2018-2019学年湖北省十堰市九年级(上)期中数学试卷

2018-2019学年湖北省十堰市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，本大题满分30分.每一道小题有A、B、C、D的四
个选项，其中有且只有一个选项最符合题目要求）
1．二次函数y＝x2﹣2x+2的顶点坐标是（）
A．（1，1）B．（2，2）C．（1，2）D．（1，3）
2．平面直角坐标系内与点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣3）3．已知抛物线C的解析式为y＝ax2+bx+c，则下列说法中错误的是（）A．a确定抛物线的开口方向与大小
B．若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变
C．若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变
D．若将抛物线C沿直线l：y＝x+2平移，则a、b、c的值全变
4．如图，B，C是⊙O上两点，且∠α＝96°，A是⊙O上一个动点（不与B，C重合），则∠A为（）
A．48°B．132°C．48°或132°D．96°
5．如图，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（）
A．2.3B．2.4C．2.5D．2.6
6．如图．将半径为6cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O．则折痕AB的长为（）
A．6cm B．3cm C．6cm D．6cm
7．若二次函数y＝mx2﹣4x+m有最大值﹣3，则m等于（）
A．m＝4B．m＝﹣1C．m＝1D．m＝﹣4
8．在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点A（0，1）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为（）
A．（﹣1，﹣2）B．（3，﹣2）C．（1，3）D．（1，4）
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，将△ACB绕点A逆时针旋转60°得到△AC′B′，则CB′的长为（）
A．+B．1+C．3D．+
10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，3），（x1，0），其中，2＜x1＜3，对称轴为x＝1，则下列结论：①2a﹣b＝0；②x（ax+b）≤a+b；③方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1'＝0，x2'＝2；④﹣3＜a＜﹣1．其中正确的是（）
A．②③④B．①②③C．②④D．②③
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知二次函数y＝ax2+4ax+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是．
12．抛物线的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是．
13．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1＝20°，则∠B＝度．
14．如图，C是⊙O的弦BA延长线上一点，已知∠COB＝130°，∠C＝20°，OB＝2，则AB的长为．
15．如图，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半
＝cm2．圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，则S
梯形ABCE
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，E，F分别在边AC，BC，若以EF为直径作圆经过AB上某点D，则EF长的取值范围为．
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（5分）已知抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），与y轴的交点是（0，﹣3），求这个二次函数的解析式．
18．（8分）△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形；
（2）若⊙M能盖住△ABC，则⊙M的半径最小值为．
19．（7分）河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥（如图1），水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m，因降暴雨水面上升1m．
（1）建立适当的坐标系，并求暴雨后水面的宽；
（2）一艘装满物资的小船，露出水面部分高为0.5m、宽4m（横断面如图2所示），暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？
（注：结果保留根号．）
20．（7分）已知y关于x二次函数y＝x2﹣（2k+1）x+（k2+5k+9）与x轴有交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+（k2+5k+9）＝0的两个实数根，且x12+x22＝39，求k的值．
21．（7分）如图，台风中心位于点A，并沿东北方向AC移动，已知台风移动的速度为50千米/时，受影响区域的半径为130千米，B市位于点A的北偏东75°方向上，距离A点240千米处．
（1）说明本次台风会影响B市；
（2）求这次台风影响B市的时间．
22．（8分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价为x元（x为整数）．
（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数解析式．
（2）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？
