江苏省淮安市都梁中学2020年高三数学文联考试题含解析

江苏省淮安市都梁中学2020年高三数学文联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 数列{a n}满足，则数列{a n}的前20项的和=( )
A．－100 B．100 C．－110 D．110
参考答案：
A
2. 已知全集I=R，集合A={x|y=}，集合B={x|0≤x≤2}，则（?I A）∪B等于（）
A．[1，+∞） B．（1，+∞）C．[0，+∞） D．（0，+∞）
参考答案：
C
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出A中y的范围确定出A，求出A的补集与B的并集即可．
【解答】解：由A={x|y=}=（﹣∞，1]，
∵全集I=R，
∴?I A=（1，+∞），
集合B={x|0≤x≤2}=[0，2]，
则（?I A）∪B=[0，+∞），
故选：C．
3. （5分）通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：
由K2=算得K2=≈4.762
参照附表，得到的正确结论（）
A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”
C．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”
D．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”
参考答案：
A
【考点】：独立性检验的应用．
应用题；概率与统计．
【分析】：根据P（K2＞3.841）=0.05，即可得出结论．
解：∵K2=≈4.762＞3.841，P（K2＞3.841）=0.05
∴在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”．
故选：A．
【点评】：本题考查独立性检验的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
4. 若则= （）
A．112 B．28 C．-28 D．-112
参考答案：
A
5. 已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
考点：向量的线性运算性质及几何意义；几何概型．
专题：计算题；概率与统计．
分析：根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC上的中线AO 的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案．
解答：解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则
∵，
∴，得=﹣2
由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
点P到BC的距离等于A到BC的距离的．
∴S△PBC=S△ABC．
将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==
故选C
点评：本题给出点P满足的条件，求P点落在△PBC内的概率，着重考查了平面向量加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题．
6. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
参考答案：
C
略
7. 已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )．
A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题
B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题
C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题
D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题
参考答案：
【知识点】四种命题及关系 A2
【答案解析】D 解析：恒成立得：
恒成立，.原命题成立，其逆否命题也成立，
所以选D.
【思路点拨】导数法判断原命题成立，再根据原命题与逆否命题的等价判断结论.
8. 设是两个命题：，则是的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
答案：A
解析：p：，q：，结合数轴知是的充分而不必要条件，选A
9. 如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为（）
A．2 B．4 C．D．2
参考答案：
D
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】先分析得等边三角形的高，那么侧视图的面积=等边三角形的高×侧棱长，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：易得三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，
作出等边三角形的高后，组成直角三角形，底边的一半为1，
∴等边三角形的高为，
∴侧视图的面积为2×=2，
故选：D ． 10. 若函数在其定义域的一个子区间
上不是单调函数，则实数的取值范
围是
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
A 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的零点个数是
．
参考答案：
12. 曲线
在点（0,1）处的切线方程为 .
参考答案：
13. 某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积为 ▲
，外接球的表面积
为 ▲
．
参考答案：
14. 设均为大于的自然数，函数
若存在实数，使得
则
的值为 .
参考答案： 4
略
15. 已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，且
则_______________________________。

参考答案：
16. 函数
，若a,b,c,d 是互不相等的实数，且
，则a+b+c+d 的取值范围为___ .
参考答案：
(4，2017) 略
17. 已知P ，Q 为抛物线f(x)＝上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P 、Q 分别作抛物线的
切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为____
参考答案：
-4
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (10分). 设向量
（1）若与
垂直，求的值；
（2）求
的最大值;
参考答案：
19. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：
（Ⅰ）已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；
（Ⅱ）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X，求随机变量X的分布列；
（Ⅲ）试比较男生学习时间的方差S12与女生学习时间方差S22的大小．（只需写出结论）
参考答案：
【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）根据题意，由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，进而可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；
（Ⅱ）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4；由古典概型公式计算可得X=0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X的分布列；
（Ⅲ）根据题意，分析折线图，求出男生、女生的学习时间方差，比较可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，由折线图可得12名男生中有8名每天学习不足4小时，
8名女生中有4名每天学习不足4小时，
即20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，
每天学习不足4小时的人数为：人．（Ⅱ）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．由题意可得；
；
；
；
．
所以随机变量X的分布列为
随机变量X的均值．
（Ⅲ）根据题意，对于男生，学习时间1小时的有1人，学习时间2小时的有4人，学习时间3小时的有3人，学习时间4小时的有2人，学习时间5小时的有2人，
其平均数=（1×1+2×4+3×3+4×2+5×2）=3，
其方差= [（1﹣3）2+4×（2﹣3）2+3×（3﹣3）2+2×（4﹣3）2+2×（5﹣3）2]=1.5；
对于女生，学习时间2小时的有1人，学习时间3小时的有3人，学习时间4小时的有3人，学习时间5小时的有1人，
其平均数=（1×2+3×3+4×3+5×1）=3.5，
其方差= [（2﹣3.5）2+3×（3﹣3.5）2+3×（4﹣3.5）2+（5﹣3.5）2]=0.75；
比较可得．
20. 在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为，，，
若，
(1) 若，求的大小。

(2) 若三角形为非等腰三角形，求的取值范围。

参考答案：
【知识点】余弦定理；正弦定理．C8
【答案解析】(1) 或 (2)
解析：(1)
.................2分
...... ...........3分
所以
(4)
（a）若,，则. .................5分
（b）若,,则. ..................6分
(2) 若三角形为非等腰三角形，则且 .......8分
又因为三角形为锐角三角形，
故
.......... .........10分
而
...................12分
所
以 ........ ...........14分
【思路点拨】（1）将已知等式变形，整理得，可得sinC=2sinBcosB=sin2B，由此可得
C=2B或C+2B=π，最后结合三角形内角和定理和，即可算出∠A的大小．
（2）根据三角形为非等腰三角形，结合（1）中化简的结果可得C=2B，从而将化简整理得
．利用△ABC是锐角三角形，得到B∈（），结合余弦函数的图象与性质，即可得出
的取值范围．
21. 如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，，二面角
是直二面角，，，.
（1）求证：面；
（2）求二面角的大小.
参考答案：
（Ⅰ）由已知，平面，平面，
所以平面.
同理可得：平面.
又，所以平面平面，
又平面，
平面.
（Ⅱ）因为二面角是直二面角，
所以平面平面，
平面，平面平面，
又，有，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系；
由已知得，，，，
所以，.
设平面的法向量为，
则，即.
不妨取，则，
取面的一个法向量，
所以.
22. [选修4-5：不等式选讲]
已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．
参考答案：
【考点】二维形式的柯西不等式．
【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得++的最大值．
【解答】解：由柯西不等式可得
（++）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×12
∴++≤3，当且仅当==时取等号．
∴++的最大值是6，
故最大值为6．。