高等代数在几何中的应用

摘要
本文主要研究矩阵、行列式与Cramer法则在判别直线、平面与线面位置关系时的应用以及如何用行列式表示直线或平面方程，并将对称变换法应用于求二次曲线的切线以及二次曲面的切平面．还应用线性方程组的理论得到了解析几何中的几个简单命题，从而疏通了高等代数与解析几何的内在联系，并体现出代数学与几何学相互渗透，相互影响的本质关系,能够使学习者在具体的几何背景下直观地接受代数方法．
关键词：矩阵；行列式；Cramer法则；线性方程组；对称变换
ABSTRACT
This paper mainly studies how to use matrix, determinant and Cramer law to discriminate the relation between lines and planes, and how to use the determinant to express the equation of lines and planes．And symmetric transformation method is used to solve the problem of tangent line of quadratic curve and tangent plane of quadratic surface．Using the theory of linear equations, some easy propositions of analytic geometry are gotten．So it shows the intrinsic relation between linear algebra and analytic geometry which penetrated and affected each other, enabling learners accept algebra method intuitively under the background of specific geometric．
Key words: Matrix; Determinant; Cramer law; System of linear equations; Symmetric transformation
第1章引言
高等代数这门课程内容充实，逻辑严密，是现代数学、物理、工程、经济等学科的基础[1]．而高等代数作为其它学科的基础，其内容与基本理论和方法必然有着广泛的应用．如一般性思想方法、抽象性思想方法、公理化思想方法、初等变换的思想方法、辩证思维的思想方法和关系映射反演思想方法等．
“高等代数”与“解析几何”作为高等院校数学专业的两门重要基础课程，它们既各具特点不能相互取代，又存在着天然的内在联系，主要表现在它们的内容上有许多重叠和相互依赖，相互支撑的部分．它们之间存在着密切的联系，这种关系可以归结为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景[2]”．目前,将这两门课程进行合并教学的探索纷纷在多所高等院校展开，并且这个思路也一直是许多高等院校教学改革的一个热门课题．
在当今日趋激烈的课程改革进程中，有的高校主张，将高等代数与解析几何两门课程进行整合，二课合一，课程内容以代数为主线，把行列式、线性空间，欧式空间放在前几章，以使充分利用线性代数工具解决集合问题．学生刚开始接触到行列式、线性空间这些抽象内容时，感到深奥、难理解，引入解析几何的内容与相关问题时，把代数与几何充分结合起来，学生就会感到具体多了，很容易明白，便于对代数知识的理解，而对解析几何来说，由于有了充分的高等代数知识作准备，面对具体几何问题便会得心应手，迎刃而解了[3]．
在学习解析几何的过程中，我们经常会碰到这样的问题，如求通过定点的曲线方程、判断平面上三点是否共线、求平面上不共线的三点所围成的三角形面积以及判断空间中平面与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，平面与直线的位置关系．这些问题均是解析几何中最常见的问题，像这些问题大多数学生都只会考虑运用解析几何课程中的本体性知识来解答，思维方式比较单一，不具有灵活性，殊不知，借助高等代数中行列式、矩阵和线性方程组解的理论等基础性知识，这些问题可以轻而易举并且以直观的方法被解决，高等代数知识的运用促使广大学者对几何问题的认识从原来的思维单一模式向思维多元化模式过渡，从而更好地理解“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”这一句话，加深对代数与几何之间的融入和理解．应用高等代数方法解决几何问题的应用实例还有很多，如弯管的设计[4]、环叉式万向节的附加力矩[5]、矿脉迹线的绘制[6]、天体定位精度分析[7]等．
总的来说，如果单单运用解析几何知识来解决几何问题，舍弃高等代数知识而作为唯一的解决方案来源，不仅运算过程中计算量比较大，且化简过程繁琐，不利于学者发挥主体性和创造性[8]．但是，有了高等代数作为解决几何问题的又一知识来源,不仅可以简化解决问题的过程，而且可以帮助学者更好地发挥创造性与能动性．
第2章 高等代数在解析几何中的应用
2.1 判别平面、直线位置关系[9]
直线和平面是解析几何中最基础的内容，那么，毫无疑问，它们之间位置关系的判别也是解析几何研究中的基础．但是，大多数解析几何教材给出的判别方法针对的都是直线与平面的对称式方程与点法式方程，且运用到的高等代数中的工具是行列式．本节将运用矩阵及其秩来对平面和直线的位置关系作出判断． 2.1.1 平面位置关系判别
两个平面有三种位置关系，即相交，平行，重合．以下用高等代数方法可轻松判别两平面位置关系．
定理1 设两个平面方程为 11111222220
A x
B y
C z
D A x B y C z D ∏+++=∏+++=：：
则
1 平面1∏与2∏平行 1111
2222
