解析】河北省秦皇岛市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题

数学试题
说明：1、考试时间120分钟，满分150分.
2.将卷Ⅰ★★答案★★用2B 铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用黑色字迹的签字笔答在试卷上.
I 卷
一、选择题（共14小题，每题5分，共70分）
1. 已知,x y R ∈，且32x i yi +=+，则,x y 的值分别为（ ） A. 21,
3
B. 3,1
C.
2,13
D. 1,3
【★★答案★★】C 【解析】 【分析】
由复数相等可求出,x y 的值.
【详解】解：由题意知，321x y =⎧⎨=⎩，解得231
x y ⎧=⎪
⎨⎪=⎩，
故选: C.
【点睛】本题考查了由复数相等求参数的值，属于基础题.
2. 已知数列{}n a 是等差数列，且11a =，46a =，则3a =（ ） A.
13
3
B.
53
C. 5
D.
103
【★★答案★★】A 【解析】 【分析】 本题先求出5
3
d =
，再求3a 即可解题. 【详解】解：因为数列{}n a 是等差数列，且11a =，46a =， 所以4136a a d =+=，即136d +=，解得53
d =
所以3151321233
a a d =+=+⨯=， 故选：A.
【点睛】本题考查等差数列通项公式的基本量法，是基础题. 3. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的
对边分别为a ，b ，c .已知1a =，2b =，3
C π
∠=
，
则ABC 的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 钝角三角形
C. 锐角三角形
D. 直角三角
形
【★★答案★★】D 【解析】 【分析】
根据余弦定理求出c ，再根据勾股定理可判断三角形为直角三角形. 【详解】由余弦定理得2
2
2
1
2cos 1421232
c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=， 满足222a c b +=，
∴ABC 为直角三角形.
故选：D.
【点睛】本题考查余弦定理解三角形判断形状，属于基础题.
4. 正方体1111ABCD A B C D -中，直线11A C 与直线1CD 所成的角为（ ） A.
3
π B.
23
π C.
6
π D.
56
π 【★★答案★★】A 【解析】 【分析】
可知1ACD ∠即为直线11A C 与直线1CD 所成的角，根据1ACD △是等边三角形可得所成角为
3
π.
【详解】
如图，连接AC ，
正方体1111ABCD A B C D -中，111AA BB CC ，
∴四边形11ACC A 是平行四边形，11A C AC ∴.
1ACD ∴∠即为直线11A C 与直线1CD 所成的角，
连接1AD ，可知1ACD △是等边三角形，13
ACD π
∴∠=.
故选：A.
【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，属于基础题. 5. 下列说法正确的是（ ）
A. 有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 三棱锥的三个侧面都可以是直角三角形
C. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D. 两条直线确定一个平面 【★★答案★★】B 【解析】 【分析】
将两个相同的斜平行六面体叠放组成的多面体不是棱柱，判断A 选项错误；正方体
1111ABCD A B C D -中的三棱锥1A BDA -的三个侧面都是直角三角形，判断B 选项正确；正
六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -中，平面11//AA B B 平面11EE D D ，但平面11AA B B 和平面
11EE D D 不是正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的底面，判断C 选项错误；两条异面直线不
能确定一个平面，判断D 选项错误.
【详解】选项A ：将两个相同的斜平行六面体叠放组成的多面体不是棱柱，如图，故A 选项错误；
选项B ：在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，三棱锥1A BDA -的三个侧面都是直角三角形，故B 选项正确；
选项C ：在正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -中，如图，平面11//AA B B 平面11EE D D ，但平面11AA B B 和平面11EE D D 不是正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的底面，故C 选项错误；
选项D ：两条异面直线不能确定一个平面，故D 选项错误. 故选：B.
【点睛】本题考查棱柱结构特征、棱锥的结构特征、组合体的结构特征，是基础题. 6. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1
cos 3
B =
，5a =，3c =，
则ABC 的面积为（ ）
A. 5
B.
52
C. D. 【★★答案★★】D 【解析】 【分析】
由同角三角函数的关系可求出sin B ，再由三角形的面积公式即可求出ABC 的面积.
【详解】解：因为0B π<<，所以sin 3B ===，
所以ABC 的面积11sin 53223
ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 故选:D.
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，考查了三角形的面积公式，属于基础题. 7. 已知复数z 满足|2|1-+=z i ，则||z 的最小值为（ ）
A.
