中考数学第二轮提优材料

如图，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。

过点N作NP ⊥BC，交AC于点P，连结MP。

已知动点运动了x秒。

⑴请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）
⑵若0秒≤x≤1秒，试求△MP A的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值。

⑶若0秒≤x≤3秒，△MP A能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由。

正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。

如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．
⑴如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E。

①求证：DF＝EF；
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；
⑵若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E。

请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）
【2问完成】已知△ABC中，AB=AC，E是BC边上的点，DE=2BD；将△ABD绕点A旋转，得到△ACF，连结DF．
（1）如图1，当∠BAC=90°，∠DAE=45°时，求证：AC
+．
CE=
2
EF
2
（2）如图2，当∠BAC=120°，∠DAE=60°时，线段CE、EF、AC之间的数量关系是。

（3）在（2）的条件下，，．改图
）如图12，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A = 90°，CD = 3，AD = 4，tan B = 2，过点C 作CH⊥AB，垂足为H．点P为线段AD上一动点，直线PM∥AB，交BC、C H于点M、Q．以PM为斜边向右作等腰Rt△PMN，直线MN交直线AB于点E，直线PN交直线A B于点F．设PD的长为x，EF的长为y．
⑴求PM的长(用x表示)；
⑵求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围(图13为备用图)；
⑶当点E在线段AH上时，求x的取值范围(图14为备用图)．
改成平面直角坐标系
已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
D 第23题图①
D
第23题图②
D
第23题图③
24．（本题10分）如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°． （1）求证：AD ＝BD ；
（2）E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ，求证：AD +CD ＝DE ； （3）当BD ＝2时，AC 的长为______．（直接填出结果，不要求写过程）
25. （本题12分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2
429
y (x ) c =-
-+与x 轴交
于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴的正半轴于点C ，其顶点为M ，MH ⊥x 轴于点H ，MA 交y 轴于点N ，sin ∠MOH ＝
5
52.
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）过H 的直线与y 轴相交于点P ，过O ，M 两点作直线PH 的垂线，垂足分别为E ，
F ，若
HE HF ＝1
2
时，求点P 的坐标； （3）将（1）中的抛物线沿y 轴折叠，使点A 落在点D 处，连接MD ，Q 为（1）中的
抛物线上的一动点，直线NQ 交x 轴于点G ，当Q 点在抛物线上运动时，是否存在点Q ，使△ANG 与△ADM 相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG 的解析式；若不存在，请说明理由．
D E A
B C
24．如图1，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，E 恰为BC 的中点，2tan
=B .
（1）求证：AD =AE ；
（2）如图2，点P 在BE 上，作EF ⊥DP 于点F ，连结AF .
求证：AF
EF DF 2=
-；
（3）请你在图3中画图探究：当P 为射线E C 上任意一点（P 不与点E 重合）时，作
EF ⊥DP 于点F ，连结AF ，线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.
28．（12分）已知二次函数y =3
4
x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （-1，0）、B 两点，与y
轴交于点C （0，-3）．
（1）填空：b = ，c = ；
（2）如图，点Q 从O 出发沿x 轴正方向以每秒4个单位运动，点P 从B 出发沿线段
BC 方向以每秒5个单位运动，两点同时出发，点P 到达点C 时，两点停止运动，设运动时间为t s ，过点P 作PH ⊥OB ，垂足为H ．
①求线段QH 的长（用含t 的式子表示），并写出t 的取值范围；
②当点P 、Q 运动时，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ
图1
E
B
C
A
D
图3
E
B C
A
D
图2
E
C
B A
D
F
P
相似？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
24．在ABC △中，AC=BC ，90ACB ∠=︒，点D 为AC 的中点．
（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作FH FC ⊥，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明． （2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
28．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x
轴、y 轴的正半轴上，OA =4，OC =2．点P 从点O 出发，沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段CP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转90°得点D ，点D 随点P 的运动而运动，连接DP 、DA ．
（1）请用含t 的代数式表示出点D 的坐标；
H F
图2图1
H
F
E
C D
A E D B
C A
（2）求t为何值时，△DP A的面积最大，最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DP A能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）请直接
．．写出随着点P的运动，点D运动路线的长．
如图14，直线)0
kx
y与坐标轴分别交于A、B两点，OA=8,OB=6.动点P从O
(≠
b
=k
+
点出发，沿路线O→B→A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止．（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）求出直线AB的解析式；
（3）设点P的运动时间为t(秒)，OPA
∆的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（4）当S=12时，直接写出点P的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点M，使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长线上的一点，联接AP交边CD于点E，把射线AP沿直线AD翻折，交射线CD于点Q，设CP=x，DQ=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
（2）当点P运动时，△APQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请求出△APQ的面积S关于x的函数解析式，并写出定义域；如果不发生变化，请说明理由．
（3）当以4为半径的⊙Q与直线AP相切，且⊙A与⊙Q也相切时，求⊙A的半径．
23．一次数学兴趣活动，小明提出这样三个问题，请你解决：
（1）把正方形ABCD 与等腰Rt △P AQ 如图（a ）所示重叠在一起，其中∠P AQ =90°，点
Q 在边BC 上，连接PD ，求证：△ADP ≌△ABQ ． （2）如图（b ），O 为正方形ABCD 对角线的交点，将一直角三角板FPQ 的直角顶点F
与点O 重合，转动三角板使两直角边始终与BC 、AB 相交于点M 、N ，求证：OM=ON ． （3）如图（c ），将（2）的“正方形”改为“矩形”，其它条件不变，如果AB=4，AD =6，
FM=x ，FN=y ，试求y 与x 之间的关系式．
25．（2009年湖南长沙）如图，二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B
、两点，与y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，
、(03)C ，，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等．
（1）求实数a b c ，，的值；
（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，