==()2,()1A B C D r A r A A B C D ⇔
≠⇔==； 2 平面1∏与2∏重合 1111
2222
==()1,()1A B C D r A r A A B C D ⇔
=⇔==； 3 平面1∏与2∏相交
111222::::()2,()2A B C A B C r A r A ⇔≠⇔==．
其中,1
112
2
2A
B C A A B C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1
11
12
22
2A B C D A A B C D -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
． 证明 应用代数知识，考虑由平面1∏与2∏的方程构成的线性方程组
111122220
A x
B y
C z
D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ (1)
的解．由1()2r A ≤≤，而()()2r A r A ≤≤．所以有：
1 平面1∏与2∏平行⇔方程组(1)无解，亦即1∏与2∏无公共点⇔()()r A r A ≠，
()r A =2，()1r A =．由()1r A =，可设111
222
==A B C k A B C =．那么0k ≠且对A 作初等行变换得
1111
121
00
A B C D A D D k -⎛⎫
⎪= ⎪- ⎪⎝
⎭
又由()2r A =，有1210D D k -≠，从而11112222
==A B C D
A B C D ≠．
2 当且仅当
12
D k D =，即11112222==A B C D
A B C D =时,()()1r A r A ==，这时方程组(1)有无
穷多解并且只有一个独立的方程．平面1∏与2∏重合，即结论2成立．
3 若111222::::A B C A B C ≠，那么A 的行向量线性无关，从而()()2r A r A ==，这时方程组(1)有无穷多解并且有两个独立的方程．平面1∏与2∏相交于一条直线． 例 1 求过点(4,1,3)及平面1:20x y z π+--=与平面2:3530x y z π+--=交线的平面π的方程．
解 由所求平面经过点(4,1,3)，可设平面方程为
(4)(1)(3)0A x B y C z -+-+-=．
又因平面π与平面1π，2π相交于一条直线，则由定理1可知，线性方程组
203530(4)(1)(3)0x y z x y z A x B y C z +--=⎧⎪
+--=⎨
⎪-+-+-=⎩
有无穷多解，即()()2r A r A ==．
其中，1111112351,351343A A A B C A B C A B C --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
．
而111211
12351302234315002322A A B C A B C C B A C A B ⎛⎫
⎪--⎛⎫
⎪ ⎪=-→-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭-+++ ⎪
⎝⎭
． 所以有20
15
3022
C B A C A B -+=⎧⎪
⎨++=⎪⎩，得111A B C ==-，则所求平面方程为 (4)(1)(3)0x y z -+---=20x y z ⇒+--=．
2.1.2 直线位置关系判别
两直线通常有4种位置关系，即相交，重合，平行与异面．以下同样是应用矩阵的秩来判别．
定理 2 判别两直线1111122220:0A x B y C z D L A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩3
33324444
:0A x B y C z D L A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩的位置关系的充要条件为： 1 相交()()3r A r A ⇔==； 2 重合()()2r A r A ⇔==； 3 平行()3()2r A r A ⇔==，； 4 异面()4()3r A r A ⇔==，．
其中1
111
1112222
2
2233333334
4
44
4
4
4,A B C A B C D A B C A B C D A A A B C A B C D A B C A B C D -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪- ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
． 证明 1L 与2L 的相关位置取决于线性方程组
11112222
333344440000
A x
B y
C z
D A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎪+++=⎪⎨
+++=⎪⎪+++=⎩ 的解的情况．
记A 的行向量为1234,,,αααα，A 的行向量记为1234,,,αααα，A ，A 分别表示这个线性方程组的系数矩阵与增广矩阵．注意到()()r A r A =或()()1r A r A =+，而2()3
r A ≤≤． 当()2r A =时，有以下几种情况：
①()2r A =，此时方程组有无穷解，且1L 与2L 的方向向量共线，表明1L 与2L 重合； ②()3r A =，此时线性方程组无解，且1L 与2L 的方向向量共线，表明1L 与2L 平行． 当()3r A =时，有以下几种情况：
①()3r A =,此时线性方程组有唯一解，表明1L 与2L 相交；
②()4r A =,此时线性方程组无解且1L 与2L 的方向向量不共线，表明1L 与2L 异面．
例2 判别下面直线的位置关系．
2503510x y z x y z ++-=⎧⎨
