七年级数学 第3章 整式的加减 3.4 整式的加减 3.4.2 合并同类项 数学
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解：6x2－2mxy－2y2＋4xy－5x＋2＝6x2＋(4－2m)xy－2y2－5x＋2， ∵结果中不含 xy 项， ∴4－2m＝0，解得 m＝2， －m3－2m2－m＋1－m3－m＋2m2＋5＝－2m3－2m＋6， 当 m＝2 时，原式＝－2×8－2×2＋6＝－14.
13．对于代数式 2x2＋7xy＋3y2＋x2－kxy＋5y2，老师提出了两个问题，第一 个问题是：当 k 为何值时，代数式中不含 xy 项，第二个问题是：在第一问的前 提下，如果 x＝2，y＝－1，代数式的值是多少？
第3章 整式的加减
3.4 整式的加减 2.合并同类项
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
教学目标
学习指南
1．在具体情境中感受合并同类项的必要性，理解合并同类项法则所依据的运
算律；
2．了解合并同类项的法则，能进行同类项的合并．
情景问题引入
小明是个热心的孩子，暑假里他帮行动困难的住户买早点。小明对卖早点的
(2)合并同类项时，只能把同类项合并为一项，不是同类项的不能
合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上；
(3)只要不再有同类项，就是最后的结果，结果可能是单项式，也
可能是多项式.
归类探究
类型之一 合并同类项 合并同类项：
(1)3a＋2b－5a－b； (2)－4ab＋8－2b2－9ab－8.
解：(1)3a＋2b－5a－b ＝(3a－5a)＋(2b－b) ＝(3－5)a＋(2－1)b ＝－2a＋b； (2)－4ab＋8－2b2－9ab－8 ＝(－4ab－9ab)＋(8－8)－2b2 ＝(－4－9)ab－2b2 ＝－13ab－2b2. 【点悟】 合并同类项就是逆用乘法分配律，不能合并的项不要漏写．
解：3x4－2x3＋5x2＋kx3＋mx2＋4x＋5－7x＝3x4＋(k－2)x3＋(m＋5)x2－3x＋5， 由合并同类项后不含 x3 和 x2 项，得 k－2＝0，m＋5＝0， 解得 k＝2，m＝－5. mk＝(－5)2＝25.
12．已知多项式 6x2－2mxy－2y2＋4xy－5x＋2 中不含有 xy 项，求代数式－ m3－2m2－m＋1－m3－m＋2m2＋5 的值．
原式＝－12－2＝－52；
(2)3a＋abc－13c2－3a＋13c2 ＝(3－3)a＋abc＋－13＋31c2＝abc. 当 a＝－61，b＝2，c＝－3 时， 原式＝－16×2×(－3)＝1. 【点悟】 求多项式的值时，先化简再代入求值可以简化运算．
类型之三 多项式化简求值的实际应用 已知一块三角形菜地的三边长分别为 m＋n、2m－n－3、3n－m.
3．[2016·沈阳]三个连续整数中，n 是最大的一个，这三个数的和为__3n－3__．
4．[2017·东莞市校级期中]合并同类项： (1)3x2－1－2x－5＋3x－x2；
(2)23a2－21ab＋34a2＋ab－b2.
解：(1)3x2－1－2x－5＋3x－x2 ＝(3－1)x2－(2－3)x－(1＋5) ＝2x2＋x－6； (2)23a2－21ab＋34a2＋ab－b2
解：2x2y 与 3x2y 是同类项，2x2y＋3x2y＝5x2y.
分层作业
1．[2017·六盘水]下列式子正确的是( C )
A．7m＋8n＝8m＋7n B．7m＋8n＝15mn C．7m＋8n＝8n＋7m D．7m＋8n＝56mn
2．下列运算中，结果正确的是( D )
A．3a＋2b＝5ab B．5y－3y＝2 C．－3x＋5x＝－8x D．3x2y－2x2y＝x2y
＝23＋34a2＋－12＋1ab－b2
＝1172a2＋12ab－b2.
5．合并同类项： (1)3x2－1－2x－5＋3x－x2； (2)－0.8a2b－6ab－1.2a2b＋5ab＋a2b；
(3)4ab－31ac－7ab＋21ac； (4)3a2－b2＋4ab－2a2＋ab－2b2.
