2021-2022学年江苏省盐城市大丰第三高级中学高一数学理上学期期末试卷含解析

2021-2022学年江苏省盐城市大丰第三高级中学高一数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数满足：①；②在上为增函数,若,且
,则与的大小关系是( )
A. B.
C. D. 无法确定
参考答案：
A
2. 直线与轴所围成的三角形的周长等于（）
A、 B、12 C、
24 D、60
参考答案：
A
略
3. 点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）
A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0
参考答案：
C
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．
【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP
因此，PQ的斜率k===1
可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0
故选：C
【点评】本题给出圆的方程，求圆以某点为中点的弦所在直线方程，着重考查了直线与圆的方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
4. 等差数列{a n}的前n项和为，若，，则=（）.
A. 12
B. 15
C. 18
D. 21
参考答案：
A
【分析】
由已知求出的值，再利用等差数列的通项求得解.
【详解】由题得.
所以.
故选：A
【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算，考查等差数列的通项和前n项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5. 设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是
A.
B.
C.
D.
参考答案：
B
【分析】
根据对数运算的规律一一进行运算可得答案.
【详解】解：由a, b,c≠1. 考察对数2个公式: ，,
对选项A: ,显然与第二个公式不符，所以为假.
对选项B: ,显然与第二个公式一致，所以为真.
对选项C: ,显然与第一个公式不符，所以为假.
对选项D: ,同样与第一个公式不符，所以为假.
所以选B.
【点睛】本题主要考查对数运算的性质，熟练掌握对数运算的各公式是解题的关键.
6. 在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，，△ABC的面积为，那么b=（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
试题分析：由余弦定理得，又面积
，因为成等差数列，所以，代入上式可得
，整理得，解得，故选B．
考点：余弦定理；三角形的面积公式．
7. 设集合，，分别从集合A和B中随机抽取一个数a和b，确定平面上的一个点，记“点满足”为事件，若事件的概率最大，则n的可能值为（）
A. 2
B. 3
C. 1和3
D. 2和4
参考答案：
A
【分析】
列出所有的基本事件，分别求出事件、、、、所包含的基本事件数，找出其中包含基本事件数最多的，可得出的值。

【详解】所有的基本事件有：、、、、、、、、，
事件包含1个基本事件，事件包含2个基本事件，事件包含3个基本事件，事件包含2个基本事件，事件包含1个基本事件，所以事件的概率最大，则，故选：A。

【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题的关键在于列举所有的基本事件，常用枚举法与数状图来列举，考查分析问题的能力，属于中等题。

8. 已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，
=1，那么直线与平面所成角的正弦值为
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
9. 化简sin 15°cos 15°的值是（）
A B - C D
参考答案：
C
10. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)＝()
A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}
参考答案：
D
解析：由已知得A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，
故?U(A∪B)＝{x|0<x<1}．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，则B的度数为▲．
参考答案：
45°；
12. 如图所示，在直角坐标系中，角的顶角是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于
点
，且.将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点.
若点的横坐标为，
则点的横坐标为________.
参考答案：
13. 现对某校师生关于上海世博会知晓情况进行分层抽样调查。

已知该校有教师200人，男学生1200
人，女学生1000人。

现抽取了一个容量为n 的样本，其中女学生有80人，则n的值等于
参考答案：
192
14. 函数在上恒有||＞，则取值范围是________．
参考答案：
15. 已知，若和的夹角是锐角，则的取值范围是___ _.
参考答案：
略
16. 若函数f（x）=x2﹣2ax+b（a＞1）的定义域与值域都是[1，a]，则实数b= ．
参考答案：
5
略
17. 已知函数同时满足下列条件：
（1）是二次函数；
（2）；
（3）函数是上的单调函数。

则满足上述要求的函数可以
是．（写出一个即可）
参考答案：
（填写其中一种情况即可）
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 无穷数列{a n}满足：为正整数，且对任意正整数n，为前n项a1、a2、…、a n中等于a n的项
的个数.
（1）若，求a2和a4的值；
（2）已知命题P: 存在正整数m，使得，判断命题P的真假并说明理由；
（3）若对任意正整数n，都有恒成立，求的值.
参考答案：
（1），；（2）真命题，证明见解析；（3）.
【分析】
（1）根据题意直接写出、、的值，可得出结果；
（2）分和两种情况讨论，找出使得等式成立的正整数，可得知命题为真命
题；
（3）先证明出“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件，由此可得出
，然后利用定义得出，由此可得出的值.
【详解】（1）根据题意知，对任意正整数，为前项、、、中等于的项的个数，
因此，，，；
（2）真命题，证明如下：
①当时，则，，，此时，当时，；
②当时，设，则，，，
此时，当时，.
综上所述，命题为真命题；
（3）先证明：“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件.
假设存在，使得“存在，当时，恒有成立”.
则数列的前项为，，
，，
，，
后面的项顺次为，
，
，
，
故对任意的，
，
对任意的，取，其中表示不超过的最大整数，则，
令，则，此时，
有，这与矛盾，
故若存在，当时，恒有成立，必有；从而得证.
另外：当时，数列为，
故，则.
【点睛】本题考查数列知识的应用，涉及到命题真假的判断，同时也考查了数列新定义问题，解题时要充分从题中数列的定义出发，充分利用分类讨论思想，综合性强，属于难题.
19. 已知函数
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）求使成立的的取值范围。

参考答案：
解：（1）函数的定义域为
验证满足偶函数的定义（略）
（2）原不等式化为：
当时，不等式等价于：
即此时的范围是
当时, 不等式等价于：
此时的范围是
略
20. 已知集合A={x|2≤x≤6}，B={x|2a≤x≤a+3}
（1）当a=2时，求A∪B
（2）当B?A时，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算．
【分析】（1）当a=2时，求解集合B，根据集合的基本运算即可求A∪B；
（2）根据B?A，建立条件关系即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）集合A={x|2≤x≤6}，B={x|2a≤x≤a+3}
当a=2时，B={x|4≤x≤5}
故得A∪B={x|2≤x≤6}．
（2）∵B?A，
当B=?时，满足题意，此时2a＞a+3，解得：a＞3；
当B≠?时，若B?A，则，解得：1≤a≤3；
综上可知，实数a的取值范围是[1，+∞）
21. 已知函数f(x)=.
(1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)＞0.
参考答案：
(1)(－∞,0)∪(0,＋∞);(2)是偶函数;(3)提示：f(x)=.讨论时，，显然f(x)＞0；当时，，也有f(x)＞0，故f(x)＞0.
22. 设为实常数，函数．
(1)当时，，试求实数的取值范围．
(2)当时，求在的最小值；当时，试写出的最小值（不必写出解答过程）．
(3)当时，求不等式的解集．参考答案：
（1）因为当时，，故，
（2）当时，
故在的最小值为
当时，，
当时，，
综上，当时，
（3）时，由，得，
当时，；
当时，△>0,得：
讨论得：
当时，
解集为；
当时，
解集为；
当时，
解集为．。