++-=⎩与83230
52750
x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩ 解 由1
12511250
25143511610
078832328635
2
7500
61A ⎛⎫ ⎪⎛⎫-- ⎪
⎪
⎪
⎪=→-
-
⎪ ⎪-- ⎪ ⎪
⎪⎝⎭- ⎪⎝
⎭
知，()3,()4r A r A ==，根据
定理2知，两直线异面． 2.1.3 线面位置关系判别
空间直线与平面有3种位置关系：相交、平行、直线在平面上．利用高等代数来刻画这3种位置关系同样可以使解析几何的有关问题大大简化．
定理 3 直线111122220
:0A x B y C z D L A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩与平面:0Ax By Cz D π+++=的位置关
系：
1 相交()3,()3r A r A ⇔==；
2 平行()3,()2r A r A ⇔==；
3 直线L 在平面上()2,()2r A r A ⇔==．
这里，1111
1112
222
2
22,A B C A B C D A A B C A A B C D A B
C A B
C
D -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭⎝
⎭
． 证明 直线L 与平面π的位置关系取决于线性方程组
111122220
00A x B y C z D A x B y C z D Ax By Cz D +++=⎧⎪
+++=⎨⎪+++=⎩
的解的情况．
记这个线性方程组的系数矩阵与增广矩阵分别记为A 与A ，则2()3r A ≤≤，
2()3r A ≤≤．
当()3r A =时，只有()3r A =一种情况，此时，线性方程组有唯一解．这表明L 与π相交．
当()2r A =时，有2种情况：
①()2r A =时，此时线性方程组有无穷多解，即直线L 与π有无穷多交点．表明L 在平面π上；
②()3r A =时，此时，线性方程组无解，即直线L 与平面π无交点，表明L 与π平行．
例 3 求过直线:L 220
4310x y z x y z ---=⎧⎨-+-=⎩且与平面:π260x y z +++=平行的平面方
程．
解 设所求平面α的方程为0Ax By Cz D +++=,因为平面π与α平行，所以有
11A B =26
C D
=≠，因此此处不妨假设,,2A m B m C m ===，那么平面α的方程可以写为20mx my mz D +++=(0)m ≠．又因为L 在平面α上，根据定理3，可知方程组
220
431020x y z x y z mx my mz D ---=⎧⎪
-+-=⎨⎪+++=⎩
有无穷多解，即()()2r A r A ==．
121212124131077720332A m m m D m m D m ----⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
因此有
7732m D m
-=--，所以有D m =．因此平面α的方程为 210x y z +++=．
通过以上介绍的几个简单定理和几道例题，可以看出利用矩阵及其秩方法不仅大大减少了计算量，而且掌握了上述方法以后有利于原有知识和方法的迁移，活跃了解题思维，丰富了解题经验．对于初学高等代数与解析几何的广大学生来说，有利于建立两门课程之间更广、更深的联系，有利于拓展知识，形成技能，发展能力．
2.2 Cramer 法则在解析几何中的应用
解析几何中经常会碰到这类问题，比如给定若干个点求过这些点的曲线或者曲面方程．解这类题时,有时候思路会局限于使用基本的代数方法．本节会将Cramer 法则引入这类问题的解法中，用行列式表示所求曲面或曲线的方程．这种解法思路比较清晰，只须牢固掌握Cramer 法则以及线性方程组解的理论即可轻松解决这类问题．
1 多点确定的曲线方程
平面上的二次曲线方程的一般方程为
221234560a x a xy a y a x a y a +++++= (2)
其中，1a ，2a ，3a ，4a ，5a 不全为0．要求通过五个不同的点()11,x y ，()22,x y ，
()33,x y ，()44,x y ，()55,x y 的曲线方程．将这五点代入(2)，得到五个方程并与(2)
联立得到线性方程组
22123456221121131415162212222324252622
1323333435362214244344454622152553545556000
000a x a xy a y a x a y a a x a x y a y a x a y a a x a x y a y a x a y a a x a x y a y a x a y a a x a x y a y a x a y a a x a x y a y a x a y a ⎧+++++=⎪+++++=⎪⎪+++++=⎪⎨+++++=⎪+++++=+++++=⎩⎪⎪⎪ (3) 把1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a 看作未知量，这是关于它们的一个齐次线性方程组，由于它有非零解，其系数行列式必为0，即
222
2111111222222222
2
333333224444442
2
555
55
51110111
x xy y x y x x y y x y x x y y x y x x y y x y x x y y x y x x y y x y = (4)
此即为所求的二次曲线方程[10]．
易知，当1230a a a ===时，方程变为平面上的直线方程4560a x a y a ++=，用上
述方法可以求出过两不同点()11,x y ，()22,x y 的直线方程为1
12
21
101
x
y