23．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且＝，CE ⊥DA交DA的延长线于点E．
（1）求证：∠CAB＝∠CAE；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若AE＝1，BD＝4，求⊙O的半径长．
24．（10分）如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在CB，CA 上，且CD＝CE，连AD，BE，F为AD的中点，连CF．
（1）求证：CF＝BE，且CF⊥BE；
（2）将△CDE绕点C顺时针旋转一个锐角（如图2），其它条件不变，此时（1）中的结论是否仍成立？并证明你的结论．
25．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝OA．
（1）求抛物线解析式；
（2）过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AC交于点N．已知M点的横坐标为m，试用含m的式子表示MN的长及△ACM的面积S，并求当MN的长最大时S的值；
（3）如图2，D（0，﹣2），连接BD，将△OBD绕平面内的某点（记为P）逆时针旋转180°得到△O′B′D′，O、B、D的对应点分别为O′、B′、D′．若点B′、D′两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标．
2018-2019学年湖北省十堰市丹江口市九年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，本大题满分30分.每一道小题有A、B、C、D的四
个选项，其中有且只有一个选项最符合题目要求）
1．二次函数y＝x2﹣2x+2的顶点坐标是（）
A．（1，1）B．（2，2）C．（1，2）D．（1，3）
【分析】根据顶点坐标公式，可得答案．
【解答】解：y＝x2﹣2x+2的顶点横坐标是﹣＝1，纵坐标是＝1，
y＝x2﹣2x+2的顶点坐标是（1，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标是（﹣，）．2．平面直角坐标系内与点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣3）【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【解答】解：由题意，得
点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3），
故选：C．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．已知抛物线C的解析式为y＝ax2+bx+c，则下列说法中错误的是（）A．a确定抛物线的开口方向与大小
B．若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变
C．若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变
D．若将抛物线C沿直线l：y＝x+2平移，则a、b、c的值全变
【分析】利用二次函数的性质对A进行判断；利用抛物线的性质和抛物线的平移规律对B、
C、D进行判断．
【解答】解：A、a确定抛物线的开口方向与大小，所以A选项的说法正确；
B、若将抛物线C沿y轴平移，则抛物线的对称轴不变，开口大小、开口方向不变，所以a，
b的值不变，所以B选项的说法正确；
C、若将抛物线C沿x轴平移，抛物线的开口大小、开口方向不变，即a的值不变，所以C
选项的说法正确；
D、若将抛物线C沿直线l：y＝x+2平移，则a不变，b、c的值改变，所以D选项的说法不
正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．
4．如图，B，C是⊙O上两点，且∠α＝96°，A是⊙O上一个动点（不与B，C重合），则∠A为（）
A．48°B．132°C．48°或132°D．96°
【分析】在优弧BC上取一点A′，连接BA′，CA′．利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题．
【解答】解：在优弧BC上取一点A′，连接BA′，CA′．
∵∠A′＝∠BOC，∠BOC＝96°，
∴∠A′＝48°，
∵∠A+∠A′＝180°，
∴∠A＝132°，
∴∠A＝48°或132°．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，注意一题多解．
5．如图，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（）
A．2.3B．2.4C．2.5D．2.6
【分析】首先根据题意作图，由AB是⊙C的切线，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，
＝AC•BC＝∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理求得AB的长，然后由S
△ABC AB•CD，即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长．
【解答】解：在△ABC中，
∵AB＝5，BC＝3，AC＝4，
∴AC2+BC2＝32+42＝52＝AB2，
∴∠C＝90°，
如图：设切点为D，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
＝AC•BC＝AB•CD，
∵S
△ABC
∴AC•BC＝AB•CD，
即CD＝＝＝，
∴⊙C的半径为，
故选：B．
【点评】此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．
6．如图．将半径为6cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O．则折痕AB的长为（）
A．6cm B．3cm C．6cm D．6cm
