数学高二-选修2试题 第2章2.6

第2章2.6课时作业
一、选择题
1．设两个正态分布N(μ，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图像如图所示，则有()
图2－6－3
A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2
【解析】曲线y＝f(x)关于直线x＝μ对称，显然μ1<μ2，σ越大曲线越“矮胖”，反之，σ越小，曲线越“高瘦”，故σ1<σ2
【答案】 A
2．如果随机变量X～N(μ，σ2)，且EX＝3，DX＝1，则P(0<X≤1)等于()
A．0.021 5 B．0.723
C．0.215 D．0.64
【解析】由EX＝μ＝3，DX＝σ2＝1，
∴X～N(3,1)，
P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝P(0<X<6)＝0.997，
P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝P(1<X<5)＝0.954，
P(0<X<6)－P(1<X<5)＝2P(0<X<1)＝0.043.
∴P(0<X<1)＝0.021 5.
【答案】 A
3．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)等于()
A．0.025 B．0.050
C．0.950 D．0.975
【解析】∵ξ～N(0,1)，
∴P(ξ<－1.96)＝P(ξ>1.96)＝0.025.
∴P(|ξ|<1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－0.050＝0.950.
【答案】 C
4．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，则c等于
()
A．1 B．2
C．3D．4
【解析】∵ξ～N(2,9)，
∴P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)．
又∵P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，
∴3－c＝c－1，∴c＝2.
【答案】 B
5．某厂生产的零件直径ξ～N(10,0.22)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9 cm和9.3 cm，则可认为()
A．上午生产情况未见异常现象，下午生产情况出现了异常现象
B．上午生产情况出现了异常，而下午生产情况正常
C．上、下午生产情况均是正常
D．上、下午生产情况均出现了异常现象
【解析】3σ原则：(10－3×0.2,10＋3×0.2)，即(9.4,10.6)，9.9∈(9.4,10.6)，9.3∉(9.4,10.6)，所以，上午生产情况未见异常，下午生产情况出现了异常．
【答案】 A
二、填空题
6．设X ～N (0,1)，且P (X <1.623)＝p ，那么P (x >1.623)的值是________．
图2－6－4
【解析】 ∵X ～N (0,1)，∴μ＝0，
∴P (x >1.623)＝1－P (X <1.623)＝1－p .
【答案】 1－p
7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的均值为________．
【解析】 区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x ＝1对称，所以均值μ为1.
【答案】 1
8．已知正态分布总体落在区间(0.2，＋∞)的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x )在x ＝________时达到最高点
【解析】 由已知P (X >0.2)＝P (X ≤0.2)＝0.5，
所以，正态曲线关于x ＝0.2对称．由正态曲线性质得x ＝μ＝0.2时达到最高点．
【答案】 0.2
三、解答题
9．设X ～N (2,4)，试求下列概率：
(1)P (2<X <4)；(2)P (－2<X <0)．
【解】 (1)P (2<X <4)＝12P (0<X <4)＝12P (μ－σ<X <μ＋σ)＝12
×0.683＝0.341 5. (2)P (－2<X <0)＝12＝12[P (μ－2σ<X <μ＋2σ)－P (μ－σ<X <μ＋σ)]＝12
×(0.954－0.683)＝0.135 5.
10．某地区数学考试的成绩X 服从正态分布，其分布密度函数图像如下图所示，成绩X 位于区间(52,68)的概率是多少？
图2－6－5
【解】 设成绩X ～N (μ，σ2)，则正态分布密度函数
由题图可知参数μ＝60，12πσ＝182π
，即σ＝8， ∴P (52<X <68)＝P (60－8<X <60＋8)＝0.683.
11．某投资商制定了两个投资方案，准备选择其中一个．已知这两个投资方案的利润x (万元)分别服从正态分布N (8,32)和N (7,12)．该投资商要求“利润超过5万元”的概率尽量地大，他应该选择哪一个方案？
【解】 ①当选择X ～N (8,32)的方案时，则有μ＝8，σ＝3.
∴P (8－3<X <8＋3)＝P (5<X <11)＝0.683，
∴P (X >5)＝12＋P (5<X <8)＝12＋12
P (5<X <11)＝0.5＋0.341 5＝0.841 5. 即选择X ～N (8,32)的方案时，利润超过5万元的概率为0.841 5.
②当选择X ～N (7,12)的方案时，
则有μ′＝7，σ′＝1.
∴P (7－2×1<X <7＋2×1)＝P (5<X <9)＝0.954，
∴P (X >5)＝12＋P (5<X <7)＝12＋12
P (5<X <9)＝0.5＋0.477＝0.977， 即选择X ～N (7,12)的方案时，利润超过5万元的概率为0.977.
综上可得：选择X ～N (7,12)的方案时，利润超过5万元的概率大.。