第2章波动方程
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因此 Cauchy 问题的解为
2
u ( x, t ) =
1 1 x + at ⎡ + ϕ ( x − at ) + ϕ ( x + at ) ⎤ ψ ( ξ )d ξ . ⎣ ⎦ 2 2a ∫ x − at
（1.2）
通解的表达式是 D’Alembert 给出的，而 Cauchy 问题的求解公式是由 Euler 在 1748 年得 到的，人们称之为 D’Alembert 公式。 注 D’Alembert 公式可以改写为对称形式
为了求解（1.4） ，首先求解
2 ⎧ x ∈ \ , t > τ > 0, ⎪ wtt − a w xx = 0, ⎨ x ∈ \. ⎪ ⎩ w ( x , t ;τ ) t =τ = 0, wt ( x , t ;τ ) t =τ = f ( x ,τ ) , 作自变量变换 t ′ = t − τ ，则（1.5）化成， 2 ⎧ x ∈ \ , t ′ > 0, ⎪ wt ′t ′ − a w xx = 0, ⎨ x∈\ ⎪ ⎩ w t ′ = 0 = 0, wt ′ t ′ = 0 = f ( x ,τ ) ,
u ( A ) + u ( C ) = F ( x1 − at1 ) + G ( x1 + at1 ) + F ( x3 − at 3 ) + G ( x3 + at 3 ) , u ( B ) + u ( D ) = F ( x2 − at 2 ) + G ( x2 + at 2 ) + F ( x4 − at4 ) + G ( x4 + at 4 ) ,
令 w = u1 − u2 , 则 w ( x , t ) 满足
⎧ wtt − a 2 w xx = 0, x ∈ \ , t > 0, ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ w ( x , 0 ) = ϕ 1 − ϕ 2 , wt ( x , 0 ) = ψ 1 − ψ 2 , x ∈ \ .
由上面的估计式得
sup w ( x , t ) ≤ sup ϕ1 ( x ) − ϕ 2 ( x ) + T sup ψ 1 ( x ) − ψ 2 ( x ) .
F ( x − at ) 的解所描述的运动规律，称为右行波，a 是传播速度。同样，形如 G ( x + at ) 的
解，称为左行波。因此一维齐次波动方程的通解是右行波和左行波的叠加，其中 a 是行波 的传播速度。故由一维齐次波动方程的通解求其定解问题的特解的方法又称为行波法。 一维齐次波动方程的解具有如下性质：
x ,t x x
所以在连续函数空间的范数意义下，若初值变化很小，则相应的解的变化也很小，即解是 稳定的。 从 D’Alembert 公式可见，Cauchy 问题的解 u 在点 ( x , t ) 处的值由 ϕ 在点 x − at 和点
x + at 处的值以及ψ 在区间 [ x − at , x + at ] 上的值唯一确定，而与 [ x − at , x + at ] 外的初
2 ⎧ x ∈ \ , t > 0, ⎪ utt − a uxx = f ( x , t ) , ⎨ ⎪ ⎩ u ( x , 0 ) = ϕ ( x ) , ut ( x , 0 ) = ψ ( x ) , x ∈ \ .
（1.3）
由叠加原理，令 u = u1 + u2 ，其中 u1 满足初值问题（1.1） ，且可由 D’Alembert 公式（1.2） 直接给出
u2 ( x , t ) =
x + a ( t −τ ) 1 t d τ f ( ξ ,τ )dξ , 2a ∫0 ∫ x − a ( t −τ )
u1 ( x , t ) =
1 ⎧∂ ⎨ 2a ⎩ ∂ t
∫
x + at x − at
ϕ ( ξ )d ξ + ∫
x + at x − at
ψ ( ξ )dξ ⎬ .