【分析】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA＝2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．
【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，
∵OA＝2OD＝6cm，
∴AD＝＝＝3cm，
∵OD⊥AB，
∴AB＝2AD＝6cm．
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键
7．若二次函数y＝mx2﹣4x+m有最大值﹣3，则m等于（）
A．m＝4B．m＝﹣1C．m＝1D．m＝﹣4
【分析】根据二次函数的最值公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵二次函数有最大值，
∴m＜0且＝﹣3，
解得m＝﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟记最大（小）值公式是解题的关键．
8．在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点A（0，1）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为（）
A．（﹣1，﹣2）B．（3，﹣2）C．（1，3）D．（1，4）
【分析】建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点P′的坐标即可．
【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点P′的坐标为（1，4）．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，将△ACB绕点A逆时针旋转60°得到△AC′B′，则CB′的长为（）
A．+B．1+C．3D．+
【分析】连接BB'，根据线段垂直平分线的判定定理可得：CB'是AB的垂直平分线，则CB'⊥AB，AF＝BF，分别计算CF和B'F的长，相加可得结论．
【解答】解：连接BB'，设CB'与AB的交点为F，
由旋转得：AB＝AB'，∠BAB'＝60°，
∴△ABB'是等边三角形，
∴AB'＝BB'，
∵AC＝BC，
∴CB'是AB的垂直平分线，
∴CB'⊥AB，AF＝BF，
Rt△ACB中，AC＝BC＝，
∴AB＝2，CF＝AB＝1，
∵BB'＝AB＝2，BF＝1，
由勾股定理得：B'F＝＝，
∴CB'＝CF+B'F＝1+，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，3），（x1，0），其中，2＜x1＜3，对称轴为x＝1，则下列结论：①2a﹣b＝0；②x（ax+b）≤a+b；③方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1'＝0，x2'＝2；④﹣3＜a＜﹣1．其中正确的是（）
A．②③④B．①②③C．②④D．②③
【分析】利用抛物线对称轴得到b＝﹣2a，则可对①进行判断；利用二次函数的最值问题得到x＝1时，y的值最大，从而可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到点（0，3）关
于直线x＝1的对称点的坐标为（1，3），即x＝0或x＝1时，ax2+bx+c＝3，则可对③进行判断；利用2＜x1＜3，则当x＝3时，9a+3b+c＜0，把c＝3，b＝﹣2a代入得到a的范围，则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，所以①错误；
∵x＝1时，y的值最大，
∴ax2+bx+c＜a+b+c，
即x（ax+b）≤a+b，所以②正确；
∵点（0，3）关于直线x＝1的对称点的坐标为（1，3），
即x＝0或x＝1时，ax2+bx+c＝3，
∴方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1'＝0，x2'＝2，所以③正确；
∵2＜x1＜3，
∴当x＝3时，y＜0，
即9a+3b+c＜0，
而c＝3，b＝﹣2a，
∴9a﹣6a+3＜0，解得a＜﹣1，所以④错误．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；
常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知二次函数y＝ax2+4ax+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（﹣3，0）．
【分析】根据题目中的函数解析式可以求得该函数的对称轴，然后根据题意和二次函数的性质可以求得该抛物线与x轴的另一个交点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+4ax+c＝a（x+2）2﹣4a+c，
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣2，
∵二次函数y＝ax2+4ax+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴它与x轴的另一个交点的坐标是：（﹣3，0），
故答案为：（﹣3，0）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．抛物线的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．
【分析】根据图象和二次函数的性质，可以得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后根据图象即可得到当y＞0时，x的取值范围．
【解答】解：由图可得，
该抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0），
则该抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
故当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