x y x y =． 例 4 平面上通过横坐标互不相同的n 个点(,)(1,2,,i i i P x y i
n =的曲线210121n n y a a x a x a x --=++++有且仅有一条[11]
．
证明 把n 个点的坐标带入曲线方程210121n n y a a x a x a x --=++++，得到含n
个方程n 个未知量的非齐次线性方程组及其系数行列式D ：
2110112111212012221221
0121n n n n n n n n n n y a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x ------⎧=++++⎪=++++⎪⎨⎪
⎪=+++
+
⎩
211
11
212222
1
111n n n n
n n x x x x x x D x x x ---=
将0a ，1a ，2a ，，1n a -看作未知量，系数行列式D 是n 阶范德蒙德行列式，由于
(1,2,
,)i x i n =互不相同，所以0D ≠，依据Cramer 法则，上述方程组有唯一解，故
通过(,)(1,2,,i i i P x y i n =
的曲线210121n n y a a x a x a x --=++++有且仅有一条，
21
312
n n D D D D y x x x D D D
D
-=
++++
，其中(1,2,)j D j n =是用方程组的常数项代替系
数行列式中的第j 列元素后得到的n 阶行列式．
例5 过平面上不共线的三点(,)(1
,2,3)i i i P x y i =的圆的方程为 22
2211112
2
222222
333
31
1
011
x y x y
x y x y x y x y x y x y ++=++． 证明 设圆的方程为220x y Ax By C ++++=，把三个点的坐标代入圆的方程，得含3个方程3个未知量的非齐次线性方程组及其系数行列式D
221111222222223
333000
x y Ax By C x y Ax By C x y Ax By C ⎧++++=⎪
++++=⎨⎪++++=⎩
D =1
12
23
3111
x y x y x y 将A ，B ，C 看作未知量，由1P ，2P ，3P 不共线以及可知
0D ≠，所以上述方程组有唯一解，
221112222222333()
1()1()
1
x y y x y y x y y A D
-+-+-+=
,2211122222223
33()1()1()1
x x y x x y x x y B D
-+-+-+=
,2211112222222233
33()()()x y x y x y x y x y x y C D
-+-+-+=
代入220x y Ax By C ++++=，整理得：
2222221
11111111111222222222
2222222222
22222223
3333333333
3
1()1()1()()1()1()1()01
()
1
()
1
()
x y x y y x y x x y x y x y x y x x y y y x y x x y x y x y x y y x y x x y x y ++++-+++-+=+++即
2222111122222222
333
311
011
x y x y
x y x y x y x y x y x y ++=++． 2 多点确定的曲面方程
设通过空间中不在同一个平面上的四个点()111,,x y z ，()222,,x y z ，()333,,x y z ，
()444,,x y z 的球面方程为
22212345()0a x y z a x a y a z a ++++++= (5)
得到关于1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的齐次线性方程组
22212345222111121314152221222223242522213
332333435222
14442434445()0()0()0()0
()0
a x y z a x a y a z a a x y z a x a y a z a a x y z a x a y a z a a x y z a x a y a z a a x y z a x a y a z a ⎧++++++=⎪
++++++=⎪⎪
++++++=⎨⎪++++++=⎪⎪++++++=⎩ (6)
由(6)有非零解得到球面方程为
222222
111111222
222222222333333222
4444
4
411
0111
x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++++=++++++． (7) 例6 过空间中不共线3点(,)(1
,2,3)i i i P x y i =的平面方程是
1112223
3
311011
x
y z x y z x y z x y z =．
证明 设平面π的方程为0ax by cz d +++=（a ，b ，c 不全为0），因为点1P ，
2P ，3P 均在平面上，则其坐标必满足π的方程，从而得到以a ，b ，c ，
d 为未知量的齐次线性方程组及其行列式D
111
2223330
000
ax by cz d ax by cz d ax by cz d ax by cz d +++=⎧⎪+++=⎪⎨
+++=⎪⎪+++=⎩ 1112223
3
31111
x y z x y z D x y z x y z =
因a ，b ，c 不全为0，说明上述齐次线性方程组有非零解，所以其系数行列式
0D =，即所求平面π的方程．
以上通过运用Cramer 法则以及线性方程组解的理论介绍了如何用行列式表示曲线或曲面的方程，虽然只是给出了几个常见的曲线和曲面的求法，但是，这种方法比较系统，容易举一反三．所以，这种方法一经掌握，关于这种类型的题目便可迎刃而解了．