⎫ ⎭
u2 满足非齐次方程的初值问题
4
⎧ utt − a 2 uxx = f ( x , t ) , x ∈ \ , t > 0, ⎪ ⎨ x ∈ \. ⎪ ⎩ u ( x , 0 ) = 0, ut ( x , 0 ) = 0,
第二章波动方程
本章讨论与波动方程
utt − a 2 Δu = f ,
a > 0, x ∈ \ n , t > 0
有关的初值问题和边值问题解的存在性、唯一性和稳定性。波动方程是双曲型方程的典型 代表。当 n = 1 时，上述方程就是前面已导出的弦振动方程。达朗贝尔在 1746 年的论文《紧 张的弦振动时形成的曲线的研究》中，导出了这个方程并对 f = 0 的情形得到其通解形式， 这便成为偏微分方程理论的开端。
A ( x1 , t1 ) , B ( x2 , t 2 ) , C ( x3 , t 3 ) 和 D ( x4 , t 4 ) ，
由于它们是特征线的交点，所以有
x1 + at1 = x4 + at4 , x2 + at 2 = x3 + at 3 ,
利用通解公式可得
x3 − at 3 = x4 − at4 , x1 − at1 = x2 − at 2 ,
x ,t x x
其中 x ∈ \ , t ∈ [ 0, T ] . 利用此估计式可得 Cauchy 问题（1.1）的解对初值的连续依赖性。 设有下面两个初值问题
2 ⎧ x ∈ \ , t > 0, ⎪ u1, tt − a u1, xx = 0, ⎨ ⎪ ⎩ u1 ( x , 0 ) = ϕ1 ( x ) , u1,t ( x , 0 ) = ψ 1 ( x ) , x ∈ \ , 2 ⎧ x ∈ \ , t > 0, ⎪ u2,tt − a u2, xx = 0, ⎨ ⎪ ⎩ u2 ( x , 0 ) = ϕ 2 ( x ) , u2,t ( x , 0 ) = ψ 2 ( x ) , x ∈ \ .
值无关。这个区间 [ x − at , x + at ] 称为点 ( x , t ) 的依赖区间。它是过点 ( x , t ) 分别作斜率
3
为±
1 的直线（特征线）与 x 轴所交截而得的区间。 a
对 x 轴上的某区间 ⎡ ⎣ x1 , x2 ⎤ ⎦ ，过点 ( x1 , 0 ) 作右特征线 x = x1 + at ，过点 ( x2 , 0 ) 作左
1
引理 1.1 设 u ( x , t ) 是齐次波动方程 utt − a uxx = 0 的解，
2
A, C 和 B , D 是由波动方程的特征线在解域中构成的
平行四边形的两对对顶点（如图） ，则
u ( A) + u ( C ) = u ( B ) + u ( D ) .
证明 设平行四边形的顶点坐标分别为
u ( x , t ) ∈ C 2 ( \ × \ + ) , 它由 D’Alembert 公式给出，且 u ( x , t ) 连续依赖于初始函数 ϕ 和
ψ.
