高中数学新湘教版精品学案《旋转变换》

旋转变换
【学习目标】
一、知识与技能：
通过实例认识变换、旋转、像、列向量、线性变换、矩阵、恒等变换、中心对称变换等概念；以映射和变换的观点，认识矩阵一列向量乘法的意义，并能初步运用矩阵一列向量的乘法法则；掌握放置变换的表达式，能进行点坐标的变换运算，能将简单变换用其所对应的矩阵表示。

二、方法与过程
经历数学实验操作和问题探究，发现平面直角坐标系上的放置变换表达式，由特殊到一般引入线性变换的表达式。

三、情感、态度与价值观
通过数学实验中图形的变换，感受数学的奇异美，体会数学充满探索性；在学习活动中学会合作、学会发现知识，获得数学的解决问题的方法，使学生体验到成功的乐趣；感觉数学符号美，领会数学公式的美学意义。

【学习重点】
旋转变换表达式的推导和应用
【学习难点】
数学实验的分析；矩阵与列向量乘法的意义
【学习过程】
一、实验操作：
观察图1-1中的图形，其中右边的图形是由左边的图形绕
原点沿逆时针方向旋转得到的。

试自己摹仿画出图1-1中的图形。

图1－1
二、问题探究
图1－1是计算机画出来的，很多计算机软件都可以根据图形的方程画出图形。

如果想利用计算机软件画出图1－1中的曲线图形，需要知道以下信息：曲线由两部分组成，两部的参数方程分别是：
；
[)⎩⎨⎧∈+-==π2,025sin 3sin 34sin 5.1t t t y t x [)⎩⎨
⎧∈==π2,05sin 3sin 52sin 5t t t y t
x
对于区间内每一个值，代入参数方程就得到一点。

让取遍曲线内所有的值，得到
的所有的点就组成一个曲线图形，可以让计算机软件根据为个方程画出它的图形。

怎样将为个曲线图形旋转？参数的每一个值确定旋转前的曲线上的一个点，需要由这个点的坐标算出它旋转后的坐标，计算机可以根据所有这些点旋转后的坐标画出旋转后的图形。

三、学习新知：
设平面上建立了直角坐标如图1－2，所有的点绕原点沿逆时针方向同一个角，求点（）经过旋转之后到达的点（）
这是研究平面上的二维向量空间，所以应设平面上建立了直角坐标系这个前提条件，根据前后图形性质的不变性，运用化归思想把问题转化为寻找旋转前后图形对应点的关系，即找出旋转前后对应点的坐标关系：将点人位置用向量和方向角来表示为
抓住旋转前后对应点的长度不变，方向角增加，利用三角函数的和角公式，用整体代入法寻找对 图1－2 应点的坐标关系为
因此 （1）
平面上绕原点旋转可以看成一个变换，称为旋转变换，它建立了平面上的第一个点到的对应关系。

用字母T 来表示这个旋转变换，为了表示点对应，写成＝T （），称是在变换T 作用下的像，并且用箭头来表示与的这种关系；
变换T ：或变换T ：T （）
在平面上建立了直角坐标系之后，每个点由坐标（）表示，当然点＝T （）也用坐标（）表示，因此，变换T 也建立了这两个点的坐标之间的对应变换T ：（）（）
在（1）式中左边的组成点的坐标（），可以看在向量的坐标排成一列的形式，称为列向量，可以利用向量记号将关系式（1）的两个等式全成一个向量等式
（2） 表示左右两边向量的分量对应相等。

[)π2,0[)
π2,0``,y x ⎩
⎨
⎧==θθ
sin cos r y r x ⎩
⎨⎧+=+=+=-=-=+=αααθαθαθα
ααθαθαθcos sin cos sin sin cos )sin(sin cos sin sin cos cos )cos(`
`y x r t r y y x r r r x ⎩
⎨⎧+=-=ααααcos sin sin cos ``y x y y x x ``,y x ``,y x ``,y x `
`
,y x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛``
y x ⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ααααcos sin sin cos ``y x y x y x
为了叙述方便，我们有时还用一个字母表示一个列向量。

比如记，，用＋表示它们的和，表示实数与的积。

表达式（2）的右边的两个分量，当固定不变时，，都是自变量
的常数项为0的一次函数，它们的自变量是的坐标，可以看作的坐标，用列向量表示。

将这两
个一次函数的自变量分离出去之后，让4个系数排成2行2列的数表的形式，表达式（2）就成为＝ （3） 将（3）式右边中的每一行的系数与中的字母分别对应相乘再相加，就还原成表达式（2）
一般地，如果变换T ：（）（）变换前后坐标之间的关系具有如下的形式：也
就是都是的常数项为0的一次函数，就将这样的变换T 称作线性变换。

此时可以将变换表达式写成
＝ （4） 的形式，不同的线性变换的差别仅仅在于一次函数表达式中的4个系数，，，的不同。

因此，这
4个数排成的2行2列的数表决定了平面上的线性变换。

我们将这样由4个数排成的2行
2列的数表称为2行2列的矩阵，也称为2×2矩阵，表达式（4）所描述的变换完全由矩阵决定，我们称它为这个变换的矩阵。

而称这个变换是由这个矩阵表示的变换。

四、完成练习
例1．设变换T 将平面上每个点绕原点旋转
，求以下点的像： A （0，0）， B （2，1）， C （0，1）， D （1，－2）
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111y x X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222y x X ααsin cos y x -ααcos sin y x +⎪⎪⎭⎫
⎝⎛y x ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-αα
αα
cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛``y x ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-αα
αα
cos sin sin cos ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-αα
αα
cos sin sin cos ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛y x `
`,y x ⎩
⎨⎧+=+=dy cx y by ax x ``
``,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛``y x ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛d c b a ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛d c b a 2
π
例2．矩阵表示什么变换？
例3．将直角坐标平面上所有的点（）变到关于原点的中心对称点（），这样的变换称为中心对称变换。

试求点（）的中心对称点的坐标（）
五、总结
1．一般地，如果变换T ：（）（）变换前后坐标之间的关系具有如下的形式：也就是都是的常数项为0的一次函数，就将这样的变换T 称作线性变换。

此时可以将变换表达式写成
_________________________________________________________________________________
___________________________________________。

2．平面上绕原点旋转可以看成一个变换，称_______，它建立了平面上的第一个点到的对应关
系＝。

⎪⎪⎭⎫
⎝⎛1001``,y x ``,y x `
`
,y x ⎩⎨⎧+=+=dy
cx y by
ax x `
```,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛``y x ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-ααααcos sin sin cos ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛y x。