其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将B M N △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
61．（2009年新疆乌鲁木齐市）如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为
(40)(02)A C ，、，，D 为O A 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重
合）．
（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与P D 相等；
（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式； （3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；
（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN ∠=°？若存在，请直接写出点P 的坐标．
如图，平面上一点P 从点M 出发，沿射线OM 方向以每秒1个单位长度的速度作匀速运动，在运动过程中，以OP 为对角线的矩形OAPB 的边长:1:OA OB =；过点O 且垂直于射线OM 的直线l 与点P 同时出发，且与点P 沿相同的方向、以相同的速度运动． （1）在点P 运动过程中，试判断A B 与y 轴的位置关系，并说明理由．
（2）设点P 与直线l 都运动了t 秒，求此时的矩形OAPB 与直线l 在运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积S （用含t 的代数式表示）．
C
26．（本题满分10分）
如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M 、N 以每秒１个单位的速度分别从点A 、C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP ． （1）点B 的坐标为 ；用含t 的式子表示点P 的坐标为 ；(3分)
（2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求t 为何值时，S 有最大值？(4分)
（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的13
？若存在，求出点T 的坐标；若
不存在，请说明理由．(3分)
25.(满分12分)如图，平面直角坐标系中，点A 、B 、C 在x 轴上，点D 、E 在y 轴上，OA =OD =2，OC =OE =4，DB ⊥DC ，直线AD 与经过B 、E 、C 三点的抛物线交于F 、G 两点，与其对称轴交于M .点P 为线段FG 上一个动点(与F 、G 不重合)，PQ ∥y 轴与抛物线交于点Q . (1)求经过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；
(2)是否存在点P ，使得以P 、Q 、M 为顶点的三角形与△AOD 相似？若存在，求出满足条
件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线的顶点为N ，连接QN ，探究四边形PMNQ 的形状：①能否成为菱形；②能
否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由.
（备用图）
23.(满分10分)正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.
(1)当点P与点O重合时(如图①)，猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；
(2)当点P在线段DB上(不与点D、O、B重合)时(如图②)，探究(1)中的结论是否成立？
若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断(1)中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.
28．(本小题满分10分) ．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x＋12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．△ABP△AOB
（1）求直线AM的解析式；
（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP＝S△AOB，请直接写出点P的坐标；
（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，
请说明理由．
解析： 答案：解：（1）函数的解析式为y ＝2x ＋12 ∴A (－6,0)，B (0,12) ………………1分
∵点M 为线段OB 的中点 ∴M (0,6) ……………………………1分 设直线AM 的解析式为：y ＝kx ＋b
………………………………………………2分
∴k ＝1 b ＝6 ………………………………………………………1分 ∴直线AM 的解析式为：y ＝x ＋6 ………………………………………1分 （2）P 1(－18，－12)，P 2(6，12) ………………………………………………2分 （3）H 1(－6，18)，H 2(－12，0)，H 3(－65 ，18
5
)………………………………3分
26．(本小题满分8分) ．已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90º，∠A ＝30º，点P 在AC 上，且
∠MPN ＝90º．
当点P 为线段AC 的中点，点M 、N 分别在线段AB 、BC 上时（如图1），过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，可证t △PME ∽t △PNF ，得出PN ＝3PM ．（不需证明） 当PC ＝2P A ，点M 、N 分别在线段AB 、BC 或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN 、PM 之间的数量关系，并任选取一给予证明．
解析：
答案：解：如图2，如图3中都有结论：PN ＝6PM ……………………………2分 选如图2： 在Rt △ABC 中，过点P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥BC 于点F
∴四边形BFPE 是矩形 ∴∠EPF ＝90º， ∵∠EPM ＋∠MPF ＝∠FPN ＋∠MPF ＝90º
可知∠EPM ＝∠FPN ∴△PFN ∽△PEM ……………………2分
∴PF PE ＝PN
PM
…………………………………………………………1分 又∵Rt △AEP 和Rt △PFC 中：∠A ＝30º，∠C ＝60º ∴PF ＝
32 PC ，PE ＝1
2
P A ……………………………………………1分 ∴PN PM ＝PF PE ＝3PC
P A ……………………………………………1分 ∵PC ＝2P A ∴PN
PM
＝ 6 即：PN ＝6PM ………………1分
1.如图，在平面直角坐标系中，点A （0，6），点B 是x 轴上的一个动点，连结AB ，取AB 的中点M ，将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90°，得到线段BC ．过点B 作x 轴的垂线交直线AC 于点D ．设点B 坐标是（t ，0）． （1）当t
＝4时，求直线AB 的解析式；
（2）当t ＞0时，用含t 的代数式表示点C 的坐标及△ABC 的面积； （3）是否存在点B ，使△ABD 为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点B 的坐标；
若不存在，请说明理由．
2. 已知在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点A ，C 的坐标分别为A （3，0），C （0，4），点D 的坐标为D （－5，0），点P 是直线AC 上的一动点，直线DP 与y 轴交于点
M ．问：
（1）当点P 运动到何位置时，直线DP 平分矩形OABC 的面积，请简要说明理由，并求出
此时直线DP 的函数解析式；
（2）当点P 沿直线AC 移动时，是否存在使△DOM 与△ABC 相似的点M ，若存在，请求
出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P 沿直线AC 移动时，以点P 为圆心、半径长为R （R ＞0）画圆，所得到的圆称
为动圆P ．若设动圆P 的直径长为AC ，过点D 作动圆P 的两条切线，切点分别为点E ，F ．请探求是否存在四边形DEPF 的最小面积S ，若存在，请求出S 的值；若不存在，请说明理由．
3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 坐标为（6，0），点B 坐标为（3，4），点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 边上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 边上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也就随即停止，设两点的运动时间为t （秒）． （1）求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？
（2）设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？
（3）连接CA ，那么是否存在这样的t 值，使MN 与AC 互相垂直？若存在，求出这时
的t 值；若不存在，请说明理由．
27.在ABC ∆中，,4,5,D BC CD 3cm,C Rt AC cm BC cm ∠=∠==点在上，且以＝现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度，沿AC 向终点C 移动；点Q 以1.25cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动。