1
B.
1
C.
1
D.
1
【★★答案★★】A 【解析】 【分析】
设z a bi =+，由题意求出,a b 的关系式，由圆的性质可求出||z 的最小值.
【详解】解：设z a bi =+，则()2211a bi i a b i +-+=-++==，
由()()2
2
211x y -++=，表示为以()2,1-为圆心，1为半径的圆，
1，
因为z =1，
故选:A.
【点睛】本题考查了复数模的求解，考查了转化的思想.本题的关键是将模的最值转化为圆上点到原定距离的最值问题.
8. 设公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43S =，则46a a +=（ ） A. 4
B. 8
C. 9
D. 27
【★★答案★★】B 【解析】 【分析】
由等比数列的求和公式结合已知条件可求出首项，结合等比数列的通项公式即可求出46a a +.
【详解】解：由题意知，()()44
11
41112153112
a q a S a q
--=
=
==--，解得11
5
a =
， 所以35
3546111122855a a a q a q +=+=⨯+⨯=，
故选:B.
【点睛】本题考查了等比数列的求和公式，考查了等比数列的通项公式，属于基础题.本题的关键是求出数列的首项.
9. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是2
，左右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭
圆上一点，且122
F PF π
∠=
，12F PF △的面积等于3，则椭圆E 的方程为（ ）
A. 22
182x y +=
B. 2214x y +=
C. 221205
x y +=
D.
221123
x y += 【★★答案★★】D 【解析】 【分析】
2234a c =，再根据椭圆的定义，得到122PF PF a +=，结合题设条件，求得2
2
2121212()2PF PF PF PF PF PF +=+-，进而求得22,a b 的值，即可求
解.
【详解】由题意，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是2
，即2c a =，即2234a c =，
根据椭圆的定义，可得122PF PF a +=，
因为122
F PF π
∠=
，且12F PF △的面积等于3，
可得2
2
2124PF PF c +=，且126PF PF ⋅=，
则2
2
22212
1212()24124PF PF PF PF PF PF a c +=+-=-=，
即224123a a -=，解得212a =，所以29c =，可得2223b a c =-=，
所以椭圆的方程为221123
x y +=.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的定义、标准方程及几何性质，结合三角形的面积公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
10. 直线:l 210x y --=与圆22:460M x y x y k +--+=相交于A ，B 两点，且||4AB =，则实数k 的值为（ ）
A.
B. C.
D. 4
【★★答案★★】D 【解析】 【分析】
求出圆的圆心和半径，进而可求出圆心到直线的距离，由几何法可得2
222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，从
而可求出实数k 的值.
【详解】解：由题意知，()()2
2
2313x y k -+-=-，则圆心为()2,3
所以圆心到直线的距离d ==，由2
222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，则25213k +=-，
解得，4k =， 故选:D.
【点睛】本题考查了圆心坐标和半径的求解，考查了点到直线的距离，考查了弦长求解，属于基础题.
11. 如图：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知
()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，4c =，
点D 是BC 边的中点，且7AD =，则ABC 的面积为（ ）
A.
3 B. 3 C. 27 D. 7
【★★答案★★】B 【解析】 【分析】
根据()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，由正弦定理得到 222b c a bc +-=，再利用余弦定理求得3
A π
=
，然后分别在ADB △和ADC 中，利用余弦定理得到
2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠，
然后两式相加整理得到a ，b 的关系，然后在ABC 中，利用余弦定理再得到a ，b 的关系，结合求得b ,再利用三角形面积公式求解.
【详解】因为()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-， 由正弦定理整理得： 222b c a bc +-=，
由余弦定理的2221
cos 22
b c a A bc +-=
=， 因为()0,A π∈， 所以3
A π
=
，
在ADB △中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠， 在ADC 中，由余弦定理得：2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠，
两式相加整理得：2
2
16142
+=+a b ，
在ABC 中，由余弦定理得：2222cos =+-⋅⋅∠BC AB AC AB AC A ， 整理得：22164=+-a b b ，
所以24120b b +-=， 解得2b =，
所以11sin 4222=
=⨯⨯=ABC
S
ABAC A ， 故选：B
【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12. 已知三棱锥P ABC -的三条侧棱PA ，PB ，PC
两两互相垂直，且AB AC ==
=BC ）
A.