由 D’Alembert 公式可直接得到解在有限时间 [ 0, T ] 内的估计式为
sup u ( x , t ) ≤ sup ϕ ( x ) + T sup ψ ( x ) ,
（1.4）
（1.5）
（1.6）
的形式，于是再利用 D’Alembert 公式有
w ( x , t ;τ ) =
1 x + at ′ 1 x + a ( t −τ ) , f ξ τ d ξ = f ( ξ ,τ )dξ . ( ) ∫ 2a x − at ′ 2a ∫ x − a ( t −τ )
从而由齐次化原理可知（1.4）的解为
特征线 x = x2 − at ，它们和 x 轴上的线段 ⎡ ⎣ x1 , x2 ⎤ ⎦ 一起围成特征三角形，此三角形区域中 的任一点 ( x , t ) 的依赖区间都是区间 ⎣ ⎡ x1 , x2 ⎤ ⎦ 的子集。因此，Cauchy 问题的解 u 在此三角 形区域中的任一点 ( x , t ) 的值完全由区间 ⎡ 而与此区间外的初始 ⎣ x1 , x2 ⎤ ⎦ 上的初始条件决定， 条件无关。称这个三角形区域为区间 ⎡ ⎣ x1 , x2 ⎤ ⎦ 的决定区域。 对 x 轴上的某区间 ⎡ ⎦ ，过点 ( x1 , 0 ) 作左特征线 x = x1 − at ，过点 ( x2 , 0 ) 作右 ⎣ x1 , x2 ⎤ 特征线 x = x2 + at ，它们和 x 轴上的线段 ⎡ ⎣ x1 , x2 ⎤ ⎦ 一起围成梯形区域
将上式积分一次有
G ( x) − F ( x) =
从而可解出 F 和 G ：
1 x ψ ( ξ ) d ξ + G ( x0 ) − F ( x0 ) , a ∫ x0
1 1 x 1 F ( x) = ϕ ( x) − ψ ( ξ )d ξ − ⎡ G ( x0 ) − F ( x0 ) ⎤ ∫ ⎦, x 2 2a 0 2⎣ 1 1 x 1 G ( x) = ϕ ( x) + ψ ( ξ )dξ + ⎡ G ( x0 ) − F ( x0 ) ⎤ ∫ ⎦, 2 2a x 0 2⎣
非齐次方程的初值问题考察强迫振动情形的初值问题ttxx13由叠加原理令其中满足初值问题11且可由dalembert公式12直接给出ttxx14为了求解14首先求解ttxx15作自变量变换t16的形式于是再利用dalembert公式有17定理12cauchy问题13存在唯一的解它由dalembert公式17给出且在有限时间内是一致稳定的按连续函数空间的范数
u ( x, t ) =
直接验证可得 定 理 1.1
1 ⎧∂ ⎨ 2a ⎩ ∂ t
2
∫
x + at x − at
ϕ ( ξ )dξ + ∫
x + at x − at
ψ ( ξ )dξ ⎬ .
⎫ ⎭
设 ϕ ∈C
(\) , ψ ∈ C1 (\) , 则
Cauchy 问 题 （ 1.1 ） 存 在 唯 一 的 解
§1
达朗贝尔（D’Alembert）公式
本节讨论一维波动方程的初值问题的达朗贝尔解法。
1．齐次方程的通解
由第一章§5 例 1 知，弦振动方程
utt − a 2 uxx = 0,
可以通过引入特征坐标
a > 0, x ∈ \ , t > 0,
ξ = x + at ,
化为
η = x − at ,
uξη = 0,
Q = {( x , t ) : x1 − at ≤ x ≤ x2 + at , t > 0} .
在 Q 内的任一点 ( x , t ) 的依赖区间都与区间 ⎡ 从而， Cauchy 问题的解 u ⎣ x1 , x2 ⎤ ⎦ 的交集非空， 在 Q 内的任一点 ( x , t ) 的值与区间 ⎡ ⎣ x1 , x2 ⎤ ⎦ 上的初值有关；在 Q 外的任一点 ( x , t ) 的依赖 区间都与区间 ⎡ ⎦ 的交集是空集，从而，Cauchy 问题的解 u 在 Q 外的任一点 ( x , t ) 的 ⎣ x1 , x2 ⎤ 值与区间 ⎡ ⎣ x1 , x2 ⎤ ⎦ 的影响区域。 ⎦ 上的初值无关。因此称区域 Q 为区间 ⎡ ⎣ x1 , x2 ⎤ 由上述讨论可知，两条特征线对一维波动方程的研究起着重要作用，因此这种解法也 称为特征线法。此方法适用于两个变量的双曲型方程。 3．非齐次方程的初值问题 考察强迫振动情形的初值问题
引理证毕。
2．齐次方程的初值问题（Cauchy 问题）
考察问题
⎧ utt − a 2 uxx = 0, x ∈ \ , t > 0, ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ u ( x , 0 ) = ϕ ( x ) , ut ( x , 0 ) = ψ ( x ) , x ∈ \ .