过点P 作PE ∥BC 交AD 于点E ，连结EQ 。

设动点运动时间为t 秒。

（1）求直线AC 的解析式；
（2）当点Q 在BD （不包括点B 、D ）上移动时，设E D Q ∆的面积为2
()y cm ，求y 与月份t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；
（3）当t 为何值时，E D Q ∆为直角三角形；并求出E 点的坐标。

4. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，2），点P 是线段OA 上的一个动点（不与O ，A 重合），过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，以PQ 为边向右作正方形PQMN ．连接AN 并延长交x 轴于点B ，连接ON ．设OQ ＝t ． （1）求证：OQ ＝QM ；
（2）求线段BM 的长（用含t 的代数式表示）；
（3）△BMN 与△MON 能否相似？若能，求出此时△BMN 的面积；若不能，请说明理由．
7. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－
4
3x －12分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，点C 在
x 轴上，且△ABC ∽△AOB ．
（1）求点C 的坐标；
（2）若点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿AB 向B 运动，同时点Q 从点C 出发，以每秒1个单位的速度沿CA 向A 运动，连结PQ ．设△APQ 的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在t 的值，使以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
需改编：（2008年巴中市）已知：如图14，抛物线2
34
y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，
与直线34
y x b =-
+相交于点B ，点C ，直线34
y x b =-
+与y 轴交于点E ．
（1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积．
（3）若点M 在线段A B 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？
需改编：已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A(8，0)，B(8，10)，C(0，4)，点D为线段BC的中点，动点P 从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．（1）求直线BC的解析式；
（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积
的2
7
？
（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（4）当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？若能，请求出此时动点P的坐标；若不能，请说明理由．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点。