B.
C. 8π
D.
323
π
【★★答案★★】A 【解析】 【分析】
根据三棱锥的三条侧棱两两垂直，得到其外接球就是它扩展为长方体的外接球，设出棱长，列出等式，求得结果.
【详解】三棱锥P ABC -的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直， 它的外接球就是它扩展为长方体的外接球， 设,,PA a PB b PC c ===，
则有222222565
a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩
，可求得222
56582a b c ++++=
=，
=
所以球的直径是
，球的的体积：
3
4
π3
⨯⨯
=
． 故选A ．
点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法
【点睛】（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
（2）若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解． 13. 已知数列{}n a 满足1232111
1
22
2
n n a a a a n -+
+++
=，记数列{2}n a n -的前n 项和为n S ，则n S =（ ）
A. 2222
n
n n
--
B. 22122
n
n n
---
C. 21
2
222n n n +--- D. 2222
n
n n
--
【★★答案★★】C 【解析】 【分析】
利用递推关系求出数列{}n a 的通项公式，然后利用等差数列和等比数列的前n 项和公式进行求解即可.
【详解】因为12321111
(1)222
n n a a a a n -+
+++=，所以有11a =， 当2,n n N *
≥∈时，有1231221111(2)222
n n a a a a n --++++=-，
(1)(2)-得，111
122
n n n n a a --=⇒=，显然当1n =时，也适合，
所以12()n n a n N -*
=∈，令 2n n a n b -=，所以2n n b n =-，因此有：
232321
21
(21)(22)(23)(2)(2222)(123)
2(12)(1)122
22222 2.
22
n n n n n n n n n n n n n n S ++=-+-+-++-=++++-+++
+-+=-
-=---
=---
故选：C
【点睛】本题考查了由递推关系求数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力.
14. 已知双曲线22214x y b
-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲
线的两条渐近线分别交于A 、B 两点，||35,(4,1)AB M =，若双曲线上存在一点P 使得
2
||PM PF t +，则t 的最小值为（ ）
A. 52
B. 2
C. 524+
D. 524-
【★★答案★★】D 【解析】 【分析】
先由||35AB =求出2b ，然后求t 的最小值要转化为求2||PM PF +的最小值，在求
2||PM PF +的最小值时要用双曲线的定义将2PF 转化为14PF -，最后可得当点
1P F M 、、共线时，1||PM PF +最小
【详解】
因为两条渐近线的方程为：b
y x a
=±，直线AB 的方程为：x c = 所以,
bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、,bc B c a ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
所以2bc
AB a
=
由22214x y b
-=可知2a =， 所以235bc
AB bc a
=
==所以2245b c = 又因为224c b =+ 所以()2
2
445b
b +=，可解得2
5b
=
因为双曲线上存在一点P 使得2
||PM PF t +
所以求t 的最小值即为求2||PM PF +的最小值 易得要使2||PM PF +最小，点P 应在双曲线的右支上 由双曲线的定义可得：1224PF PF a -== 所以214PF PF =-
所以21||||4PM P P F M F P =+-+
由图可知，当点1P F M 、、共线时，1||PM PF +最小 最小值为152MF =
所以2||PM PF +的最小值为524- 故选：D
【点睛】本题只要考查双曲线的定义、方程、几何性质和双曲线中的最值问题，属于较难题，双曲线中的最值问题一般要利用定义将双曲线上一点到两个焦点的距离相互转化.
II 卷
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
15. 复数21i
z i
=
-（i 是虚数单位）的虚部是_______． 【★★答案★★】 【解析】 试题分析：因21i z i
=
-，故其虚部为，应填．
考点：复数的有关概念和运算．
16. 已知圆柱的轴截面是长方形ABCD ，且26BC AB ==，一只蚂蚁从圆柱的底部B 点出发沿圆柱侧面爬行到点D ，则这只蚂蚁行进的最短路径为________.
【★★答案★★】231π+
【解析】【分析】
由题可知这只蚂蚁行进的最短路径为长为3π，宽为3的长方形的对角线长，求出即可.
【详解】可知
1
63
2
BCππ
=⨯⨯=，
则这只蚂蚁行进的最短路径为长为3π，宽为3的长方形的对角线长，
即最短路径为()222
3331
ππ
+=+.