13．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1＝20°，则∠B＝65度．
【分析】先根据旋转的性质得到∠ACA′＝90°，CA＝CA′，∠B＝∠CB′A′，则可判断△CAA′为等腰直角三角形，所以∠CAA′＝45°，然后利用三角形外角性质计算出∠CB′A′，从而得到∠B的度数．
【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，
∴∠ACA′＝90°，CA＝CA′，∠B＝∠CB′A′，
∴△CAA′为等腰直角三角形，
∴∠CAA′＝45°，
∵∠CB′A′＝∠B′AC+∠1＝45°+20°＝65°，
∴∠B＝65°．
故答案为65．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
14．如图，C是⊙O的弦BA延长线上一点，已知∠COB＝130°，∠C＝20°，OB＝2，则
AB的长为2．
【分析】作OE⊥AB于E．解直角三角形求出BE的值即可解决问题；
【解答】解：作OE⊥AB于E．
∵∠B＝180°﹣∠C﹣∠COB＝180°﹣20°﹣130°＝30°，
∵OE⊥AB，
∴AE＝EB，
∵∠OEB＝90°，OB＝2，∠B＝30°，
∴BE＝OB•cos30°＝，
∴AB＝2BE＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．如图，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，则S
＝10cm2．
梯形ABCE
【分析】由于AE与圆O切于点F，根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC；设EF＝EC＝xcm．则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，然后在△BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出x的值，再根据梯形面积公式可求值．
【解答】解：∵AE与圆O切于点F，
显然根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC，
设EF＝EC＝xcm，
则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
（4﹣x）2+42＝（4+x）2，
∴x＝1cm，
∴CE＝1cm，
＝＝＝10
∴S
梯形ABCE
故答案为10．
【点评】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB＝AF，EF＝EC．
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，E，F分别在边AC，BC，若以EF为直径作圆经过AB上某点D，则EF长的取值范围为 4.8≤EF≤10．
【分析】根据已知条件得到△ECF是直角三角形，推出点C在以EF为直径的圆上，设以EF为直径的圆的圆心为O，当⊙O于AB相切时，以EF为直径的圆经过AB上的唯一一
点D，连接CD，则CD⊥AB，且CD过圆心，求得EF＝CD＝＝4.8，当⊙O经过A，B时，则EF＝AB＝10，于是得到结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，E，F分别在边AC，BC上，
∴△ECF是直角三角形，
∴点C在以EF为直径的圆上，
设以EF为直径的圆的圆心为O，
当⊙O于AB相切时，以EF为直径的圆经过AB上的唯一一点D，
连接CD，则CD⊥AB，且CD过圆心，
∴EF＝CD，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴EF＝CD＝＝4.8，
当⊙O经过A，B时，则EF＝AB＝10，
故EF长的取值范围为：4.8≤EF≤10．
故答案为：4.8≤EF≤10．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．三、解答题（共9小题，共72分）
17．（5分）已知抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），与y轴的交点是（0，﹣3），求这个二次函数的解析式．
【分析】根据顶点坐标设解析式，把点（0，﹣3）代入即可求出a，即可求出答案．
【解答】解：由抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4）可设其解析式为y＝a（x+1）2﹣4，
将（0，﹣3）代入，得：a﹣4＝﹣3，
解得：a＝1，
则抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4．
【点评】本题考查了用待定系数法求出二次函数的解析式和函数图象上点的坐标特征，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键．
18．（8分）△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形；
（2）若⊙M能盖住△ABC，则⊙M的半径最小值为．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′，从而得到△A′B′C′；
（2）作AB和AC的垂直平分线，它们相交于点M，则点M为△ABC的外接圆的半径，然后求出MA得到⊙M的半径最小值．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）作AB和AC的垂直平分线，它们相交于点M，MA＝＝，
即⊙M的半径的最小值为．
故答案为．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到
对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了三角形的外接圆．
19．（7分）河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥（如图1），水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m，因降暴雨水面上升1m．
