贵州大学2018至2019学年第一学期考试线性代数1试卷A

贵州大学2018至2019学年第一学期考试线性代数1试卷A
题 号 一 二
三
四
总 分 统分人 得 分
一、填空题（共20分,每空2分）
1.三阶行列式。

2. 设，则 ，。

3. 。

4．设，则的伴随矩阵的行列式。

5．元线性方程组
有解的充要条件是。

（填
或=）
6．若向量组
线性相关，则向量组。

（填线性相
关或线性无关）
得 分
评分人
7．若向量组线性无关，则。

8．已知矩阵为行列矩阵，若，则齐次线性方程组的一个
基础解系中
有 个向量。

9．设三阶矩阵
的特征值为
，则行列式。

二、判断题：判断下列说法是否正确，若正确简述理由，若不正确请举反例。

（共20分,每小题5分） 1．设
为方阵，若
，则
或。

答： 2．若向量组可以由向量组
线性表出，则向量组
可由向量组
线性表出。

答： 3．若只有
时才有
，则向量组
和向量组
都是线性无关的。

答： 4．设是方阵的一个特征值，则
为
的特征值。

答： 三、计算题（共50分,其中第1，2小题每小题8分，第3小题10分，第4，5小题每小题12分）
1.计算4阶行列式。

2. 问取何值时，齐次线性方程组有非零解？
得 分
评分人
得 分
评分人
3. 设矩阵，，求，使得。

4．求非齐次线性方程组的一个解及其对应的齐次线性方程组的通解，并写出此非齐次线性方程组的通解。

5．求矩阵的特征值和特征向量。

四、证明题（共10分）
已知向量组
线性无关，
，证明向量组
线性无关。

得 分
评分人
贵州大学2018-2019学年第一学期考试试卷 A
线性代数1
参考答案及评分标准
一、填空题（共20分,每空2分）
1．0 2. 13，3．
4. 4
5. =
6. 线性相
关7. 8. 9.
18
二、判断题：判断下列说法是否正确，若正确简述理由，若不正确请举反例。

（共20分,每小题5分）
1.答：不正确。

………………………………………………………………（2分）
反例：取，。

…………………………………………（5分）注：反例不唯一，只要能说明结论即可。

下同。

2.答：不正确。

.................................................（2分）
反例：取向量组，向量组，显然向量组可以由向量组线性表出，但是向量组不能由向量组线性表出。

……………………………………（5分）3．答：不正确。

………………………………………………………………（2分）
反例：取向量组，向量组，只有
时才有，但是线性无关和向量组线性相
关。

（5分）
4．答：正确。

…………………………………………………………………（2分）
因为是方阵的一个特征值，故有向量使得。

…………（3分）
于是。

所以为的特征值。

……………………………………………………….（5分）
三、计算题（共50分,其中第1，2小题每小题8分，第3小题10分，第4，5小题每小题12分）
1. 解：=………………………………（4分）
…………………………（8分）2. 解：此齐次线性方程组的系数行列式。

………………………………（4分）当，齐次线性方程组有非零解，故。

………………………（8分）3. 解：
，………………（5分）故可逆，所以为所求。

…………………………（10分）4．解：增广矩阵，所以。

故非齐次方程组有无穷多解，且。

………（5分）取为自由未知量。

当时，可得到非齐次线性方程组的一个解。

………………（7分）当时，得对应的齐次线性方程组的一个基础解系为，其通解为
（）............ ...........（10分）
所以此非齐次线性方程组的通解为
（）。

........................（12分）5．解：的特征多项式为。

所以的特征值为。

…………………………………………..(6分)
当时，由得方程基础解系。

所以（）是对应于的全部特征向量。

………….（8分）
当时，由
得方程基础解系。

所以（）是对应于的全部特征向量。

…………（10分）当时，由
得方程基础解系。

所以（）是对应于的全部特征向量。

……………（12分）四、证明题（共10分）
证明：由，有。

…………………………………………（4分）记。

则，所以可逆。

从而……………………………………………（8分）又由向量组线性无关，即，所以。

线性无关......................... ...................（10分）。