河南中考数学考点突破 20_第二节 矩形、菱形、正方形

性质 判定 面积计算
1.既有矩形的性质,又有菱形的性质; 2.边:对边平行,四边都 相等 ; 3.角:四个角都是 直角 ; 4.对角线:对角线互相 垂直平分 且相等,每条对角线平分一组对 角; 5.正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有 4 条对称轴
1.有一组 邻边 相等,并且有一个角是 直角 的平行四边形
∴AF=AD=AB=6,EF=ED=2,∠AFE=∠D=90°,
在Rt△ABG和Rt△AFG中,

AG AB

AG, AF ,
∴△ABG≌△AFG(HL).故①正确.
由①可知BG=FG.
又∵DE=EF,∴EG=EF+FG=DE+BG.故③正确.
设BG=x,则GF=x,GC=BC-BG=6-x,EG=DE+BG=x+2.
S=⑧ ab (a、b分别表示矩形的长和宽)
考点二 菱形的定义、性质和判定(高频考点)
定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
图形
性质
判定 面积计算
1.具有平行四边形的所有性质; 2.边:对边平行,四边都⑨ 相等 ; 3.角:对角⑩ 相等 ; 4.对角线:对角线互相 垂直平分 ,每条对角线 角; 5.既是中心对称图形,又是轴对称图形,它有 2
命题点二 菱形的性质与判定的综合应用
例2 (2017河南郑州一模)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB= 60°,点E是AD边的中点.点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长 ME交射线CD于点N,连接MD、AN. (1)求证:四边形AMDN是平行四边形; (2)填空:①当AM的值为 1 时,四边形AMDN是矩形; ②当AM的值为 2 时,四边形AMDN是菱形.
2-1 (2017湖北襄阳)如图,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于点C, BD平分∠ABF,且交AE于点D,连接CD. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若∠ADB=30°,BD=6,求AD的长.
解析 (1)证明:∵AE∥BF, ∴∠ADB=∠CBD. ∵BD平分∠ABF, ∴∠ABD=∠CBD, ∴∠ABD=∠ADB, ∴AB=AD, 同理可得AB=BC. ∴AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=AD,
平分 一组对 条对称轴
1.有一组 邻边 相等的 平行四边形 是菱形;
2. 四条 边都相等的四边形1是菱形;
2
3.对角线 互相垂直平分 的四边形是菱形
S= ab (a、b表示对角线的长)
考点三
定义 图形
正方形的定义、性质和判定(高频考点)
有一个角是直角,一组邻边相等的平行四边形叫做正方形
其中正确结论的个数是 ( D )
A.2
B.3
C.4
D.5
思路导引 ①首先根据正方形和折叠的性质,寻求△ABG≌△ AFG的条件;②利用全等三角形的性质和勾股定理列方程可求;③ 利用△ABG≌△AFG和折叠的性质综合分析易知;④利用等腰三 角形的判定和性质、全等三角形的性质、三角形外角的性质进 行等角代换,然后根据平行线的判定可得;⑤利用相似三角形的判 定和性质求得FH的长,再由S△FGC=S△GCE-S△FEC即可得结果. 答案 D ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠B=∠D=90°,AB=AD=CD=BC=6, 又∵CE=2DE,∴DE=2,EC=4. ∵△ADE沿AE折叠得到△AFE,
思路导引
(1)
(2)
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD,∠BAD=∠D=90°, 又∵AE=DF, ∴△ABE≌△DAF. (2)由(1)的结论可得∠ABE=∠DAF, ∵∠DAF+∠BAO=90°, ∴∠ABE+∠BAO=90°, ∴∠AOB=90°=∠EAB, 又∵∠ABO=∠ABE, ∴△BOA∽△BAE,
∴ 3 = x ,即x= 3 5 .
51
5
综上所述,BE的长为 3 2 或 3 5 .