故★★答案★★为：2
31
π+.
【点睛】本题考查圆柱的结构特征，属于基础题.
17. 如图，过抛物线22(0)
y px p
=>的焦点F作倾斜角为
3
π
的直线l，l与抛物线及其准线从上到下依次交于A、B、C点，令1
||
||
AF
BF
λ
=，
2
||
||
BC
BF
λ
=，则
12
λλ
+的值为________.
【★★答案★★】5
【解析】
【分析】
设直线l的方程为3()
2
p
y x
=-，与抛物线方程联立，求得点A、B、C的坐标，利用抛物线的定义分别求出12
,λλ，可得
12
λλ
+的值．
【详解】由题意得，直线l的方程为3()
2
p
y x
=-.
∵l与抛物线及其准线从上到下依次交于A、B、C点
∴联立
2
3()
2
2
p
y x
y px
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，得2
3
350
4
x px p
-+=，即()()
6230
x p x p
--=，
则132p x =
，26p x =
，即3(,3)2A p p ，3(,)6p B p -，(,3)2p C p --
∴
1322362
p p AF p p BF λ+===+，22
2
33432623223
6p BC B p p p p p F λ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪===⎝⎭+=⎝⎭ ∴125λλ+= 故★★答案★★为：5
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
18. 如图所示，已知三棱台111ABC A B C -的体积为V ，其中113AB A B =，截去三棱锥
1A ABC -，则剩余部分的体积为____________.
【★★答案★★】4
13
V 【解析】 【分析】
设三棱台111ABC A B C -的上底面面积为S ，由已知可得下底面面积为9S ，再设棱台的高为
h ，分别求出棱台体积与棱锥1A ABC -的体积，作差即可求得剩余部分的体积．
【详解】设三棱台111ABC A B C -的上底面面积为S ， 113AB A B =，∴下底面面积为9S ，设棱台的高为h ，
则()
1111933
3
91A B C ABC V h S S S S Sh -=+⨯=棱台，
11
933
A ABC V S h Sh -=⨯⨯=，
则剩余部分的体积为4
33313
Sh Sh Sh -=， 由
133Sh V =，得3
13Sh V =，即剩余部分的体积为413
V ． 故★★答案★★为：
4
13
V 【点睛】本题主要考查棱台和棱锥的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
三、解答题（共5小题，每题12分，共60分）
19. 如图所示直角三角形ABD 中，AD BD ⊥，12BD =，5AD =，AD 边上方接上一个扇形，C 恰好与BD 共线，将平面图形绕直线BC 旋转一周，求所得几何体的表面积和体积.
【★★答案★★】表面积为115π；体积为550
3
π. 【解析】 【分析】
先确定几何体是上部是半球，下部是圆锥的组合体，再求出13AB =，最后求该组合体的表面积和组合体的体积.
【详解】解：根据题意知，将所得平面图形绕直线DE 旋转一圈后，所得几何体是上部是半球，下部是圆锥的组合体；
因为AD BD ⊥，12BD =，5AD =，所以13AB =.
则该组合体的表面积为S S S =+组合体圆锥侧半球2
1513452
ππ=⨯⨯+⨯⨯115π=；
组合体的体积为V V V +=组合体圆锥半球23
1145125323ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯5503
π=
. 【点睛】本题考查根据旋转判断所得几何体是何组合体、几何体的表面积和体积，是基础题 20.
ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知cos (2)cos c A b a C =-.
（1）求C ∠；
（2）若13c =，22b =，求ABC 的面积.
【★★答案★★】（1）4
π
；（2）5. 【解析】 【分析】
（1）根据正弦定理将边化角，再利用三角函数的恒等变换求得角A 的值； （2）根据题意，利用余弦定理和三角形面积公式求得结果． 【详解】（1）由正弦定理和已知得sin cos (2sin sin )cos C A B A C =-，
sin cos sin cos 2sin cos C A A C B C +=，sin()2sin cos C A B C +=，
因为0B π<<，所以sin()sin 0C A B +=≠ ，所以2
cos 2
C =， 由于0C π<<， 所以4
C
π
.
（2）根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-，而13c =，22b =，4
C π
，
代入整理得2450a a --=，解得5a =或1a =-（舍去）. 故ABC
∆的
面积为
112sin 5225222
ab C =⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换与面积公式的应用问题，属于中档题．
21. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 是AB 的中点.