Rt△OAB的斜边OA在x轴的正半轴上，点A的坐标为(2，0)，点B在第一象限内，且OB＝3，∠OBA＝90º。

以边OB所在直线折叠Rt△OAB，使点A落在点C处。

（1）求证：△OAC为等边三角形；
（2）点D在x轴的正半轴上，且点D的坐标为(4，0)。

点P为线段OC上一动点（点P不与点O重合），连接PA、PD。

设PC＝x，△PAD的面积为y，求y与x之间的函数关
系式；
（3）在（2）的条件下，当x ＝
2
1时，过点A 作AM ⊥PD 于点M ，若k ＝
PD
2AM 7，求证：
二次函数y ＝－2x
2
－(7k －33)x ＋3k 的图象关于y
9. 如图1，在△ABC 和△PQD 中，AC ＝kBC ，DP ＝kDQ ，∠C ＝∠PDQ ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，点P 在直线BC 上，连结EQ 交PC 于点H ． 猜想线段EH 与AC 的数量关系，并证明你的猜想．
说明：如果你经历反复探索，没有解决问题，可以从下面①、②中选取一个作为已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得6分． ①AC ＝BC ，DP ＝DQ ，∠C ＝∠PDQ （如图2）； ②在①的条件下且点P 与点B 重合（如图3）．
23．（12分）如图，直线43
4
+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，
0）．
（1）试说明△ABC 是等腰三角形；
（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ． ① 求S 与t 的函数关系式；
② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S =4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．
Q (H ) A B (P ) A D D E E C
H B P A
E C P Q H D B 图1 图2 图3
10. 如图1，点A 是△ABC 和△ADE 的公共顶点，∠BAC ＋∠DAE ＝180°，AB ＝k ·AE ，AC ＝k ·AD ，点M 是DE 的中点，直线AM 交直线BC 于点N ． （1）探究∠ANB 与∠BAE 的关系，并加以证明．
说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以从下面①、②中选取一个作为已知条件，再完成你的证明，选取①比选原题少得2分，选取②比选原题少得5分．
① 如图2，k ＝1；② 如图3，AB ＝AC ．
（2）若△ADE 绕点A 旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并直接写出变化后∠ANB 与∠BAE 的关系．
11. 如图①，点A ′ ，B ′ 的坐标分别为（2，0）和（0，－4），将△A ′
B ′
O 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得△ABO ，点A ′
的对应点是点A ，点B ′
的对应点是点B ．
（1）写出A ，B 两点的坐标，并求出直线AB
的解析式； （2）将△ABO 沿着垂直于x 轴的线段CD 折叠，（点C 在x 轴上，点D 在AB 上，点D 不
与A ，
B 重合）如图②，使点B 落在x 轴上，点B 的对应点为点E ．设点
C 的坐标为（x ，0），△CDE 与△ABO 重叠部分的面积为S ．
ⅰ）试求出S 与x 之间的函数关系式（包括自变量x 的取值范围）； ⅱ）当x 为何值时，S 的面积最大？最大值是多少？ ⅲ）是否存在这样的点C ，使得△ADE 为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；
若不存在，请说明理由．
A B
C M D
N 图1 图2 图3 A A B C N D M E B C D E
N M
12. 如图，已知直线L 过点A (0，1)和B (1，0)，P 是x 轴正半轴上的动点，OP 的垂直平分
线交L 于点Q ，交x 轴于点M ．
（1）直接写出直线L 的解析式；
（2）设OP ＝t ，△OPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；
并求出当0＜t ＜2时，S 的最大值；
（3）直线L 1过点A 且与x 轴平行，问在L 1上是否存在点C ，
使得△CPQ 是以Q
求出点C 的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．
13. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－
3
4(x －6)与x 轴、y 轴分别相交于A 、D 两点，
点B 在y
轴上，现将△AOB 沿AB 翻折180°，使点O 刚好落在直线AD
的点C 处． （1）求BD 的长．
（2）设点N 是线段AD 上的一个动点（与点A 、D 不重合），S △NBD ＝S 1，S △NOA ＝S 2，当点N 运动到什么位置时，S 1·S 2的值最大，并求出此时点N 的坐标．
（3）在y 轴上是否存在点M ，使△MAC 为直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点M
14. 如图，直线y ＝－x ＋4与两坐标轴分别相交于（A 、B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD （1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形 （2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？
（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移距离为a (0＜
a
＜4)，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象．
15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，OA ＝3，OC ＝4，P 为直线AB 上一动点，将直线OP 绕点P 逆时针方向旋转90°交直线BC 于点Q ；
L 1
（1）当点P 在线段AB 上运动(不与A 、B 重合)时，求证：OA ·BQ ＝AP ·BP ；
（2）在（1）成立的条件下，设点P 的横坐标为m ，线段CQ 的长度为l ，求出l 关于m 的
函数解析式，并判断l 是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
（3）直线AB 上是否存在点P ，使△POQ 为等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若
不存在，请说明理由．
16.. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝4，点M 是AD 的中点，△MBC 是等边三角形．
（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；
（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且∠MPQ ＝60°保持不变．设PC ＝x ，MQ
＝y ，求y 与x 的函数关系式； （3）在（2）中：
① 当动点P 、Q 运动到何处时，以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；
② 当y 取最小值时，判断△PQC 的形状，并说明理由．
17. 如图①，已知△ABC 是等腰三直角角形，∠BAC ＝90°，点D 是BC
的中点．作正方形DEFG ，使点A ，C 分别在DG 和DE 上，连接AE ，BG ．
（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系，请直接写出你得到的结论．
（2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
（3）若BC ＝DE ＝2，在（2）的旋转过程中，当AE 为最大值时，求AF 的值．
A D
C B P M Q
60°
A C
B
F D
E
G 图①
A
C
B F
D
E
G
图②
18. 如图①，在Rt △A ′OB ′
中，∠B ′A ′O ＝90°，A ′ ，B ′ 两点的坐标分别为（2，－1）和（0，－5），将△A ′OB ′ 绕点O 逆时针方向旋转90°，使OB ′ 落在x 轴正半轴上，得△AOB ，点A ′
的对应点是点A ，点B ′
的对应点是点B ．
（1）写出A ，B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；
（2）如图②，将△AOB 沿垂直于x 轴的线段CD 折叠（点C 在x 轴上，且不与点B 重合，
点D 在线段AB 上），使点B 落在x 轴上，对应点为点E ，设点C 的坐标为（x ，0）． ①当x 为何值时，线段DE 平分△AOB 的面积？ ②是否存在这样的点C ，使得△AED 为直角三角形？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
③设△CDE 与△AOB 重叠部分的面积为S ，直接写出S 与点C 的横坐标x 之间的函数关系
11.四边形
B （3，2），点M A 秒1x 轴于P MQ 。

