2020届高考数学文一轮复习课时训练第9章平面解析几何45

【课时训练】抛 物 线
一、选择题
1．(2018黑龙江第八中学月考)已知抛物线C ：y ＝x 2
8 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，则x 0＝( )
A ．2
B ．±2
C ．4
D ．±4
【答案】D
【解析】由y ＝x 2
8得x 2＝8y ， ∴抛物线C 的准线方程为y ＝－2， 焦点为F (0,2)．
由抛物线的性质及题意，得|AF |＝2y 0＝y 0＋2.解得y 0＝2， ∴x 0＝±4.故选D.
2．(2018甘肃张掖一诊)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
【答案】B
【解析】抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 根据题意可得|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8. 3．(2018西安质检)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( )
A ．(－1,0)
B ．(1,0)
C ．(0，－1)
D ．(0,1)
【答案】B
【解析】抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p
2且过点(－1,1)，故－p
2＝－1，解得p ＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
4．(2018云南昆明一中期末)已知点F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在抛物线C 上，若|AF |＝4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B
【解析】由题意易知F (1,0)，点F 到准线的距离为2，点A 到准线的距离为|AF |＝4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为2＋4
2＝3.
5．(2018昆明调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，如果OA →·OB →
＝－12，那么抛物线C 的方程为( )
A ．x 2＝8y
B ．x 2＝4y
C ．y 2＝8x
D ．y 2＝4x
【答案】C
【解析】由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p 2，
联立⎩⎨⎧
y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2
消去x ，得y 2－2pmy －p 2＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2， 得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝
⎛⎭⎪⎫my 1
＋p 2·⎝
⎛⎭
⎪⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1
＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2
＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .
6．(2018九江一模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
【答案】B
【解析】∵y 2
＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p
2.将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，
即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 2
2＝p ＝2.
∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.
7．(2018上饶四校联考)设抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( )
A ．y 2＝4x 或y 2＝8x
B ．y 2＝2x 或y 2＝8x
C ．y 2＝4x 或y 2＝16x
D ．y 2＝2x 或y 2＝16x 【答案】C
【解析】∵抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3p 4，0，∴|OF |
＝3p
4，
∵以MF 为直径的圆过点(0,2)，设A (0,2)，连接AF ，AM ，可得AF ⊥AM ，在Rt △AOF 中，|AF |＝
4＋9p 2
16，
∴sin ∠OAF ＝|OF |
|AF |＝
3p 4
4＋9p 216
. 根据抛物线的定义，得直线AO 切以MF 为直径的圆于点A ，∴
∠OAF ＝∠AMF ，可得在Rt △AMF 中，sin ∠AMF ＝|AF |
|MF |＝
3p 44＋9p 216
.
∵|MF |＝5，|AF |＝
4＋9p 2
16，
∴
4＋9p 216
5
＝3p
4
4＋9p 216
. 整理，得4＋9p 216＝15p 4，解得p ＝43或p ＝16
3， ∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .
8．(2018赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )
A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2,2) 【答案】D
【解析】本题考查抛物线的定义，过M 点作左准线的垂线(图略)，垂足是点N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．
二、填空题
9．(2018江苏南京月考)已知点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为__________．
【答案】4
3
【解析】由抛物线定义及题意，得x A ＋1＝5，解得x A ＝4.又因为点A 位于第一象限，所以y A ＝4，所以k AF ＝4－04－1＝4
3
.
10．(2018合肥调研)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2
－6x －7＝0相切，则p 的值为________．
【答案】2
【解析】抛物线y 2
＝2px (p >0)的准线为x ＝－p
2，
圆x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4.
又因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，所以3＋p
2＝4，解得p ＝2.
11．(2018山西四校三联)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦长|AB |为________．
【答案】8
【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．易得抛物线的焦点是F (1,0)，所以直线AB 的方程是y ＝x －1.
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝4x ，
y ＝x －1
消去y ，得x 2－6x ＋1＝0，
所以x 1＋x 2＝6.所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 三、解答题
12．(2018沈阳模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →
，求λ的值．
【解】(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝
⎛
⎭
⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从
而有4x 2－5px ＋p 2＝0，
所以x 1＋x 2＝5p
4.由抛物线定义，得 |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p
4＋p ＝9，
所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x . (2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而B (4,42)．设C (x 3，y 3)，
则OC →
＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)．
又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
整理，得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.
13．(2018铜川一模)设P ，Q 是抛物线y 2＝2px (p >0)上相异两点，P ，Q 到y 轴的距离的积为4，且OP →·OQ →＝0.
(1)求该抛物线的标准方程；
(2)过点Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴的交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．
【解】(1)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， ∵OP →·OQ →
＝0，则x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又点P ，Q 在抛物线上，
∴y 21＝2px 1，y 2
2＝2px 2，
代入，得y 212p ·y 2
22p
＋y 1y 2＝0，y 1y 2＝－4p 2
， ∴|x 1x 2|＝(y 1y 2)2
4p 2＝4p 2.
又|x 1x 2|＝4，∴4p 2＝4，p ＝1， ∴抛物线的标准方程为y 2＝2x .
(2)设直线PQ 过点E (a,0)且方程为x ＝my ＋a ，
联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝my ＋a ，
y 2＝2x ，
消去x ，得y 2－2my －2a ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
y 1＋y 2＝2m ，
y 1y 2＝－2a .
① 设直线PR 与x 轴交于点M (b,0)， 则可设直线PR 的方程为x ＝ny ＋b ， 并设R (x 3，y 3)，同理可知
⎩⎪⎨⎪⎧
y 1＋y 3＝2n ，y 1y 3
＝－2b ， ② 由①②可得y 3y 2
＝b a .
由题意，得Q 为线段RT 的中点， ∴y 3＝2y 2.∴b ＝2a .
又由(1)，知y 1y 2＝－4，代入①， 可得－2a ＝－4，∴a ＝2.
∴b＝4，y1y3＝－8.
∴|PR|＝1＋n2|y1－y3|
＝1＋n2·(y1＋y2)2－4y1y3
＝21＋n2·n2＋8≥4 2.
当n＝0，即直线PR垂直于x轴时，|PR|取最小值4 2.。