（1）证明：1//BC 平面1A CD ； （2）若侧面11BB C C
面积为2，1A 到面11BB C C 的距离为1，求三棱锥1
A ACD -的体积. 【★★答案★★】（1）证明见解析；（2）1
6
. 【解析】
【分析】
(1) 连接
1AC 交1CA 于E ，由三角形的中位线定理可得1//DE BC ，结合线面平行的判定定理可证.
(2)求出三棱柱111ABC A B C -的体积，从而可求出三棱锥1
A ACD -的体积. 【详解】解：（Ⅰ）证明：在三棱柱111ABC A
B
C -中，连接1AC 交1CA 于E ，连接DE ，
D 是AB 的中点，
E 是1AC 的中点，1//DE BC ∴.
又DE ⊂平面1A CD ，1BC ⊂平面1A CD ，1//BC ∴平面1A CD ； （Ⅱ）设1A 到面11BB C C 的距离为1A h ，则11111
21122
BB C C A V S h =⋅=⨯⨯=柱，
因为D 为AB 中点，所以1
2
ACD
ABC S
S =
，所以11
1111
266
A A CD A ACD A ABC V V V V ---====柱.
【点睛】本题考查了线面平行的判定，考查了柱体体积的求解，考查了锥体体积的求解，属于基础题.
22. 已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，12a =，且2a 是1a 与4a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令14
(2)(2)
n n n b a a +=
++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得212n m m T -≤恒成立的实
数m 的取值范围.
【★★答案★★】（1）2n a n =；（2）12m -≤≤. 【解析】 【分析】
（1）根据等比中项性质建立关系即可求出d ，写出通项公式；
（2）由裂项相消法求出n T ，再求出n T 最小值，即可解出不等式，求出m 范围.
【详解】（1）因为12a =，且2a 是1a 与4a 的等比中项，所以2
214a a a =，
所以2
(2)2(23)d d +=+，又因为公差0d ≠，所以2d =， 故2n a n =.
（2）由（1）可知144111
(2)(2)(22)(24)(1)(2)12
n n n b a a n n n n n n +=
===-++++++++，
则1231111111111
()()()(
)2334451222
n n T b b b b n n n =+++⋯+=-+-+-+⋯+-=-+++. 所以，数列{}n T 为递增数列，所以n T 的最小值为11
6
T =
， 212n m m T -≤恒成立，只需21122m m T -≤=成立，解得12m -≤≤.
【点睛】本题考查等差数列通项公式的求法，考查裂项相消法求和，属于基础题. 23. 已知抛物线C ：22y px = (0)p >上一点(,2)A a 到焦点的距离为2. （1）求抛物线C 的标准方程；
（2）若在x 轴上存在点M ，过点M 的直线l 分别与抛物线C 相交于P 、Q 两点，若
22
11
||||PM QM +为定值，求点M 的坐标及此定值.
【★★答案★★】（1）2
4y x =；（2）(2M ，0)，定值为1
4
. 【解析】 【分析】
（1）由抛物线定义可建立方程求出,a p ，即可得出标准方程；
（2）设(,0)M t ，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，设直线l 的方程为：x my t =+，联立抛物线方
程，即可表示出2
PM ，2
MQ ，继而得出2211
||||
PM QM +为定值.
【详解】（1）由抛物线定义，点(,2)A a 到准线2
p
x =-
的距离为2， 2242p a pa
⎧
+=⎪∴⎨⎪=⎩，解得2p =，
∴抛物线的标准方程为24y x =.
（2）设(,0)M t ，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y . 设直线l
的
方程为：x my t =+.
联立24x my t y x
=+⎧⎨=⎩，化为：2
440y my t --=，216()0t m ∆+=>.
124y y m ∴+=，12
4y y t .
2
2222111()(1)PM
x t y m y =-+=+，同理可得：()
2
22
21MQ m y =+.
∴221212222
2222221212()21111111168()||||(1)(1)()(1)16y y y y m t PM t QM m y y m y y m +-++=+==⋅+++，
2211
||||
PM QM +为定值，
∴必然有2216816(1)m t m +=+，解得2t =. 此时
2211||||1
4
PM QM +=为定值，(2M ，0).
【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查抛物线中的定值问题，属于中档题.
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