（1）建立适当的坐标系，并求暴雨后水面的宽；
（2）一艘装满物资的小船，露出水面部分高为0.5m、宽4m（横断面如图2所示），暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？
（注：结果保留根号．）
【分析】（1）建立适当的坐标系，由待定系数法求出函数解析式，即可得出结果；
（2）利用已知得出x＝2时，y的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
设函数解析式为y＝ax2，B（3，﹣3），A（﹣3，﹣3），
把点B坐标代入得：9a＝﹣3，
解得：a＝﹣，
即y＝﹣x2，
当y＝﹣2时，﹣x2＝﹣2，
解得：x＝±，
故此时水面宽度为2．
（2）当x＝2时，y＝﹣，
因为船上货物最高点距拱顶1.5米，且|﹣|＜1.5，所以这艘船能从桥下通过．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及图象上点的坐标性质；建立适当的坐标系，根据题意确定点的坐标求出函数解析式是解题关键．
20．（7分）已知y关于x二次函数y＝x2﹣（2k+1）x+（k2+5k+9）与x轴有交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+（k2+5k+9）＝0的两个实数根，且x12+x22＝39，求k的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+5k+9）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+5k+9，再利用x12+x22＝39得到（2k+1）2﹣2（k2+5k+9）＝39，然后解方程后利用（1）的范围确定k的值．
【解答】解：（1）∵y关于x二次函数y＝x2﹣（2k+1）x+（k2+5k+9）与x轴有交点，
∴△≥0，即[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+5k+9）≥0，
解得k≤﹣；
（2）根据题意可知x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+5k+9，
∵x12+x22＝39，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝39，
∴（2k+1）2﹣2（k2+5k+9）＝39，解得k1＝7，k2＝﹣4，
∵k≤﹣，
∴k＝﹣4．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；
常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
21．（7分）如图，台风中心位于点A，并沿东北方向AC移动，已知台风移动的速度为50千米/时，受影响区域的半径为130千米，B市位于点A的北偏东75°方向上，距离A点240千米处．
（1）说明本次台风会影响B市；
（2）求这次台风影响B市的时间．
【分析】（1）作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，利用特殊角的三角函数值求出BD的长与130千米相比较即可．
（2）以B为圆心，以130为半径作圆交AC于E，F两点，根据垂径定理即可求出BE＝BF ＝130，然后由勾股定理求得EF的长度，进而求出台风影响B市的时间．
【解答】解：（1）如图，作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，由条件知，AB＝240，∠BAC＝75°﹣45°＝30°，
∴BD＝240×＝120＜130，
∴本次台风会影响B市．
（2）如图，以点B为圆心，以130为半径作圆交AC于E，F，
若台风中心移动到E时，台风开始影响B市，台风中心移动到F时，台风影响结束．
由（1）得BD＝240，由条件得BE＝BF＝130，
∴EF＝2＝100，
∴台风影响的时间t＝＝2（小时）．
故B市受台风影响的时间为2小时．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质及垂径定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是构造出直角三角形及圆．
22．（8分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价为x元（x为整数）．
（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数解析式．
（2）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据每天游客居住的房间数量等于50﹣减少的房间数即可解决问题；
（2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）y＝50﹣＝﹣x+62；
（2）w＝（x﹣20）（﹣x+62）
＝﹣x2+64x﹣1240
＝﹣（x﹣320）2+9000，
∴当x＝320时，w取得最大值，最大值为9000，
答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元．
【点评】本题考查二次函数的应用、解题的关键是构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．
23．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且＝，CE ⊥DA交DA的延长线于点E．
（1）求证：∠CAB＝∠CAE；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若AE＝1，BD＝4，求⊙O的半径长．
【分析】（1）连接BD，根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等，可得∠CAB ＝∠CAE；
（2）连接OC，由题意可得∠ACB＝90°＝∠AEC，即可证∠BCO＝∠ACE＝∠ABC，可得∠ECO＝∠ACB＝90°，则可证CE是⊙O的切线；
