第5讲 积分变换与Bessel函数

4
§1 Fourier积分公式 1.1 Recall:
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间而 变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.---- Fourier级数
方波
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单位时间 振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多少次, 单位 是赫兹 (Herz, 或Hz). 5
e
int
e 2i
int

合并为：cn

1 T2 fT (t )eint dt n 0, 1, 2, T T 2


a0 a n ibn int a n ibn int e e 2 n 1 2 2
级数化为： cn eint
则


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sinc函数
sinc函数定义为 sinc( x) sin x x 严格讲函数在x 0处是无定义的, 但是因为lim
x 0
前面计算出
1 cn sinc(n ) ( n 0, 1, 2, ) 2 2 n n n n , 可将cn以竖线标在频率图上 T 2

2 2 n , n n T 8 4 4
f8(t)
1
17
1
T=8
7
t
1 T cn 2T fT (t )e j nt dt T 2 1 4 1 1 f 8 (t )e j nt dt e j nt dt 8 4 8 1 1 1 1 e j n t e j n e j n 8 j n 8 j n 1 1 sin n 1 sinc( n ) (n 0,1,2, ) 4 n 4
7
其中 2 T , 2 T2 fT (t )cos ntdt n 0,1,2, T T 2 2 T2 bn fT (t )sin ntdt n 1,2, T T 2 在间断点t处成立： an

fT (t 0) fT (t 0) a0 an cos nt bn sin nt 2 2 n1 引进复数形式：
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4Hale Waihona Puke 2014/9/7f (t ) lim
T 2
1 T2 j n t e T fT ( )e jn d T T n 2

T
Fourier积分存在定理:若f (t )在任何有限区间 上满足Dirichlet条件，且在 ， 绝对可积，则 1 f ( )e i d eit d 2 t为连续点； f (t ) f (t 0) f (t 0) t为间断点。 2

2 2 n , n n T 4 2 2
f4(t)
1
13
1
3
t
T=4
1 T cn 2T fT (t )e jnt dt T 2 1 2 1 1 f 4 (t )e jnt dt e jnt dt 4 2 4 1 1 1 1 e jnt e jn e jn 4 jn 4 j n 1 1 sin n 1 sinc(n ) (n 0, 1, 2, ) 2 n 2

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f ( )ei d eit d
f t Fourier积分公式
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f t Fourier积分公式 也可以转化为三角形式
f (t ) 1 2
1 2




f ( )e j d e jt d
个 周 期 函 数 fT(t) 当 T 时 转 化 而 来 的 .
作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内等 于f (t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这就说明当 T时, 周期函数fT(t)便可转化为f (t), 即有
f ( )sin (t )d d
则


18
3
2014/9/7
1 cn sinc( n ) ( n 0,1,2, ) 4 2 n n n n , 再将cn以竖线标在频率图上 8 4
则在T=8时,
1 cn sinc( n ) ( n 0,1,2, ) 8 2 n n n n , 再将cn以竖线标在频率图上 16 8
9
cn F n cn arg cn
fT t 的离散频谱；
fT t 的离散振幅频谱； fT t 的离散相位频谱； n .
若以fT t 描述某种信号，则cn可以刻画 fT t 的 频率特征。
10
对任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某
例 矩形脉冲函数为
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出

19 20

1 T cn 2T fT (t )e j nt dt T 2 1 1 e j nt dt T 1 1 1 1 j n t e e j n e j n Tj n 1 Tj n 2 sin n 2 sinc( n ) (n 0,1,2, ) T n T
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桥梁结构振动与抗震 （结构动力学部分）
第5讲 积分变换与 Bessel函数
Fourier变换
Recall:
1、Fourier 变换
周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 但全直线上的非周期函数不能有Fourier表示； 引进类似于Fourier级数的Fourier积分 (周期趋于无穷时的极限形式)
sin x 1 x sin x 所以定义 sinc(0) 1, 用不严格的形式就写作 1, x x0
sinc(x)
则函数在整个实轴连续。

15
x
16
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构造一周
期为8的周期函数f8(t)
f 8 (t )
n
f (t 8n),
当n取一切整数时, n 所对应的点便均匀分 布在整个数轴上:
2 T
2 T
c e c e
in t i n n n


nt
,
{
{
n n 2n T , cn
即 fT (t )
T
1 T2 fT (t )e int dt T T 2
O 1 2 3


作是方波函数f (t)的各个频率成份上的分布, 称作方波
函数f (t)的Fourier变换.
21
22
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
T T 设fT (t )为T 周期函数，在 , 上满足Dirichlet条件, 2 2 则 fT (t )可展开为Fourier级数: fT (t )
jn t e n 2T fT ( )e jn d n 2 T 令 FT (n ) 2T fT ( )e jn d 2 1 j n t f (t ) lim FT (n )e n n 0 2 n 1 lim n 0 2
一般地, 对于周期T
当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频率间隔 越来越小 , 而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc 函数的形状, 因此, 如果将方波函数f (t)看作是周期无穷 大的周期函数, 则它也可以看作是由无穷多个无穷小的 正弦波构成, 将那个频率上的轮廓即 sinc 函数的形状看
n
可知 f (t ) lim
1 T2 fT ( )e jn d e jnt T T T n 2
即 fT (t ) 1 T2 jnt e . T2 fT ( )e jn d T n
n
1 T 2 eint T 2 fT ( )ein d T n
a a ibn a ibn 1 T2 令 c0 0 , cn n , dn n , 则 c0 fT (t )dt 2 2 2 T T 2 1 T2 1 T2 cn fT (t ) cos n t i sin nt dt f (t )T e int dt T T 2 T T 2 1 T2 1 T2 d n fT (t ) cos n t i sin nt dt f (t )T eint dt c n T T 2 T T 2 n 1,2, (c n cn )
6
t
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
1
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研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函 数变化的情况.
T T fT (t )为T 周期函数，在 , 上满足 2 2 Dirichlet条件： fT (t )连续或仅有有限个第一类间断点； fT (t )仅有有限个极值点 则fT (t )可展开为Fourier级数，且在连续点t处成立： fT (t )
n-1n

1 T2 jnt e . T2 fT ( )e jn d T n
令 n n1 2 T (与n无关)，T 2 0 T , 此时视 n为 (连续变量)
24
由 lim fT (t ) f (t )
又考虑到积分
1 2



f ( )e j ( t ) d d



f ( )cos (t ) d 是 的偶函数,


f ( )cos (t )d
从 f (t )
j 因
27
T
1 | t | 1 f (t ) 0 | t | 1
如图所示: f (t )
1
lim fT (t ) f (t )
12
1
o
1
t
11
2
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现以 f (t) 为基础构造一周期为 T 的周期函数 fT(t), 令 T=4, 则
f 4 (t )
n
f (t 4n),
a0 an cos nt bn sin nt 2 n1

cos nt
8
e int e int e int e int , sin nt 2 2i
级数化为： e a0 an 2 n 1
int
e 2
int
bn
T 2 T 2
FT (n )
fT ( )ein d


f ( )ei d F ( ) T
由定积分定义 f (t ) 即 f (t ) 1 2
1 2



F ( )eit d （注：积分限对称）.
在(, )绝对可积是指的 | f (t ) | d t 收敛。