2
5
1-1 (2018四川成都)如图,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:①分
别以点A和C为圆心,大于 1 AC的长为半径作弧,两弧相交于点M
2
和N;②作直线MN交CD于点E.若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC
图形
性质 判定 面积计算
1.具有平行四边形的所有性质; 2.边:对边① 平行 且相等; 3.角:四个角都是② 直角 ; 4.对角线:对角线互相平分,且③ 相等 ; 5.既是中心对称图形,又是轴对称图形,它有④ 2 条对称轴
1.有一个角是直角的⑤ 平行四边形 是矩形; 2.有三个角是⑥ 直角 的四边形是矩形; 3.对角线⑦ 相等 的平行四边形是矩形
的长为 30 .
答案 30 解析 连接AE,如图. 由作图可知MN是AC的垂直平分线.
∴AE=CE=3. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠D=90°,
∴在Rt△ADE中,AD= AE2 DE2 = 33 22 = 5, ∴在Rt△ADC中,AC= AD2 CD2 = ( 5)2 52 = 30 .
∴ FH = EF = EF = 2 = 2 ,
GC EG EF FG 2 3 5
∴FH= 2 GC= 6 .
55
∴S△FGC=S△GCE-S△FEC= 12 ×3×4- 12 × 65 ×4= 158 =3.6.
故⑤正确.
综上所述,正确的结论共有5个.故选D.
例3-2 (2018河南检测)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,CD边 上的点,BE和AF交于点O,且AE=DF. (1)求证:△ABE≌△DAF; (2)若BO=4,OE=2,求正方形ABCD的面积.
菱形,因为∠DAB=60°和四边形ABCD是菱形,所以根据直角三角
形的性质和菱形的性质易知AM的值.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴ND∥AM, ∴∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME. 又∵点E是AD边的中点,∴DE=AE. ∴△NDE≌△MAE,∴ND=MA. ∴四边形AMDN是平行四边形. (2)①1;②2.
在Rt△ECG中,根据勾股定理可得,GC2+EC2=EG2,即(6-x)2+42=(x+
2)2,解得x=3.
∴BG=GF=3,∴GC=6-3=3,∴BG=GC.故②正确.
∵GF=GC=3,∴△FGC是等腰三角形,∠GFC=∠GCF. ∵△ABG≌△AFG,∴∠AGB=∠AGF. ∵∠BGF=∠GFC+∠GCF=∠AGB+∠AGF, ∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF, ∴AG∥CF.故④正确. 过点F作FH⊥DC于点H. ∵BC⊥DC,∴FH∥GC. ∴∠FHE=∠GCE,∠EFH=∠FGC. ∴△EFH∽△EGC.
命题点三 正方形的性质与其他知识的综合应用
例3-1 (2017河南模拟(一))如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边 CD上,且CE=2DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于 点G,连接AG、CF.下列结论: ①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③EG=DE+BG;④AG∥CF;⑤S△FGC =3.6.
1-2 (2018河南许昌一模)如图,矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5,点 P是BC边上的动点,现将纸片折叠使点A与点P重合,折痕与矩形 边的交点分别为E,F,要使折痕始终与边AB,AD有交点,则BP的取 值范围是 1≤BP≤3 .
答案 1≤BP≤3
解析 如图①,当F、D重合时,BP的值最小, 由折叠的性质知,AF=PF=5, 在Rt△PFC中,PF=5,FC=3,则PC=4, ∴BP=1. 如图②,当E、B重合时,BP的值最大, 由折叠的性质得BP=AB=3. 所以BP的取值范围是1≤BP≤3.
思路导引 (1)根据菱形的性质和点E是AD边的中点,证明△
NDE≌△MAE,得到DN=MA,再利用平行四边形的判定定理证明
结论;
(2)①借助图形和题中已知条件,若要四边形AMDN是矩形,则∠
MDA=30°,于是AM= 1 AD,根据菱形的性质易知AM= 1 AB,从而得
2
2

出答案.②根据菱形的判定定理,可知只要AD⊥MN,▱AMDN即为
命题点一 矩形的有关计算(高频热点题型)
例1-1 (2018河南开封一模)如图,点O是矩形ABCD的对角线AC
的中点,OM∥AB交AD于点M,若OM=3,BC=10,则OB的长为 ( D )
A.5 B.4 思路导引
C. 34 2
D. 34
答案 D ∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点,OM∥AB,BC=1 0, ∴∠ABC=∠D=90°,AD=BC=10,OM是△ADC的中位线, ∵OM=3,∴CD=2OM=6. ∴在Rt△ADC中,AC= AD2 CD2 = 102 62 =2 34 ,
∴在Rt△ABC中,OB= 1 AC= 34 .故选D.
