高数(上)第四章期末测验题

x

e3 1
x
2
dx 2 e 3 x d x
2 3 x 2 e d 3 x e3 3 3


x
C .
1 1 dx 1 1 1 sin dx sin 2 sin d cos C . x x x x x x dx d ln x 1 d(1 3ln x) 1 (4) ln 1 3ln x C . x(1 3ln x) 1 3ln x 3 1 3ln x 3
(A) 2 ln x ln 2 x C (C) x ln x ln 2 x C 二、 填空题.
(B) ln x ln 2 x C ln x (D) ln 2 x C x . . .
1. 设 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数，则 f (2 x 1)dx 2.设 f ( x)dx ln x x 2 1 C ，则 f ( x) 3. 设 f ( x) 的导函数为
1 ). , 且 f (1) 1 ，则 f ( x) ( x(1 2 ln x) 1 (A) ln(1 2 ln x) 1 (B) ln(1 2 ln x) 1 2 1 1 (C) ln(1 2 ln x) (D) 2 ln(1 2 ln x) 1 2 2 5.已知 f ( x) 的一个原函数是 ln 2 x ，则 xf ( x )dx ( ).
(C) 2e 2 x c ).
3. 在下列等式中，正确的结果是( d (A) f ( x)dx f ( x) dx (C) f ( x )dx f ( x ) 4. 已知 f ( x )
(B) d f ( x)dx f ( x) (D) df ( x) f ( x)
(2)
1 x ln(1 x 2 )dx 1 ln(1 x 2 )d(1 x 2 ) 1 ln(1 x 2 )d ln(1 x 2 ) ln 2 (1 x2 ) C . 2 1 x2 2 4 1 x 2 x 1 1 求 dx . x 解 令 x 1 t ，则 x 1 2t 2 d x x 1 t 2 dt 2t 2 arctan t C 2 x 1 2 arctan x 1 C . dx 2.求 . 3 x (1 x )
三、 当 x 0 时，有


·119·
.
2. 填空题. (1) 设 F ( x ) 是 f ( x) 的一个原函数，则 f (2 x 1)dx (2) (3) (4) .
d( x x
sin x
) dx
. . .
f (ln x ) f (ln x ) dx
1 sin x
x
3 3sin x dx ； 2. 2e x dx x
·118·
e x 4. e x 1 d x ； x cos 2 x 7. dx ; cos x sin x dx 10. ； x(1 3ln x)
5. 8.
2
1 sin 2 x cos 2 x 2 2 d x sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x dx (sec x csc x)dx tan x cot x C . 1 1 x2 x2 1 1 1 (4) 2 d x dx arctan x C . 2 2 x 2 (1 x 2 ) dx x (1 x 2 ) x 1 x x
2 3x 5 2 x dx ； 3x
6. 9.
sin 7
x
2
1 dx ； x cos 2 x
(arctan x) 2 dx ; 1 x2 x ln(1 x 2 )dx 11. ； 1 x2
e x dx .
12. 15.
1 dx ； x ln x ln ln x xdx
(1)
2 3x 5 2 x dx ； 3x
cos
cos 2 x dx ； 2 x sin 2 x
(1)
1 x
xdx
4
；
·121·
(2) 解 (2) (3)

e3
x
x
dx ；(3)
x
1
2
1 sin dx ；(4) x
x(1 3ln x) ；
dx
(1)
xdx 1 dx 2 1 2 1 x 4 2 1 ( x 2 )2 2 arctan x C .
1 1 x2


，则 f ( x )dx
ex 4. d dx . x 5. 已知 f (ln x ) 1 x ，则 f ( x)
.
3 2 3. dx ; 2 1 x2 1 x
三、求下列不定积分： 1.
2 x 1
13.
sin x cos x
3
sin x cos x 1 1 16. 2 sin dx ; x x sin x 19. dx ; x dx 22. 3 x (1 x )
dx ；
14.
； 4 x dx 1 17. ； 18. x dx ； x 1 e e e x arctan x 3x 4 3x 2 1 20. dx ； 21. dx ； x2 1 x (1 x) dx dx 23. ; 24. ; 4 3 x x 1 x 2 26.
(7)
解
可令 x t ，则 dx
6

x (1 x ) 1
3
6
t 2dt 6 6 6t 6 arctan t C 6 x 6 arctan x C . 1 t2 sin x x 3x
3 4
(4) (9)