(1)求出直线AC (2)求∆AM Q 的面积S 与时间t 的函数关系式，写出自变量t 的取值范围；并求出当t 取何
值时，∆AM Q 的面积最大；
（3）当t 为何值时，∆AM Q 为等腰三角形。

19. 如图，已知直线l ：y ＝－x ＋m （m ≠0）交x 轴、y 轴于A 、B 两点，点C 、M 分别在线段OA 、AB 上，且OC ＝2CA ，AM ＝2MB ，连接MC ，将△ACM 绕点M 旋转180°，得到△FEM ，显然点E 在y 轴上，点F 在直线l 上；取线段EO 中点N ，将△ACM 沿MN 所在直线翻折，得到△PMG ，其中P 与A 为对称点．记：过点F 的反比例函数图象为C 1，过点M 且以B 为顶点的二次函数图象为C 2，过点P 且以M 为顶点的二次函数图象为C 3． （1）当m ＝6时，①直接写出点M 、F 的坐标；
②求C 1、C 2的函数解析式；
（2）当m 发生变化时，①在C 1的每一支上，y 随x 的增大如何变化？请说明理由；
②若C 2、C 3中的y 都随着x 的增大而减小，写出x 的取值范围．
例1. 已知直线1x 33
y +-=与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第
一象限内作等腰A B C Rt ∆，∠BAC=90°，且点P （1，t ）为坐标系中的一个动点。

（1）求直线BC 的解析式；
（2）在点P 运动过程中，求S ABP ∆的面积S 与t 的函数关系式，并求出自变量的取值范围。

（3）当AB C ∆和ABP ∆的面积相等时，求实数t 的值。

24.如图1，在ABC △中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，若点B P 、在直线a 的异侧，BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接.PM PN 、
（1）延长M P 交CN 于点E （如图2），①求证：BPM CPE △≌△；②求证：PM PN =；
（2）若直线a 绕点A 旋转到图3的位置时，点B P 、在直线a 的同侧，其它条件不变.此时PM PN =还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形M BCN 的形状及此时PM PN =还成立吗？不必说明理由.
第24题图1 第24题图2 第24题图3。