2
例1-2 (2016河南,15,3分)如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3.点E 为射线BC上一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B' 处,过点B'作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B'为线段MN
3 2 3 5
又∵∠AMB'=∠ENB'=90°,
∴△AMB'∽△B'NE,∴ AB' = B ' E .
AM B ' N
设B'E=BE=x.
①当B'M=1时,B'N=2,在Rt△AMB'中,AM= B ' A2 B 'M 2 = 32 12 =2
2 ,∴ 2 32 = 2x ,即x= 3 22 ;
②当B'M=2时,B'N=1,同理得AM= 5 ,
是正方形;
2.有一组邻边相等的 矩形 是正方形;
3.有一个角是直角的 菱形 是正方形;
4.对角线 互相垂直且相等 的平行四边形是正方形
S=
a2
(a表示边长)=
1 2
m2
(m表示对角线的长)
温馨提示 一般四边形、平行四边形、矩形、菱形和正方形 之间的关系:
命题探究
命题点一 矩形的有关计算（高频热点题型） 命题点二 菱形的性质与判定的综合应用 命题点三 正方形的性质与其他知识的综合应用
第二节 矩形、菱形、正方形
总纲目录
考情分析 考点研读 命题探究 随堂检测
考情分析
考点研读
考点一 矩形的定义、性质和判定（高频考点） 考点二 菱形的定义、性质和判定（高频考点） 考点三 正方形的定义、性质和判定（高频考点）
考点一 矩形的定义、性质和判定(高频考点)
定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
超级总结 方法技巧 对于矩形的有关计算问题,要熟练掌握矩形的性质,结 合三角形全等、三角形相似等知识及方程思想求解.注意在解决 矩形中的折叠问题时,折叠前后图形全等,对应边、对应角、对应 线段、周长、面积等均相等,折叠前后对应点的连线被折痕所在 的直线垂直平分,找出折叠前后隐含的位置关系和数量关系通常 是解题的突破口.
∴∠AMN=∠ABC=∠MNB=90°,
∴四边形ABNM为矩形,
∴MN=AB=3.∵B'为线段MN的三等分点,∴B'M=1或2.
∵由折叠的性质可知∠AB'E=∠ABC=90°,AB=AB'=3,BE=B'E,
∴∠AB'M+∠EB'N=90°.
∵∠EB'N+∠B'EN=90°,∴∠AB'M=∠B'EN.
的三等分点时,BE的长为 2 或 5 .
思路导引 由已知易证四边形ABNM是矩形,再根据折叠的性质和 相似三角形的判定定理判定△AMB'∽△B'NE,然后根据动点 E的不同位置,分类讨论,利用相似三角形的性质,列出比例式求 解.
答案 3 2 或 3 5
2
5
解析 ∵AD∥BC,AB⊥BC,MN⊥AD,
∴四边形ABCD是菱形. (2)∵四边形ABCD是菱形,BD=6,
∴AC⊥BD,OD=OB= 1 BD=3.
2
∵在Rt△AOD中,∠ADB=30°,
∴cos∠ADB= OD = 3 , AD 2
∴AD= 2OD = 23 =2 3.
33
超级总结 方法技巧 解答有关菱形的性质与判定的综合应用题时,常用的 策略: (1)依据菱形的性质和题中其他已知条件明确本题的证明方向; (2)利用所学知识(如证明三角形全等、直角三角形、等边三角形 等),寻找结论成立所需的条件,即可进行判定; (3)对与菱形有关的综合探究题,要注意巧用其对角线构造直角三 角形,再利用直角三角形的性质等相关知识综合分析转化解决.