八年级数学下册 专题突破讲练 勾股定理及逆定理的综合应用试题 (新版)青岛版

勾股定理及逆定理的综合应用
一、勾股定理的逆定理
逆定理
如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

逆定理说明：
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。

②在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形。

二、实际应用定理中的注意问题
1. 定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边；
2. 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。

三、勾股定理逆定理的几种典型应用
总结：
1. 理解勾股定理与勾股定理逆定理之间的关系；
2. 掌握好数形结合的思想及方程思想的应用。

例题1 如图，△ABC 中，AB=15，AC=8，AD 是中线，且AD=8.5，则BC 的长为（ ）
A. 15
B. 16
C. 17
D. 18
解析：延长AD 至E 使ED=AD ，利用好“AD 是中线”这个条件，再根据题中数据的特点正好符合勾股定理逆定理，得到直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质就可以求出BD 的长度了，再根据BC=2BD ，所以BC 的长也就求出了。

答案：解：延长AD 至E ，使DE=AD ；连接B E ，
∵AD=8.5，∴AE=2×8.5=17，
在△ADC 和△EDB 中，AD ＝DE
∵∠ADC ＝∠EDB BD ＝CD ，
∴△ADC≌△EDB（S AS ），∴BE=AC=8，BE 2+AB 2=82+152=289，AE 2=172=289，
∴∠ABE=90°，
∵在Rt△BED 中，BD 是中线， ∴BD=
2
1AE=8.5，∴BC=2BD=2×8.5=17。

故选C 。

例题2 勾股定理是几何中的一个重要定理。

在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。

如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理。

图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，则D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上，则长方形KLMJ 的面积为（ ）
A. 50
B. 52
C. 54
D. 56
解析：延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，可得四边形AOLP 是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ 的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解。

答案：解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，边长AO=AB+AC=2+3=5，所以，KL=2+5=7，LM=3+5=8，因此，矩形KLMJ 的面积为7×8=56。

故选D 。

利用勾股定理计算角度
例题 如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE′的位置。

若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度。

解析：首先根据旋转的性质得出∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，进而根据勾股定理的逆定理求出△EE′C 是直角三角形，进而得出答案。

答案：解：连接EE′，
∵将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3， ∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，∴EE′=22，∠BE′E=45°，
∵E′E 2+E′C 2=8+1=9，EC 2=9，∴E′E 2+E′C 2=EC 2
，
∴△EE′C 是直角三角形，∴∠EE′C=90°，∴∠BE′C=135°。

故答案为：135。

开放性试题
开放性试题是与封闭性试题相对的、没有固定答案或唯一结论的一种试题形式，它在很大程度上弥补了封闭性试题的种种不足，特别在考查学生思维的灵活性和广泛性，考查学生的实践能力和创新意识，以及情感、态度、价值观等方面有着封闭性试题所无法取代的优点。

可使同学们的主观能动性得到极好的发挥。

例题 如图，已知一个边长分别为6、8、10的直角三角形，请设计出一个有一条边长为8的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形。

请给出4种不同拼法，并求所拼等腰三角形的周长。

解析：根据三角形的三边关系、勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定来作图；利用图形，分别求得每一个等腰三角形的周长。

答案：解：4种不同拼法（周长不等）的等腰三角形如图所示：
图1：拼成的等腰三角形的周长为10+6+4+2248 =20+45；
图2：拼成的等腰三角形的周长为10+10+12=32；
图3：根据图示知，64+x 2=（x+6）2
，解得，x=3
7， ∴拼成的等腰三角形的周长为2×（37+6）+10=2632； 图4：拼成的等腰三角形的周长为10+10+8+8=36。

（答题时间：45分钟）
一、选择题
1. 有下面的判断：①若△ABC 中，a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形。

②△ABC 是直角三角形，∠C=90°，则a 2+b 2=c 2。

③若△ABC 中，a 2－b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形。

④若△ABC 是直角三角形，则（a+b ）（a －b ）=c 2。

以上判断正确的有（ ）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
2. 若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ，则此△为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 不能确定 *3. 已知正实数a 、b 、c 满足
b c a c b a a c b +=+=+=k ，以2k ，2k+1，2k －1为三边的三角形面积是（ ）
A. 12
B. 6
C. 512
D. 3
**4. 如图，以△ABC 的每一条边为边作三个正三角形△ABD、△BCE 和△ACF。

已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和，则∠FCE=（ ）
A. 130°
B. 140°
C. 150°
D. 160°
**5. 如图，已知正方形ABED 与正方形BCFE ，现从A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（ ）
A. 10个
B. 12个
C. 14个
D. 16个
二、填空题 *6. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90度。

将△ABC 沿折痕BE 对折，C 点恰好与AB 的中点D 重合，若BE=4，则AC 的长为 。

*7. 如图，在4×5的方格中，A、B为两个格点，再选一个格点C，使∠ACB为直角，则满足条件的点C个数为个。

**8. 如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2= 。

三、解答题
9. 阅读以下解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状。

错解：∵a2c2－b2c2=a4－b4…①，
∴c2（a2－b2）=（a2－b2）（a2+b2）…②，
∴c2=a2+b2…③
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误？请写出该步的代号。