2.3 利用对称变换求二次曲线的切线与二次曲面的切面
在解析几何这门课程研究的所有问题中，求二次曲线的切线方程与求二次曲面的切面方程是一类重要的问题．其中，解析几何教材给出了这类问题的一般解法，但是求解过程过于繁琐且结论不易记忆，从而在解决这类问题时极易出错．以下将应用对称变换的思想解决这类问题，这不仅为解决这类问题提供了一种全新的方法，而且方法简练，便于记忆． 2.3.1 求二次曲线的切线方程
设二次曲线:(,)0L F x y =，00(,)M x y 是曲线L 上的正常点，对L 上的点(,)P x y 作以点M 为中心的对称变换T ，将点P 变换成'(',')P x y ，则
00'2'2x x x
y y y =-⎧⎨
=-⎩
那么L 在对称变换T 下的像'L 的方程为00(2,2)0F x x y y --=．
定理 4 记00(,)(2,2)(,)f x y F x x y y F x y =---，则:(,)0l f x y =是一条直线，且直线(,)0f x y =就是二次曲线L 在点00(,)M x y 处的切线[12]．
证明 由于M 在变换T 下的象就是M 自身，所以M 是L 与'L 的一个交点． L 与'L 除M 之外不会再有别的交点，否则，设'A 是L 与'L 的另一交点，那么'A 应是
L 上一点A 在变换T 下的象，于是A 、M 、'A 应在同一条直线上．但是由于一条非
退化的二次曲线上任何三点都不会共线，于是，产生了矛盾[13]．容易看出，L 与'L 的交点在l 上，故M 也是l 与L 的交点．此外，由l 的方程可以看出，l 与L 的交点也必在'L 上，而L 与'L 只有唯一交点．如果L 是椭圆，那么已断言l 是切L 于M 的直线．如果L 是双曲线，则只要证明l 不与其渐近线平行，即可断定l 是L 的切线．如果L 是抛物线，则只要证明l 不与其对称轴平行，就可断言l 是L 的切线，以下对L 进行分类讨论．
1 当L 为椭圆时，设其方程为
222222(,)0(0)F x y b x a y a b a b =+-=>>
则l 的方程为
2222222200(2)(2)0b x x a y y b x a y -+---=
化简得
2222220000b x x a y y b x a y +=+
由于00(,)M x y 在L 上，所以22222200b x a y a b +=．于是，l 的方程为
222200b x x a y y a b +=即
00221x x y y
a b
+= 这就是与椭圆L 相切于点00(,)M x y 的直线，与欲证结论一致． 2 当L 为双曲线时，设其方程为
222222(,)0(0,0)F x y b x a y a b a b =--=>> 则l 的方程为
2222222200(2)(2)0b x x a y y b x a y ----+= 化简得
2222220000b x x a y y b x a y -=-
若00y =时，明显地，l 不与L 的渐近线平行；
若00y ≠时，l 的斜率为20
20
b x a y ，如果l 平行于L 的渐近线b y x a =±，则
202
0b x b a y a
=±，从而22
2002b y x a =． 于是22
2
2
2
222200002(,)0b F x y b x a x a b a b a
=-⋅-=-≠．这与00(,)M x y 是L 上一点矛盾，
可见l 也不与L 的渐近线平行，因此l 应是L 的切线．另外，由于
22222200b x a y a b -=，故l 的方程可化为00221x x y y
a b
-=，这也与欲证结果一致． 3 当L 是抛物线时，设其方程为
2(,)20(0)F x y y px p =-=> 则l 的方程为
2200(2)2(2)20y y p x x y px ----+= 化简得
20000px y y y px -+-=．
若00y =时，l 不与L 的对称轴平行； 若00y ≠时，l 的斜率为
0p
y ≠，故l 也不与L 的对称轴平行，因此l 是L 的切线． 由于2002y px =，则l 的方程可化为00()y y p x x =+，这也与欲证结果一致．
对一般形式的二次曲线
22:(,)0(,,)L F x y ax bxy cy dx ey f a b c =+++++=不全为0
l 的方程为
22000000(2)(2)(2)(2)(2)(2)a x x b x x y y c y y d x x e y y -+--+-+-+- 22()0f ax bxy cy dx ey f +-+++++=
即 220000000000(2)(2)(222)0ax by d x cy bx e y ax cy bx y dx ey +++++-++++= 由于22000000()f ax bx y cy dx ey =-++++，代入l 的方程，化简得l 的方程为 0000
00(
)()()0222
x x y y x x y y ax x b cy y d e f ++++++++=． 与已知结果相比可知，这正是与L 相切于00(,)M x y 的切线方程．
综上所述，如果点00(,)M x y 是二次曲线(,)0F x y =上一点，则
00(2,2)(,)0F x x y y F x y ---=
就是与这条二次曲线相切于00(,)M x y 的直线的方程．
例7 求二次曲线222430x xy y x y -++--=在点(2,1)的切线方程． 解 此处 22(,)2430F x y x xy y x y =-++--= (,)(4,2)(,)10812f x y F x y F x y x y =---=-++
则该曲线在点(2,1)处的切线方程为5460x y --=，且验证得(2,1)为该二次曲线的正常点．
2.3.2 求二次曲面的切面方程