解：(1)原式＝(3x2－x2)＋(－2x＋3x)＋(－1－5) ＝2x2＋x－6； (2)原式＝(－0.8a2b－1.2a2b＋a2b)＋(－6ab＋5ab) ＝－a2b－ab；
(2)4ab－3a2－ab＋b2－3ab－2b2 ＝(4－1－3)ab＋(1－2)b2－3a2 ＝－b2－3a2. 当 a＝0.9，b＝－1 时， 原式＝－(－1)2－3×(0.9)2＝－3.43； (3)－23x＋31y－65x＋10
＝－32－56x＋31y＋10
＝－73x＋13y＋10.
10．有这样一道题：求多项式 y2－2xy＋y＋12×4xy 的值．其中 x＝10 000，y
(1)这块三角形菜地的周长是多少？ (2)当 m＝10 m，n＝8 m 时，这块三角形菜地的周长是多少？
解：(1)这块三角形菜地的周长为 m＋n＋2m－n－3ห้องสมุดไป่ตู้3n－m＝(1＋2－1)m＋(1 －1＋3)n－3＝2m＋3n－3.
(2)当 m＝10 m，n＝8 m 时， 2m＋3n－3＝2×10＋3×8－3＝41(m)． 答：这块三角形菜地的周长为 41 m
＝－1.粗心的小明把 x＝10 000 误看成 x＝1 000，做出的结果也是正确的，你能 说明其中的道理吗？
解：因为 y2－2xy＋y＋12×4xy ＝y2＋y＋(－2＋2)xy ＝y2＋y， 所以该多项式的值与 x 的大小无关．
11. [2017·高要市校级月考]如果关于 x 的代数式 3x4－2x3＋5x2＋kx3＋mx2＋4x ＋5－7x，合并同类项后不含 x3 和 x2 项，求 mk 的值．
类型之二 多项式的化简求值 (1)求多项式 2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2 的值，其中 x＝12；
(2)求多项式 3a＋abc－13c2－3a＋13c2 的值，其中 a＝－61，b＝2，c＝－3.
解：(1)2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2 ＝(2＋1－3)x2＋(－5＋4)x－2 ＝－x－2. 当 x＝21时，
4．[2017·绥化]下列运算正确的是( C ) A．3a＋2a＝5a2 B．3a＋3b＝3ab C．2a2bc－a2bc＝a2bc D．a5－a2＝a3 5．化简：4a2－3b2＋2ab－2a2＋4b2＝__2a2＋b2＋2_a_b． 6．在 2x2y，－2xy2，3x2y，－xy 四个代数式中，找到两个同类项，并合并同 类项．
(1)小明同学很快就完成了第一个问题，也请你把你的解答写在下面吧！ (2)在做第二个问题时，马小虎同学把 y＝－1，错看成 y＝1，可是他得到的 最后结果却是正确的，你知道这是为什么吗？
解：(1)因为 2x2＋7xy＋3y2＋x2－kxy＋5y2 ＝(2x2＋x2)＋(3y2＋5y2)＋(7xy－kxy) ＝3x2＋8y2＋(7－k)xy 所以只要 7－k＝0，这个代数式就不含 xy 项． 即 k＝7 时，代数式中不含 xy 项． (2)因为在第一问的前提下原代数式为 3x2＋8y2. 当 x＝2，y＝－1 时， 原式＝3x2＋8y2＝3×22＋8×(－1)2＝12＋8＝20. 当 x＝2，y＝1 时， 原式＝3x2＋8y2＝3×22＋8×12＝12＋8＝20. 所以马小虎的最后结果是正确的．
定 义：把多项式中的_同_ 类项合并成一项_，叫做合并同类项．
法 则：把同类项的__系数__相加，所得的结果作为系数，字母和字母的__
_指_ 数 保持不变．
说 明：合并同类项实际上就是根据加法交换律、结合律及乘法分配律，
把各同类项的系数加以合并．
注 意：(1)如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后结果为 0；
老板说：“王奶奶要一袋牛奶，4 个包子，2 根油条；李大爷家要 4 个包子，2 袋
牛奶，2 根油条；张二婶家要 3 根油条，3 袋牛奶，5 个包子；赵婆婆家要 2 个包
子，一袋牛奶。”老板说：“你烦不烦？”老板为什么烦？小明应该怎么说？
生活中处处有分类的存在，那在数学中也有分类吗？
合并同类项
知识管理
9．求下列各式的值： (1)3x－4x2＋7－3x＋2x2＋6，其中 x＝2； (2)4ab－3a2－ab＋b2－3ab－2b2，其中 a＝0.9，b＝－1；
(3)－23x＋31y－65x＋10，其中 x＝8，y＝9. 当 x＝8，y＝9 时，
原式＝－73×8＋31×9＋10＝－137. 解：(1)3x－4x2＋7－3x＋2x2＋6 ＝(3－3)x＋(－4＋2)x2＋(7＋6) ＝－2x2＋13. 当 x＝2 时，原式＝－2×22＋13＝5；
(3)原式＝(4ab－7ab)＋－13ac＋12ac
＝－3ab＋61ac； (4)原式＝(3a2－2a2)＋(－b2－2b2)＋(4ab＋ab) ＝a2－3b2＋5ab.