（2）错误的原因是。

（3）本题正确的结论是。

*10. 如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5。

（1）判断△DEC的形状，并说明理由；
（2）求∠ADB的度数。

**11. 如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°。

试探索以AB、BC、BD 为边，能否组成直角三角形，并说明理由。

**12. 已知：△ABC的周长是4+26，AB=4，AC=6+2。

（1）判断△ABC的形状；
（2）若CD是AB上的中线，DE⊥AB，∠ACB的平分线交DE于E，交AB于F，连接BE。

求证：DC=DE，并求△DBE的面积。

1. C 解析：①c 不一定是斜边，故错误；②正确；③正确；④若△ABC 是直角三角形，c 不是斜边，则（a+b ）（a －b ）≠c 2，故错误。

共2个正确。

故选C 。

2. C 解析：△ABC 是直角三角形。

理由是：∵a 2+b 2+c 2=10a+24b+26c －338，∴（a －5）2+（b －12）2+（c －13）2=0，∴a－5=0，b －12=0，c －13=0，即a=5，b=12，c=13。

∵52+122=132，∴△ABC 是直角三角形。

故选C 。

3. B 解析：∵b
c a c b a a c b +=+=+，∴c（b+c ）=a （a+b ），b （a+b ）=c （a+c ），化简后得：（c －a ）（a+b+c ）=0，（c －b ）（a+b+c ）=0，∵a+b+c≠0，∴a=b=c，∴k=2，∴以2k ，2k+1，2k －1为三边分别为4，5，3；∵32+42=52，∴三角形为直角三角形，直角边的
长分别为3，4，根据直角三角形的面积公式，∴S=2
1×3×4=6。

故选B 。

4. C 解析：由题意，得S △ACF +S △BCE =S △ABD ，即43AC 2+43BC 2＝4
3AB 2。

从而AC 2+BC 2=AB 2。

所以∠ACB=90°，∠FCE=360°－（90°+60°+60°）=150°。

故选C 。

5. C 解析：可得到14个直角三角形，分别为△ABE、△ADE、△ABD、△BED、△BCE、△CFE、△BCF、△BEF、△ACF、△ADF、△ACD、△CDF、△AEC、△DBF。

故选C 。

6. 6 解析：根据题意，得DE 垂直平分AB ，则AE=BE ，得∠A=∠ABE。

根据折叠，得∠ABE=∠CBE，再根据直角三角形的两个锐角互余得∠A=∠ABE=∠CBE=30°∴CE=
21BE =2，则AC=4+2=6。

7. 6 解析：如图，根据勾股定理知AB 2=12+32=10。

∵12+32=10，（
2）2+（22）2=10，（5）2+（5）2=10，∴符合条件的点C 有6个。

8. 100 解析：∵CE 平分∠ACB，CF 平分∠ACD，∴∠ACE=
21∠ACB，∠ACF=21∠ACD，即∠ECF=2
1（∠ACB+∠ACD ）=90°，又∵EF∥BC ，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM ，∠DCF=∠CFM=∠MCF ，∴CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知C E 2+CF 2
=EF 2=100。

9. 解：（1）∵c 2（a 2－b 2）=（a 2－b 2）（a 2+b 2）∴应有c 2（a 2－b 2）－（a 2－b 2）（a 2+b 2）=0得到（a 2－b 2）[c 2－（a 2+b 2）]=0，∴（a 2－b 2）=0或[c 2－（a 2+b 2）]=0，即a=b 或a 2+b 2=c 2，∴根据等腰三角形得定义和勾股定理的逆定理，知三角形为等腰三角形或直角三角形。

故填③。

（2）不能确定a 2－b 2是否为0。

（3）△ABC 为等腰三角形或直角三角形。

10. 解：（1）根据图形的旋转不变性，AD=EC ，BD=BE ，又因为∠DBE=∠ABC=60°，所以△ABC 和△DBE 均为等边三角形，于是DE=BD=3，EC=AD=4，又因为CD=5，所以DE 2+EC 2=32+42=52=CD 2
；故△DEC 为直角三角形。

（2）因为△DEC 为直角三角形，所以∠DEC=90°，又因为△BDE 为等边三角形，所以∠BED=60°，故∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°。

11. 解：以AB 、BC 、BD 为边，能够组成直角三角形。

理由如下：以BC 为边作等边△BCE，连接AE 、AC 。

如下图所示。

∵∠ABC=30°，∠CBE=60°，∴∠ABE=90°，∴AB 2+BE 2=AE 2①，∵AD=DC，∠ADC=60°，∴△ADC 是等边三角形，在△DCB 和△ACE 中，DC=AC ，∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB =∠ACE ，又∵BC=CE ，∴△DCB≌△ACE，∴BD=AE，∵BC=BE，由①式，可得BD 2=AB 2+BC 2。

∴以AB 、BC 、BD 为边，能够组成直角三角形。

12. （1）解：△ABC 是直角三角形。

∵△ABC 的周长是4+26，AB=4，AC=6+2，∴BC=（4+26）－4－（6+
2）=6−2，∵（6+2）2+（6−2）2＝42，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形；（2）证明：过点C 作CM⊥AB 交AB 于M ，∵DE⊥AB，∴CM∥DE，∴∠DEF=∠MCF，又∵AD=CD，∴∠A=∠ACD，∵∠BCM=∠A，∴∠ACD=∠BCM，∵CE 平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∴∠DCF=∠MCF，∴∠DCF=∠DEF，∴DC=DE=
2
1AB=2，∴△DBE 的面积=2×2÷2=2。