以展开式的常数项为，又因为，所以，则
，又，由积分的几何意义可知表示所表示的圆的上半部分与轴所围成区域即半个圆的面积，所
以，所以.
考点：1.二项式定理；2.积分运算；3.积分的几何意义.
【名师点睛】本题考查二项式定理、积分运算以及积分的几何意义，属中档题；积分的几何意义是微积分的基础，定积分的几何意义体现数形结合的典型示范，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.
46、试题分析：由题意得，表示围成的区域的面积，表示一个半径为的个圆，其面积为，又，所以
.
考点：定积分求解曲边形的面积.
47、试题分析：，由题意，，
，易知，，所以．
考点：导数的几何意义，定积分的几何意义．
48、试题分析：
考点：定积分
【方法点睛】1．求曲边图形面积的方法与步骤
（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
（3）确定被积函数；
（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．
2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．
49、试题分析：，展开式通项为
，因此的系数为．
考点：微积分基本定理，二项式定理的应用．
50、试题分析：由的展开式的通项公式为，
令，求得r=2，故常数项为，可得a=1，
因此原式为
考点：二项式定理；微积分基本定理
51、试题分析：因,故应填。

考点：定积分计算公式的运用。

52、试题分析：,则，
，所以.
考点：定积分
53、试题分析：e x dx＝e x|＝e－1.
考点：微积分基本定理．
54、试题分析：由图形可知，直线与函数联立，
得它们图象的交点为，则围成的封闭图形（阴影部分）的面积是
.
故答案为.
考点：定积分.
55、试题分析：，根据定积分的概念和
写法可将其写成
考点：定积分的背景
56、试题分析：
考点：定积分计算
57、试题分析：的展开式中各项的系数之和为81，的展开式的通
项公式为：
令，解得
∴展开式中常数项为
∴直线与曲线围成的封闭区域面积为：．
故答案为：．
考点：二项式定理，定积分
58、试题分析：根据二项展开的通项公式可知，，
∴令，∴，∴
根据定积分的几何意义及定义，从而可知
，故填：.
考点：定积分的计算及其性质.
59、试题分析：由图可知，有两个相等实根，所以，，
由，得或，由图可知故．
考点：定积分的应用．
【名师点晴】定积分的应用问题。

一般难度不大，但本题从确定函数中待定系数出发，综合考查考生视图用图的能力、数形结合思想及基本运算能力．通过观察图象的特征，首先得到，给接下来解题打下了基础，图象位于横轴上方或下方，面积表达式有所不同，这点应注意.
60、试题分析：
考点：定积分计算
61、试题分析：由题意得，由解得封闭区域面积为
考点：定积分
【方法点睛】1.求曲边图形面积的方法与步骤
（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
（3）确定被积函数；
（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．
2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．
62、试题分析：，而根据定积分的定义可知表示圆心在原点的单位圆
上半部分半圆的面积，∴，故填：.
【考点】本题主要考查定积分的定义及其计算．
63、试题分析：由题意得，令，整理得，表示椭圆的上半部分，其面积为
，即定积分.
考点：定积分的几何意义.
64、试题分析：令,则,其通项公式为
,,所以;直线为,由解得,故直线与曲线所围成的封闭区域的面积为
.
考点：1.二项式定理；2.定积分．
【思路点晴】利用定积分求平面图形面积的四个步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．
65、试题分析：因为，所以. 考点：定积分的计算.
【方法点睛】本题主要考察利用换元法求定积分，计算定积分，首先要熟悉常见函数的导函数，因题中恰好为的导函数，所以可以考虑用换元法来求定积分；本题也可利用三角恒等变换来求，因为
，所以有
.
66、试题分析：,令
,表示的是单位圆的上半部分,所以,答案为．
考点：定积分的几何意义．
67、试题分析：由图中阴影知，，所以答案应填：
．
考点：定积分求面积．
68、试题分析：画出曲线与直线所围成的封闭图形，如图所示，则曲线与直线
所围成的封闭图形的面积为.
考点：定积分求解曲边形的面积.
【方法点晴】本题主要考查了利用定积分求解封闭图形的面积，着重考查了饿数形结合思想方法的应用，同时考查了定积分的的几何意义的应用，此类问题解答的关键在于求出被积函数的圆函数，属于中档试题，本题的解答中根据题意画出围成封闭的曲变形，确定积分的上、下限，写出积分式，找出被积函数的原函数，求解定积分的值，即可得到封闭曲变形的面积.
69、试题分析：由题意，解得．
考点：定积分的几何意义．
70、试题分析：由定积分的几何意义知表示半圆与所围图形的面积，
，所以．
考点：定积分的几何意义．。