6．当 a＝－5 时，多项式 a2＋2a－2a2－a＋a2－1 的值为( B )
A．29 B．－6 C．14 D．24 【解析】 原式＝a－1.当 a＝－5 时，原式＝－5－1＝－6.
7．把 a－b 看成一个整体，合并同类项[对于(a－b)n，当正整数 n＞1 时，可 以不展开]：
(1)9(a－b)2－1－2(a－b)2＋5； (2)(a－b)3－3a＋2(a－b)3＋5a； (3)4(3a－b)－(3a－b)＋5(b－3a)＋2(b－3a)． 解：(1)原式＝(9－2)(a－b)2＋(－1＋5)＝7(a－b)2＋4； (2)原式＝(1＋2)(a－b)3＋(－3＋5)a＝3(a－b)3＋2a； (3)原式＝4(3a－b)－(3a－b)－5(3a－b)－2(3a－b)， ＝(4－1－5－2)(3a－b)， ＝－4(3a－b)， ＝－12a＋4b.
当堂测评
1．[2018·武汉]计算 3x2－x2 的结果是( B ) A．2 B．2x2 C．2x D．4x2 2．[2016·舟山]计算 2a2＋a2，结果正确的是( D ) A．2a4 B．2a2 C．3a4 D．3a2
3．下列等式正确的是( D )
A．3a＋2a＝5 B．3a－2a＝1
C．－3a－2a＝5a D．－3a＋2a＝－a
8．合并同类项： (1)2(x－2y)2－7(x－2y)3＋3(2y－x)2－(2y－x)3； (2)5(a＋b)2－(a＋b)＋2(a＋b)2＋2(a＋b)． 解：(1)原式＝2(x－2y)2－7(x－2y)3＋3(x－2y)2＋(x－2y)3 ＝(2＋3)(x－2y)2＋(－7＋1)(x－2y)3 ＝5(x－2y)2－6(x－2y)3； (2)原式＝(5＋2)(a＋b)2＋(－1＋2)(a＋b) ＝7(a＋b)2＋a＋b.
13．对于代数式 2x2＋7xy＋3y2＋x2－kxy＋5y2，老师提出了两个问题，第一 个问题是：当 k 为何值时，代数式中不含 xy 项，第二个问题是：在第一问的前 提下，如果 x＝2，y＝－1，代数式的值是多少？
第3章 整式的加减
3.4 整式的加减 2.合并同类项
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
教学目标
学习指南
1．在具体情境中感受合并同类项的必要性，理解合并同类项法则所依据的运
算律；
2．了解合并同类项的法则，能进行同类项的合并．
情景问题引入
小明是个热心的孩子，暑假里他帮行动困难的住户买早点。小明对卖早点的
(2)合并同类项时，只能把同类项合并为一项，不是同类项的不能
合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上；
(3)只要不再有同类项，就是最后的结果，结果可能是单项式，也
可能是多项式.
归类探究
类型之一 合并同类项 合并同类项：
(1)3a＋2b－5a－b； (2)－4ab＋8－2b2－9ab－8.
解：(1)3a＋2b－5a－b ＝(3a－5a)＋(2b－b) ＝(3－5)a＋(2－1)b ＝－2a＋b； (2)－4ab＋8－2b2－9ab－8 ＝(－4ab－9ab)＋(8－8)－2b2 ＝(－4－9)ab－2b2 ＝－13ab－2b2. 【点悟】 合并同类项就是逆用乘法分配律，不能合并的项不要漏写．
解：3x4－2x3＋5x2＋kx3＋mx2＋4x＋5－7x＝3x4＋(k－2)x3＋(m＋5)x2－3x＋5， 由合并同类项后不含 x3 和 x2 项，得 k－2＝0，m＋5＝0， 解得 k＝2，m＝－5. mk＝(－5)2＝25.