设二次曲面:(,,)0C F x y z =，000(,,)M x y z 是二次曲面C 的正常点，对于C 上的点(,,)P x y z 作以点M 为中心的对称变换T ，将点P 变换成'(',',')P x y z ，则
000'2'2'2x x x
y y y z z z
=-⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
那么C 在变换T 下的像'C 的方程为000(2,2,2)0F x x y y z z ---=．
记222112233122314243444(,,)22222F x y z a x a y a z a xy a yz a x a y a z a ≡++++++++
111121314(,,)F x y z a x a y a z a =+++，212222324(,,)F x y z a x a y a z a =+++ 313233334(,,)F x y z a x a y a z a =+++，414243444(,,)F x y z a x a y a z a =+++
定理5 记000(,,)(2,2,2)(,,)g x y z F x x y y z z F x y z =----，则:(,,)0
g x y z α=
是一个平面，且平面(,,)0g x y z =就是二次曲面C 在点000(,,)M x y z 处的切平面．
证明 经整理得
000(2,2,2)F x x y y z z ---
0004(,,)(,,)F x y z F x y z =+100020004(,,)4(,,)F x y z x F x y z y --30004(,,)F x y z z - 40004(,,)F x y z -
由于000(,,)M x y z 在曲面C 上，所以000(,,)0F x y z =，则
000(,,)(2,2,2)(,,)g x y z F x x y y z z F x y z =----
10002000300040004(,,)4(,,)4(,,)4(,,)F x y z x F x y z y F x y z z F x y z =----
那么平面α的方程为
1000200030004000(,,)(,,)(,,)(,,)0F x y z x F x y z y F x y z z F x y z +++=
因为000(,,)M x y z 为C 上的正常点，所以1000(,,)F x y z ，2000(,,)F x y z ，3000(,,)F x y z 不全为零，不妨设1000(,,)0F x y z ≠．
1 用平面0y y =去截割二次曲面(,,)0F x y z =，得截线方程为00(,,)0
F x y z y y =⎧⎨=⎩
，经整
理得截线在点000(,,)M x y z 的切线方程为
1000
200003000400010(,,)(,,)(,,)(,,)0
:F x y z x F x y z y F x y z z F x y z l y y +++=⎧⎨=⎩
直线1l 的方向数为30001000[(,,)]:0:(,,)F x y z F x y z -，即直线1l 的方向矢量为
}{130001000(,,),0,(,,)V F x y z F x y z =-．
2 用平面0z z =截割二次曲面(,,)0F x y z =，同理可求得截线在点000(,,)M x y z 处的切线2l 的方向矢量}{220001000(,,),(,,),0V F x y z F x y z =-．
3 12V V ⨯ 3000100020001000(,,)
0(,,)(,,)(,,)0
i
j
k
F x y z F x y z F x y z F x y z =--
210001000200010003000[(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)]F x y z i F x y z F x y z j F x y z F x y z k =-++
即12V V ⨯=}{
210001000200010003000(,,),(,,)(,,),(,,)(,,)F x y z F x y z F x y z F x y z F x y z -． 由平面α的方程知，α的法矢量为}{100020003000(,,),(,,),(,,)n F x y z F x y z F x y z =，则
12V V ⨯=1000(,,)F x y z n -，其中1000(,,)0F x y z ≠．因为平面α经过点000(,,)M x y z ，所以平面:(,,)0g x y z α=是二次曲面C 在点000(,,)M x y z 处的切平面．
例8 求二次曲面222(,,)444222180F x y z x y z xy xz yz x y z =++---++++=在点(1,2,3)的切平面方程．
解 验证得(1,2,3)是该曲面上的正常点．而
(,,)(2,4,6)(,,)g x y z F x y z F x y z =---- 3220896x y z =++-
则该曲面在点(1,2,3)处的切平面方程为852240x y z ++-=．
2.4 二次曲面和平面位置关系
判别二次曲面和平面位置关系之前，首先先给出球面与平面的位置关系判别方法，然后经过射影变换，来判别二次曲面和平面的位置关系． 2.4.1 球面与平面位置关系的判别
设有球面
222222x y z ax by cz d +++++= (8)
和平面的法式方程
cos cos cos 0x y z p αβγ++-= (9)
考虑此球面方程系数行列式的加边行列式
1
00cos 010cos 001cos cos cos cos 0
a b c
a b c d p p α
βδγα
β
γ
=
--- 整理得
222
22210000010000010
cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos a b c d a b c p a b c p a b c δαβγα
β
γ
αβγ
αβγ
=
---------------
由于(9)式是空间平面的法式方程，而且球面(8)的球心坐标为(,,)a b c ---，所以
cos cos cos p a b c αβγ----是球心到此平面的距离．而222d a b c +++是球面(8)的半径的平方，且222cos cos cos 1αβγ++=，故
2222(cos cos cos )d a b c p a b c δαβγ=+++----- 是截线圆的半径的平方．由此可得：当0δ>时，球面与平面相交；
当0δ=时，球面与平面相切；
当0δ<时，球面与平面相离．
若平面方程是一般式0Ax By Cz D +++=，两边乘以法化因子K ，则化为法式方程(9)．所以
1
000
10'0
1
a A
b B
c C a b c
d D A B C
D
δ=- (10) 第5行及第5列各乘以K ，则2'K δδ=即2
'K
δ
δ=
．所以'0δ>，球面与平面相交；
'0δ=时，球面与平面相切；'0δ<时，球面与平面相离[14]． 2.4.2 二次曲面与平面位置关系判别
按照射影几何的观点，二次曲面是由球面经射影变换而得到的，平面经过射影变换后仍是平面，且在射影变换下，点面结合性不变，点线结合性不变．故经射影变换，截线圆变成二次曲线，曲面的形状发生改变，但它与平面的位置关系不变
[14]
．经射影变换，球面(8)变成二次曲面
()11121314121
22232421
23
431323334341
42
43
4440a a a a x a a a a x x x x x a a a a x a a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪
= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭ (11)
其中，射影变换为
11121314121
22232423132333434142
43
4441x x x y x z x λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪⎪
⎪
⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ (12) 平面 ()01x y
A B C
D z ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
变成另一平面
()11121314121
22
232423132333434142
43
4440x x A B C
D x x λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎪⎪= ⎪⎪
⎪⎪⎝⎭
⎝⎭ (13) 或者记作 '''''''0A x B y C z D +++=
(14)
其中 ()()1112131421
22
2324313233344142
43
44''''A B C D A B C
D λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭
(15) 14'x x x =，24'x
y x =，34
'x z x =． 二次曲面(11)也可以写作
()11
121314212223243132333441
42
43
44'''
''10'1a a a a x a a a a y x y z a a a a z a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭ (16) 其中
111213142122232444
443132333441
42
43
44100
010001T a a a a a a a a a b a a a a c a a a a a
b c d ⨯⨯⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
=ΛΛ ⎪
⎪
⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭
1112131421
22232444
313233344142
43
44λλλλλλλλλλλλλλλλ⨯⎛⎫
⎪ ⎪Λ= ⎪
⎪⎝⎭
二次曲面(16)和平面(14)的位置关系判别式为
11
12131421
22232431
32333441424344'''''
'
'
'
a a a a A a a a a B a a a a C a a a a D A B C D 由
11121314
2122232444
44
3132333441424344'100'01000'0010101'''
'
'00T
a a a a A a A a a a a B
b B a a a a C
c C a a a a D a b c
d D A B C D A B C D
⨯⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎪Λ⎛⎫
Λ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭ 所以
11
12131411
11111144
44
31
323334
41424344'
1
0'
01000
''00101
1
''
'
'
'0
T
a a a a A a A a a a a B
b B a a a a C
c C a a a a D a b c
d D A B C D A B C
D
δ⨯⨯ΛΛ==- 即2'k δδ=，其中4400
1
k ⨯Λ=
，可以说当'0δ>，二次曲面与平面相交；'0δ=时，