利用齐次波动方程的通解表达式：
（1.1）
u ( x , t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) ,
再由（1.1）中的初始条件可得
u ( x, 0) = F ( x ) + G ( x ) = ϕ ( x ) , ut ( x , 0 ) = − aF ′ ( x ) + aG ′ ( x ) = ψ ( x ) ,
= F ( x − at ) , u
a>0
显然是弦振动方程的解。给 t 以不同的值，就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相
= F ( x ) 对应于初始的振动状态，而 u = F ( x − at ) 作为 ( x , u )平 应位置。在 t = 0 时， u = F ( x ) 向 右 平 移 了 at 个 单 位 ， 所 以 齐 次 弦 振 动 方 程 的 形 如 面上的曲线是曲线 u
从而，弦振动方程的通解为
u = F (η ) + G ( ξ ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) ,
其中 F 和 G 是任意两个二阶连续可微的单变量函数，方程的两族特征线 x − at = c1 和
x + at = c2 分别称为右行特征线和左行特征线。
当 G = 0 时，则
2
u ( x, t ) =
1 1 x + at ⎡ + ϕ ( x − at ) + ϕ ( x + at ) ⎤ ψ ( ξ )d ξ . ⎣ ⎦ 2 2a ∫ x − at
（1.2）
通解的表达式是 D’Alembert 给出的，而 Cauchy 问题的求解公式是由 Euler 在 1748 年得 到的，人们称之为 D’Alembert 公式。 注 D’Alembert 公式可以改写为对称形式
为了求解（1.4） ，首先求解
2 ⎧ x ∈ \ , t > τ > 0, ⎪ wtt − a w xx = 0, ⎨ x ∈ \. ⎪ ⎩ w ( x , t ;τ ) t =τ = 0, wt ( x , t ;τ ) t =τ = f ( x ,τ ) , 作自变量变换 t ′ = t − τ ，则（1.5）化成， 2 ⎧ x ∈ \ , t ′ > 0, ⎪ wt ′t ′ − a w xx = 0, ⎨ x∈\ ⎪ ⎩ w t ′ = 0 = 0, wt ′ t ′ = 0 = f ( x ,τ ) ,
u ( A ) + u ( C ) = F ( x1 − at1 ) + G ( x1 + at1 ) + F ( x3 − at 3 ) + G ( x3 + at 3 ) , u ( B ) + u ( D ) = F ( x2 − at 2 ) + G ( x2 + at 2 ) + F ( x4 − at4 ) + G ( x4 + at 4 ) ,
令 w = u1 − u2 , 则 w ( x , t ) 满足
⎧ wtt − a 2 w xx = 0, x ∈ \ , t > 0, ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ w ( x , 0 ) = ϕ 1 − ϕ 2 , wt ( x , 0 ) = ψ 1 − ψ 2 , x ∈ \ .
由上面的估计式得
sup w ( x , t ) ≤ sup ϕ1 ( x ) − ϕ 2 ( x ) + T sup ψ 1 ( x ) − ψ 2 ( x ) .
F ( x − at ) 的解所描述的运动规律，称为右行波，a 是传播速度。同样，形如 G ( x + at ) 的
解，称为左行波。因此一维齐次波动方程的通解是右行波和左行波的叠加，其中 a 是行波 的传播速度。故由一维齐次波动方程的通解求其定解问题的特解的方法又称为行波法。 一维齐次波动方程的解具有如下性质：
x ,t x x
所以在连续函数空间的范数意义下，若初值变化很小，则相应的解的变化也很小，即解是 稳定的。 从 D’Alembert 公式可见，Cauchy 问题的解 u 在点 ( x , t ) 处的值由 ϕ 在点 x − at 和点
x + at 处的值以及ψ 在区间 [ x − at , x + at ] 上的值唯一确定，而与 [ x − at , x + at ] 外的初
2 ⎧ x ∈ \ , t > 0, ⎪ utt − a uxx = f ( x , t ) , ⎨ ⎪ ⎩ u ( x , 0 ) = ϕ ( x ) , ut ( x , 0 ) = ψ ( x ) , x ∈ \ .