12．已知多项式 6x2－2mxy－2y2＋4xy－5x＋2 中不含有 xy 项，求代数式－ m3－2m2－m＋1－m3－m＋2m2＋5 的值．
原式＝－12－2＝－52；
(2)3a＋abc－13c2－3a＋13c2 ＝(3－3)a＋abc＋－13＋31c2＝abc. 当 a＝－61，b＝2，c＝－3 时， 原式＝－16×2×(－3)＝1. 【点悟】 求多项式的值时，先化简再代入求值可以简化运算．
类型之三 多项式化简求值的实际应用 已知一块三角形菜地的三边长分别为 m＋n、2m－n－3、3n－m.
3．[2016·沈阳]三个连续整数中，n 是最大的一个，这三个数的和为__3n－3__．
4．[2017·东莞市校级期中]合并同类项： (1)3x2－1－2x－5＋3x－x2；
(2)23a2－21ab＋34a2＋ab－b2.
解：(1)3x2－1－2x－5＋3x－x2 ＝(3－1)x2－(2－3)x－(1＋5) ＝2x2＋x－6； (2)23a2－21ab＋34a2＋ab－b2
解：2x2y 与 3x2y 是同类项，2x2y＋3x2y＝5x2y.
分层作业
1．[2017·六盘水]下列式子正确的是( C )
A．7m＋8n＝8m＋7n B．7m＋8n＝15mn C．7m＋8n＝8n＋7m D．7m＋8n＝56mn
2．下列运算中，结果正确的是( D )
A．3a＋2b＝5ab B．5y－3y＝2 C．－3x＋5x＝－8x D．3x2y－2x2y＝x2y
＝23＋34a2＋－12＋1ab－b2
＝1172a2＋12ab－b2.
5．合并同类项： (1)3x2－1－2x－5＋3x－x2； (2)－0.8a2b－6ab－1.2a2b＋5ab＋a2b；
(3)4ab－31ac－7ab＋21ac； (4)3a2－b2＋4ab－2a2＋ab－2b2.
解：(1)原式＝(3x2－x2)＋(－2x＋3x)＋(－1－5) ＝2x2＋x－6； (2)原式＝(－0.8a2b－1.2a2b＋a2b)＋(－6ab＋5ab) ＝－a2b－ab；
(2)4ab－3a2－ab＋b2－3ab－2b2 ＝(4－1－3)ab＋(1－2)b2－3a2 ＝－b2－3a2. 当 a＝0.9，b＝－1 时， 原式＝－(－1)2－3×(0.9)2＝－3.43； (3)－23x＋31y－65x＋10
＝－32－56x＋31y＋10
＝－73x＋13y＋10.
10．有这样一道题：求多项式 y2－2xy＋y＋12×4xy 的值．其中 x＝10 000，y
(1)这块三角形菜地的周长是多少？ (2)当 m＝10 m，n＝8 m 时，这块三角形菜地的周长是多少？
解：(1)这块三角形菜地的周长为 m＋n＋2m－n－3ห้องสมุดไป่ตู้3n－m＝(1＋2－1)m＋(1 －1＋3)n－3＝2m＋3n－3.
(2)当 m＝10 m，n＝8 m 时， 2m＋3n－3＝2×10＋3×8－3＝41(m)． 答：这块三角形菜地的周长为 41 m
＝－1.粗心的小明把 x＝10 000 误看成 x＝1 000，做出的结果也是正确的，你能 说明其中的道理吗？
解：因为 y2－2xy＋y＋12×4xy ＝y2＋y＋(－2＋2)xy ＝y2＋y， 所以该多项式的值与 x 的大小无关．
11. [2017·高要市校级月考]如果关于 x 的代数式 3x4－2x3＋5x2＋kx3＋mx2＋4x ＋5－7x，合并同类项后不含 x3 和 x2 项，求 mk 的值．
类型之二 多项式的化简求值 (1)求多项式 2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2 的值，其中 x＝12；
(2)求多项式 3a＋abc－13c2－3a＋13c2 的值，其中 a＝－61，b＝2，c＝－3.