（3）过点C作CF⊥AB于点F，由角平分线的性质可得CE＝CF，可证△CED≌△CFB，可得DE＝BF，根据勾股定理可求⊙O的半径长．
【解答】证明：（1）连接BD
∵，
∴∠CDB＝∠CBD，CD＝BC
∵四边形ACBD是圆内接四边形
∴∠CAE＝∠CBD，且∠CAB＝∠CDB，
∴∠CAB＝∠CAE；
（2）连接OC
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°＝∠AEC，
又∵∠CAB＝∠CAE，
∴∠ABC＝∠ACE，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO，
∴∠BCO＝∠ACE，
∴∠ECO＝∠ACE+∠ACO＝∠BCO+∠ACO＝∠ACB＝90°，
∴EC⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
（3）过点C作CF⊥AB于点F，
又∵∠CAB＝∠CAE，CE⊥DA，
∴AE＝AF，
在△CED和△CFB中，
∴△CED≌△CFB（AAS），
∴ED＝FB，
设AB＝x，则AD＝x﹣2，
在△ABD中，由勾股定理得，x2＝（x﹣2）2+42，
解得，x＝5，
∴⊙O的半径的长为．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
24．（10分）如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在CB，CA 上，且CD＝CE，连AD，BE，F为AD的中点，连CF．
（1）求证：CF＝BE，且CF⊥BE；
（2）将△CDE绕点C顺时针旋转一个锐角（如图2），其它条件不变，此时（1）中的结论是否仍成立？并证明你的结论．
【分析】（1）只要证明△ACD≌△BCE（SAS），即可解决问题；
（2）此时仍有CF＝BE、CF⊥BE．如图2中，延长CF至G，使FG＝CF，连接GA，只要证明△DFC≌△AFG（SAS），△BCE≌△CAG（SAS），即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，
在△ACD和△BCE中，
∵，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE、∠CAD＝∠CBE，
∵F为AD中点，∠ACD＝90°，
∴FC＝AF＝AD，
∴CF＝BE，∠CAD＝∠ACF，
∴∠CBE＝∠ACF，
∴∠CBE+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝∠BCE＝90°，
∴CF⊥BE；
（2）此时仍有CF＝BE、CF⊥BE．
理由：如图2中，延长CF至G，使FG＝CF，连接GA，
在△CDF和△GAF中，
∵，
∴△DFC≌△AFG（SAS），
∴GA＝CD，∠FDC＝∠FAG，
∴AG∥DC，AG＝CE，
∴∠GAC+∠DCA＝180°，
又∵∠BCE+∠DCA＝∠BCA+∠ACD+∠ECA＝∠BCA+∠ECD＝180°，
∴∠GAC＝∠BCE，
在△BCE和△CAG中，
∵，
∴△BCE≌△CAG（SAS），
∴CG＝BE，∠CBE＝∠ACG，
∴CF＝BE，∠CBE+∠BCF＝∠BCA＝90°，
∴CF⊥BE．
【点评】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
25．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝OA．
（1）求抛物线解析式；
（2）过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AC交于点N．已知M点的横坐标为m，试用含m的式子表示MN的长及△ACM的面积S，并求当MN的长最大时S的值；
（3）如图2，D（0，﹣2），连接BD，将△OBD绕平面内的某点（记为P）逆时针旋转180°得到△O′B′D′，O、B、D的对应点分别为O′、B′、D′．若点B′、D′两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标．
【分析】（1）先求出点A 坐标，再运用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线AC 的解析式，待定点M ，N 的坐标，用m 表示线段MN 的长度，运用二次函数分析其最值即可；
（3）根据中心对称的性质，明确B ′D ′与BD 平行且相等，待定点B ′、D ′的坐标，代
入抛物线解析式求解即可得出B ′、D ′的坐标，而后运用中点公式求出中心的坐标即可；
【解答】解：（1）由A （﹣3，0），且OC ＝OA 可得
A （﹣3，0）
设抛物线解析式为y ＝a （x +3）（x ﹣1），
将C （0，3）代入解析式得，﹣3a ＝3，解得a ＝﹣1，
∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3．
（2）如图1，
设直线AC 解析式为y ＝kx +d
∵A （﹣3，0），C （0，3），
∴
，
解得， ∴直线AC 解析式为y ＝x +3，
设M （m ，﹣m 2﹣2m +3），则N （m ，m +3），则MN ＝﹣m 2﹣2m +3﹣（m +3）＝﹣m 2﹣3m （﹣3＜m ＜0），
S △ACM ＝S △AMN +S △CMN ＝MN ×3＝
，
MN ＝﹣m 2﹣3m ＝﹣+， ∵a ＝﹣1＜0，﹣3＜m ＝﹣1.5＜0，
∴m＝﹣时，MN最大，此时S＝；
（3）如图2中，旋转180°后，对应线段互相平行且相等，则BD与B′D′互相平行且相等．
∵O′B′＝OB＝1，O′D′＝OD＝2，
设B′（t，﹣t2﹣2t+3），则D′（t+1，﹣t2﹣2t+3+2）
∵D′在抛物线上，则﹣（t+1）2﹣2（t+1）+3＝﹣t2﹣2t+3+2，
解得，t＝，则B′的坐标为（，），
P是点B（1，0）和点B′（，），的对称中心，
，，
∴P（，）．
【点评】此题主要考查二次函数综合问题，会用待定系数法求解析式，能运用二次函数模型分析线段的最值问题，会运用旋转的性质合理的待定点的坐标并结合方程求解时解题的关键．。