2020版高考数学新增分大一轮新高考专用课件：第二章 微专题一
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优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/8
最新中小学教学课件
16
谢谢欣赏！
2019/7/8
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17
大一轮复习讲义
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
微专题一 多元变量的最值问题
[经验分享] 在数学中经常碰到求含有多个变量的最值问题，此类题目题型众多，解
法也很多，学生在面对含有多个变量的问题时，最大的困扰是不知从何处入 手.对于高中生，主要掌握的是一元变量的最值问题.因此，解决多元变量的最 值问题，减元是常见的办法.
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
简单地消掉a，只有这样才能有后面的将
x1 x2
当做整体进行减元的构造，从而达
到解决问题的目的，这也是解决此题的艺术精华所在.
以上几题均是求多元变量的最值问题，可以发现这类问题的基本策略是 减元，进而利用单元函数求最值，从而达到解题的目的.可见，减元是解决这 类多元最值问题的一把利器.
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
当且仅当 x－8＝x－168，即 x＝12 时，取“＝”号. 所以，当x＝12，y＝6时，x＋y取得最小值18.
点评 此题是一道学生经常见到的求多变量最值的试题，虽然此解法不是最
优的解法，但可能是学生比较容易想到的解法.它的优点是由前面的等式可 以得到y＝ 2x ，代入x＋y中，从而使二元变量变为一元变量，从而达到解题
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
四、整体减元
例4
已知函数f(x)＝xln
x－
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa 2
·x2－x＋a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极
值点.
(1)求a的取值范围；
解 0<a<21，过程略.
(2)设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1·x2>e2.
点评 此题属于难题.由证明的结论可知，结论中没有参数a，故首先需要先消
掉参数a.故由ln x1＝ax1，ln x2＝ax2变形后再消去a，但是也不能就这两个式子
x－8 的目的.
二、等量减元
例 2 设正实数 x，y，z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xzy取得最大值时，2x＋1y
－2z的最大值为
A.0
√B.1
C.94
解析 由已知得z＝x2－3xy＋4y2
D.3 (*)
则xzy＝x2－3xxyy＋4y2＝xy＋41xy－3≤1， 当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，
三、换元减元 例3 已知θ∈ 0，π2 ，不等式2sin θcos θ＋sin θ＋cos θ－m＋1≥0恒成立，求 实数m的取值范围.
点评 此题中的sin θcos θ，sin θ＋cos θ若不加处理难以将变量统一起来.但是， 观察到sin θcos θ与sin θ＋cos θ的关系，通过换元很巧妙的将变量完善统一起 来，达到减元的目的.
一、代入减元
例1 设x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值.
解
由
2x＋8y－xy＝0
得
y＝ 2x ，因为 x－8
x，y∈R＋，所以
x>8，
所以 x＋y＝x＋x－2x8＝x＋2x－x－88＋16＝x＋2＋x－168
＝(x－8)＋x－168＋10≥2 x－8·x－168＋10＝18，
所以2x＋1y－2z＝1y＋1y－y12＝－1y－12＋1≤1.
点评 此题是 2013 年山东高考理科第 12 题，作为选择题压轴题，其难度在于如 何寻求多元变量 x，y，z 之间的关系，进而达到减元的目的.其实，由xzy变到 x2－3xxyy＋4y2就已经应用到了代入消元，再由x2－3xxyy＋4y2变到xy＋4x1y－3仍然用到了 整体消元的思想(把yx当做整体)，从而寻求到了xzy取最大值时变量 x，y，z 之间的关 系.最后由2x＋1y－2z变到－y12＋2y应用到了 x，y，z 之间的等量关系进行减元，从而达 到求出最值的目的.这是一道典型的利用减元的方法求多元变量最值的例题.
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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
微专题一 多元变量的最值问题
[经验分享] 在数学中经常碰到求含有多个变量的最值问题，此类题目题型众多，解
法也很多，学生在面对含有多个变量的问题时，最大的困扰是不知从何处入 手.对于高中生，主要掌握的是一元变量的最值问题.因此，解决多元变量的最 值问题，减元是常见的办法.
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
简单地消掉a，只有这样才能有后面的将
x1 x2
当做整体进行减元的构造，从而达
到解决问题的目的，这也是解决此题的艺术精华所在.
以上几题均是求多元变量的最值问题，可以发现这类问题的基本策略是 减元，进而利用单元函数求最值，从而达到解题的目的.可见，减元是解决这 类多元最值问题的一把利器.
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
当且仅当 x－8＝x－168，即 x＝12 时，取“＝”号. 所以，当x＝12，y＝6时，x＋y取得最小值18.
点评 此题是一道学生经常见到的求多变量最值的试题，虽然此解法不是最
优的解法，但可能是学生比较容易想到的解法.它的优点是由前面的等式可 以得到y＝ 2x ，代入x＋y中，从而使二元变量变为一元变量，从而达到解题
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
四、整体减元
例4
已知函数f(x)＝xln
x－
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa 2
·x2－x＋a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极
值点.
(1)求a的取值范围；
解 0<a<21，过程略.
(2)设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1·x2>e2.
点评 此题属于难题.由证明的结论可知，结论中没有参数a，故首先需要先消
掉参数a.故由ln x1＝ax1，ln x2＝ax2变形后再消去a，但是也不能就这两个式子
x－8 的目的.
二、等量减元
例 2 设正实数 x，y，z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xzy取得最大值时，2x＋1y
－2z的最大值为
A.0
√B.1
C.94
解析 由已知得z＝x2－3xy＋4y2
D.3 (*)
则xzy＝x2－3xxyy＋4y2＝xy＋41xy－3≤1， 当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，
三、换元减元 例3 已知θ∈ 0，π2 ，不等式2sin θcos θ＋sin θ＋cos θ－m＋1≥0恒成立，求 实数m的取值范围.
点评 此题中的sin θcos θ，sin θ＋cos θ若不加处理难以将变量统一起来.但是， 观察到sin θcos θ与sin θ＋cos θ的关系，通过换元很巧妙的将变量完善统一起 来，达到减元的目的.
一、代入减元
例1 设x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值.
解
由
2x＋8y－xy＝0
得
y＝ 2x ，因为 x－8
x，y∈R＋，所以
x>8，
所以 x＋y＝x＋x－2x8＝x＋2x－x－88＋16＝x＋2＋x－168
＝(x－8)＋x－168＋10≥2 x－8·x－168＋10＝18，
所以2x＋1y－2z＝1y＋1y－y12＝－1y－12＋1≤1.
点评 此题是 2013 年山东高考理科第 12 题，作为选择题压轴题，其难度在于如 何寻求多元变量 x，y，z 之间的关系，进而达到减元的目的.其实，由xzy变到 x2－3xxyy＋4y2就已经应用到了代入消元，再由x2－3xxyy＋4y2变到xy＋4x1y－3仍然用到了 整体消元的思想(把yx当做整体)，从而寻求到了xzy取最大值时变量 x，y，z 之间的关 系.最后由2x＋1y－2z变到－y12＋2y应用到了 x，y，z 之间的等量关系进行减元，从而达 到求出最值的目的.这是一道典型的利用减元的方法求多元变量最值的例题.