（1.3）
由叠加原理，令 u = u1 + u2 ，其中 u1 满足初值问题（1.1） ，且可由 D’Alembert 公式（1.2） 直接给出
u2 ( x , t ) =
x + a ( t −τ ) 1 t d τ f ( ξ ,τ )dξ , 2a ∫0 ∫ x − a ( t −τ )
u1 ( x , t ) =
1 ⎧∂ ⎨ 2a ⎩ ∂ t
∫
x + at x − at
ϕ ( ξ )d ξ + ∫
x + at x − at
ψ ( ξ )dξ ⎬ .
⎫ ⎭
u2 满足非齐次方程的初值问题
4
⎧ utt − a 2 uxx = f ( x , t ) , x ∈ \ , t > 0, ⎪ ⎨ x ∈ \. ⎪ ⎩ u ( x , 0 ) = 0, ut ( x , 0 ) = 0,
第二章波动方程
本章讨论与波动方程
utt − a 2 Δu = f ,
a > 0, x ∈ \ n , t > 0
有关的初值问题和边值问题解的存在性、唯一性和稳定性。波动方程是双曲型方程的典型 代表。当 n = 1 时，上述方程就是前面已导出的弦振动方程。达朗贝尔在 1746 年的论文《紧 张的弦振动时形成的曲线的研究》中，导出了这个方程并对 f = 0 的情形得到其通解形式， 这便成为偏微分方程理论的开端。
A ( x1 , t1 ) , B ( x2 , t 2 ) , C ( x3 , t 3 ) 和 D ( x4 , t 4 ) ，
由于它们是特征线的交点，所以有
x1 + at1 = x4 + at4 , x2 + at 2 = x3 + at 3 ,
利用通解公式可得
x3 − at 3 = x4 − at4 , x1 − at1 = x2 − at 2 ,
x ,t x x
其中 x ∈ \ , t ∈ [ 0, T ] . 利用此估计式可得 Cauchy 问题（1.1）的解对初值的连续依赖性。 设有下面两个初值问题
2 ⎧ x ∈ \ , t > 0, ⎪ u1, tt − a u1, xx = 0, ⎨ ⎪ ⎩ u1 ( x , 0 ) = ϕ1 ( x ) , u1,t ( x , 0 ) = ψ 1 ( x ) , x ∈ \ , 2 ⎧ x ∈ \ , t > 0, ⎪ u2,tt − a u2, xx = 0, ⎨ ⎪ ⎩ u2 ( x , 0 ) = ϕ 2 ( x ) , u2,t ( x , 0 ) = ψ 2 ( x ) , x ∈ \ .
值无关。这个区间 [ x − at , x + at ] 称为点 ( x , t ) 的依赖区间。它是过点 ( x , t ) 分别作斜率
3
为±
1 的直线（特征线）与 x 轴所交截而得的区间。 a
对 x 轴上的某区间 ⎡ ⎣ x1 , x2 ⎤ ⎦ ，过点 ( x1 , 0 ) 作右特征线 x = x1 + at ，过点 ( x2 , 0 ) 作左
1
引理 1.1 设 u ( x , t ) 是齐次波动方程 utt − a uxx = 0 的解，
2
A, C 和 B , D 是由波动方程的特征线在解域中构成的
平行四边形的两对对顶点（如图） ，则
u ( A) + u ( C ) = u ( B ) + u ( D ) .
证明 设平行四边形的顶点坐标分别为
u ( x , t ) ∈ C 2 ( \ × \ + ) , 它由 D’Alembert 公式给出，且 u ( x , t ) 连续依赖于初始函数 ϕ 和
ψ.