3
2 3x 1
dx ；
(5)

dx ；
(6) (11)
31.
x ln xdx ； sec
3
arctan xdx ； e
3
34. e x sin xdx ; 37.
xdx ;
35. e x cos xdx ； 38.
x
ln x
x 2 1 dx ；

dx ；
f ( x) dx ln x 1 x 2 C ，求 xf ( x ) dx . x sin x 四、已知 f ( x) 的一个原函数是 ，求 x 3 f ( x ) dx . x
cos x
x2 , x ≤ 0 sin x 4. 已知 f ( x) ，求 . x sin x , x 0 sin x 5．已知 f ( x) 的一个原函数是 ，求 x 3 f ( x ) dx . x 1 2 x4 x2 3 1 (1) 2 x 3sin x dx ；(2) dx ； dx ；(3) 2 2 sin x cos 2 x x x 1 1 (4) 2 dx ； x (1 x 2 )
dx ；
(3)
tan
3
x sec xdx ；
1
(6) (3)
x2 9 dx ；(8) x

dx x x
4
. (5)
x cos xdx ；
(2)
x e dxΒιβλιοθήκη ；2 x x ln xdx ；
(4)
arctan xdx ；
；(5)
e
x
sin xdx .
例 4.3.2 求下列不定积分： ln x dx (1) 2 dx ；(3) 2 ；(4) x x 2 x 10 解 (1)
x(1 x
dx
7
)
x
2
x3 dx . 5x 6

ln x ln x dx ln x 1 1 dx ln xd 2 C . x2 x x x x x
(3) (4)
x
2
dx d( x 1) 1 x 1 arctan C. 2 2 2 x 10 ( x 1) 3 3 3 dx
x
(1) (5) 解 (2) (3) (5)
3 sin x cos xdx ；
dx (arctan x) 2 dx ； (3) 1 ex 1 x2 ； x ln(1 x 2 )dx 3 (7) . cos xdx ； 1 x2 1 (1) sin 3 x cos xdx sin 3 xd sin x sin 4 x C . 4 dx (1 e x ) e x d(1 e x ) x 1 e x 1 e x dx 1dx 1 e x x ln(1 e ) C . (arctan x) 2 dx 1 2 3 1 x 2 (arctan x) d arctan x 3 (arctan x) C . 1 3 3 2 2 cos xdx cos xd sin x (1 sin x)d sin x sin x 3sin x C .
第四章不定积分期末复习测验题
班级： 姓名： 学号：
). (D) x ln x ).
1 (D) e 2 x c 2
一、选择题： 1 设 f ( x) 的一个原函数为 ln x ，则 f ( x ) ( 1 1 (A) e x (B) (C) 2 x x 2 x 2. 设 f ( x) 的一个原函数为 e ，则 f ( x )dx ( (A) e 2 x c (B) 2e 2 x c
x dx ； ( x 1)( x 2)
e3
x
dx ；
1 x
1 dx ； x 2 (1 x 2 ) 2x 3 28. 2 dx ； x 3x 10
25.
27.
2 x4 x2 3 dx ; x2 1
29. xe x dx 32.
30. x 2 e x dx ； 33. arcsin xdx 36.
sin ax e

x b
dx ；
x ln x ln ln x dx ；(10) 1 x
dx ；
e
x
1 dx ； e x
(12) (4) (1)

sin x cos x
3
sin x cos x 1 2x dx ；
dx ； (1)

arctan x x (1 x)
解
(1)
2 x
1
x
2x 3sin x d x ln | x | 3cos x C . ln 2
(2) 2 x4 x2 3 4 2 2x 1 2 dx x 2 1 dx x 1
2 x 2 dx 1dx 4 1 2 dx x 3 x 4 arctan x C. x 1 3
ex 1 dx ； ex 1
3. 求下列不定积分： (1) (4) (2)
x
arctan x dx ； 2 (1 x 2 )
x
(3) (6)
(1 x)
ln x
2
dx ；
xe x (e x 1)3 dx ； (5)
1 cos x e dx ；
1 sin x
2sin x 3cos x dx .
(3)
(6) (9)
3x 4 3x 2 1 x 2 1 dx ；
(7)
x 3 2e dx ； (8) x
x x 7 e dx .
e x x e 1 d x ； x
3 2 dx ；(10) 2 1 x2 1 x cos 2 x (2) (4) dx ； cos x sin x