解：(1)2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2 ＝(2＋1－3)x2＋(－5＋4)x－2 ＝－x－2. 当 x＝21时，
4．[2017·绥化]下列运算正确的是( C ) A．3a＋2a＝5a2 B．3a＋3b＝3ab C．2a2bc－a2bc＝a2bc D．a5－a2＝a3 5．化简：4a2－3b2＋2ab－2a2＋4b2＝__2a2＋b2＋2_a_b． 6．在 2x2y，－2xy2，3x2y，－xy 四个代数式中，找到两个同类项，并合并同 类项．
(1)小明同学很快就完成了第一个问题，也请你把你的解答写在下面吧！ (2)在做第二个问题时，马小虎同学把 y＝－1，错看成 y＝1，可是他得到的 最后结果却是正确的，你知道这是为什么吗？
解：(1)因为 2x2＋7xy＋3y2＋x2－kxy＋5y2 ＝(2x2＋x2)＋(3y2＋5y2)＋(7xy－kxy) ＝3x2＋8y2＋(7－k)xy 所以只要 7－k＝0，这个代数式就不含 xy 项． 即 k＝7 时，代数式中不含 xy 项． (2)因为在第一问的前提下原代数式为 3x2＋8y2. 当 x＝2，y＝－1 时， 原式＝3x2＋8y2＝3×22＋8×(－1)2＝12＋8＝20. 当 x＝2，y＝1 时， 原式＝3x2＋8y2＝3×22＋8×12＝12＋8＝20. 所以马小虎的最后结果是正确的．
定 义：把多项式中的_同_ 类项合并成一项_，叫做合并同类项．
法 则：把同类项的__系数__相加，所得的结果作为系数，字母和字母的__
_指_ 数 保持不变．
说 明：合并同类项实际上就是根据加法交换律、结合律及乘法分配律，
把各同类项的系数加以合并．
注 意：(1)如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后结果为 0；
老板说：“王奶奶要一袋牛奶，4 个包子，2 根油条；李大爷家要 4 个包子，2 袋
牛奶，2 根油条；张二婶家要 3 根油条，3 袋牛奶，5 个包子；赵婆婆家要 2 个包
子，一袋牛奶。”老板说：“你烦不烦？”老板为什么烦？小明应该怎么说？
生活中处处有分类的存在，那在数学中也有分类吗？
合并同类项
知识管理
9．求下列各式的值： (1)3x－4x2＋7－3x＋2x2＋6，其中 x＝2； (2)4ab－3a2－ab＋b2－3ab－2b2，其中 a＝0.9，b＝－1；
(3)－23x＋31y－65x＋10，其中 x＝8，y＝9. 当 x＝8，y＝9 时，
原式＝－73×8＋31×9＋10＝－137. 解：(1)3x－4x2＋7－3x＋2x2＋6 ＝(3－3)x＋(－4＋2)x2＋(7＋6) ＝－2x2＋13. 当 x＝2 时，原式＝－2×22＋13＝5；
(3)原式＝(4ab－7ab)＋－13ac＋12ac
＝－3ab＋61ac； (4)原式＝(3a2－2a2)＋(－b2－2b2)＋(4ab＋ab) ＝a2－3b2＋5ab.
6．当 a＝－5 时，多项式 a2＋2a－2a2－a＋a2－1 的值为( B )
A．29 B．－6 C．14 D．24 【解析】 原式＝a－1.当 a＝－5 时，原式＝－5－1＝－6.
7．把 a－b 看成一个整体，合并同类项[对于(a－b)n，当正整数 n＞1 时，可 以不展开]：
(1)9(a－b)2－1－2(a－b)2＋5； (2)(a－b)3－3a＋2(a－b)3＋5a； (3)4(3a－b)－(3a－b)＋5(b－3a)＋2(b－3a)． 解：(1)原式＝(9－2)(a－b)2＋(－1＋5)＝7(a－b)2＋4； (2)原式＝(1＋2)(a－b)3＋(－3＋5)a＝3(a－b)3＋2a； (3)原式＝4(3a－b)－(3a－b)－5(3a－b)－2(3a－b)， ＝(4－1－5－2)(3a－b)， ＝－4(3a－b)， ＝－12a＋4b.
当堂测评
1．[2018·武汉]计算 3x2－x2 的结果是( B ) A．2 B．2x2 C．2x D．4x2 2．[2016·舟山]计算 2a2＋a2，结果正确的是( D ) A．2a4 B．2a2 C．3a4 D．3a2
3．下列等式正确的是( D )
A．3a＋2a＝5 B．3a－2a＝1
C．－3a－2a＝5a D．－3a＋2a＝－a
8．合并同类项： (1)2(x－2y)2－7(x－2y)3＋3(2y－x)2－(2y－x)3； (2)5(a＋b)2－(a＋b)＋2(a＋b)2＋2(a＋b)． 解：(1)原式＝2(x－2y)2－7(x－2y)3＋3(x－2y)2＋(x－2y)3 ＝(2＋3)(x－2y)2＋(－7＋1)(x－2y)3 ＝5(x－2y)2－6(x－2y)3； (2)原式＝(5＋2)(a＋b)2＋(－1＋2)(a＋b) ＝7(a＋b)2＋a＋b.