二次曲面与平面相切；'0δ<时，二次曲面与平面相离．且在实际应用时，可将
'A ，'B ，'C ，'D 上的撇号去掉，即二次曲面
222112233121323142434442222220a x a y a z a xy a xz a yz a x a y a z a +++++++++= 与平面
0Ax By Cz D +++= 的位置关系判别式[14]为
11
12131421
22232431
323334414243440
a a a a A a a a a B
a a a a C a a a a D A
B
C
D
δ=．
本节首先借助行列式给出了判定球面与平面位置关系的判别式，其本质思想还是球心到平面的距离与球体半径大小的比较；然后根据射影变换法，球面经射影变换成为二次曲面，平面经过射影变换后仍为平面，而在射影变换下，点面、点线结合性不变，则根据从一般到特殊的思想，即可得出二次曲面与平面位置关系的判别式．
2.5 正交变换与合同变换化简二次曲线
结合解析几何与代数理论，运用高等代数中化二次型为标准型的两种思路：合同变换与正交变换．其中，合同变换是在不注重研究几何性质时候常用的一种方法，它的标准型不唯一,而正交变换恰恰相反[15]． 2.5.1 正交变换化简二次曲线
任意实二次型12,1
(,,
,)'n
n ij i j i j f x x x a x x X AX ===∑都可以用正交变换X QY =化为
平方和22
2
1122n n
f y y y λλλ=++
+，这里(1,2,,)i i n λ=是A 的全部特征值．
例9
化简二次曲线22120x xy y ++-+=． 解 式中的二次项构成的实二次型为22(,)12f x y x xy y =++．
实二次矩阵为1661A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，特征多项式16()(7)(5)61f E A λλλλλλ--=-=
=-+--，即A 的特征根为127,5λλ==-．属于1λ的特征向量为()11,1α=，属于2λ的特征向量为()21,1α=-．
单位化得1β=
，2β⎛= ⎝
．以1β，2β为列向量，作正交矩阵
Q =⎪⎪⎭
则所作正交变换为''''x x y y x y ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
，代入原方程，得227'5'8'0x y y -+=，配方得22416
7'5(')055
x y --+=．
令'''
4'''5x x y y =⎧⎪
⎨=-⎪⎩
，则坐标变换为''''''''x x y y x y ⎧
=--
⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
得标准方程为2216
755
x y -=-（双曲线）
2.5.2 合同变换化简有心二次曲线
对矩阵A 作合同变换，即1231112132122233132330
00000d d d A E c c c c c c c
c c ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎛⎫≅ ⎪
⎪⎝⎭
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
这样，二次曲线就化简为22123(,)0f x y d x d y d =++=．所作变换
1112212223
''''x c x c y c
y c x c y c =++⎧⎨
=++⎩
． 例10 化简2231010210x xy y x y -++-+=．
解 系数矩阵3152
3
15255
21A ⎛
⎫- ⎪ ⎪ ⎪=-
- ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪⎝
⎭
， 由2315
2
3
4
1
2I -
==-
-知该曲线为中心曲
线．
3100152
5
00341520015
5213
12100201001
200
1001A E ⎛⎫⎛⎫
-
⎪
⎪ ⎪ ⎪- ⎪
⎪-- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=≅ ⎪-
⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
这样，经变换3''2
2
'2x x y y y ⎧
=+-⎪⎨⎪=+⎩
，代入原方程，得225104x y -+=． 二次型理论来源于化简二次曲线与二次曲面为标准形式的问题，同时经过不断探索研究与拓展，二次型理论又指导化简二次曲线与二次曲面为标准形式的过程，简单地说就是，理论来源于实践，又指导着实践．
参考文献
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[15]韩凌燕.二次型化简二次曲线的探究[J].山东科学,2008,21(2)：52～54．
致谢
本篇论文是在王永忠老师的亲切关怀和悉心指导下完成的，从论文的选题到最终完成，王老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持，不厌其烦地帮助我进行论文的修改和改进．另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助．在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢．其次，感谢这篇论文所涉及到的各位学者．本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助与启发，我将很难完成这篇论文的写作．最后，感谢我的同学和朋友，在
我写论文的过程中给我提供了不少的论文素材，还在论文的撰写和排版过程中提供热情的帮助．。