由 D’Alembert 公式可直接得到解在有限时间 [ 0, T ] 内的估计式为
sup u ( x , t ) ≤ sup ϕ ( x ) + T sup ψ ( x ) ,
（1.4）
（1.5）
（1.6）
的形式，于是再利用 D’Alembert 公式有
w ( x , t ;τ ) =
1 x + at ′ 1 x + a ( t −τ ) , f ξ τ d ξ = f ( ξ ,τ )dξ . ( ) ∫ 2a x − at ′ 2a ∫ x − a ( t −τ )
从而由齐次化原理可知（1.4）的解为
特征线 x = x2 − at ，它们和 x 轴上的线段 ⎡ ⎣ x1 , x2 ⎤ ⎦ 一起围成特征三角形，此三角形区域中 的任一点 ( x , t ) 的依赖区间都是区间 ⎣ ⎡ x1 , x2 ⎤ ⎦ 的子集。因此，Cauchy 问题的解 u 在此三角 形区域中的任一点 ( x , t ) 的值完全由区间 ⎡ 而与此区间外的初始 ⎣ x1 , x2 ⎤ ⎦ 上的初始条件决定， 条件无关。称这个三角形区域为区间 ⎡ ⎣ x1 , x2 ⎤ ⎦ 的决定区域。 对 x 轴上的某区间 ⎡ ⎦ ，过点 ( x1 , 0 ) 作左特征线 x = x1 − at ，过点 ( x2 , 0 ) 作右 ⎣ x1 , x2 ⎤ 特征线 x = x2 + at ，它们和 x 轴上的线段 ⎡ ⎣ x1 , x2 ⎤ ⎦ 一起围成梯形区域
将上式积分一次有
G ( x) − F ( x) =
从而可解出 F 和 G ：
1 x ψ ( ξ ) d ξ + G ( x0 ) − F ( x0 ) , a ∫ x0
1 1 x 1 F ( x) = ϕ ( x) − ψ ( ξ )d ξ − ⎡ G ( x0 ) − F ( x0 ) ⎤ ∫ ⎦, x 2 2a 0 2⎣ 1 1 x 1 G ( x) = ϕ ( x) + ψ ( ξ )dξ + ⎡ G ( x0 ) − F ( x0 ) ⎤ ∫ ⎦, 2 2a x 0 2⎣
非齐次方程的初值问题考察强迫振动情形的初值问题ttxx13由叠加原理令其中满足初值问题11且可由dalembert公式12直接给出ttxx14为了求解14首先求解ttxx15作自变量变换t16的形式于是再利用dalembert公式有17定理12cauchy问题13存在唯一的解它由dalembert公式17给出且在有限时间内是一致稳定的按连续函数空间的范数
u ( x, t ) =
直接验证可得 定 理 1.1
1 ⎧∂ ⎨ 2a ⎩ ∂ t
2
∫
x + at x − at
ϕ ( ξ )dξ + ∫
x + at x − at
ψ ( ξ )dξ ⎬ .
⎫ ⎭
设 ϕ ∈C
(\) , ψ ∈ C1 (\) , 则
Cauchy 问 题 （ 1.1 ） 存 在 唯 一 的 解
§1
达朗贝尔（D’Alembert）公式
本节讨论一维波动方程的初值问题的达朗贝尔解法。
1．齐次方程的通解
由第一章§5 例 1 知，弦振动方程
utt − a 2 uxx = 0,
可以通过引入特征坐标
a > 0, x ∈ \ , t > 0,
ξ = x + at ,
化为
η = x − at ,
uξη = 0,
Q = {( x , t ) : x1 − at ≤ x ≤ x2 + at , t > 0} .
在 Q 内的任一点 ( x , t ) 的依赖区间都与区间 ⎡ 从而， Cauchy 问题的解 u ⎣ x1 , x2 ⎤ ⎦ 的交集非空， 在 Q 内的任一点 ( x , t ) 的值与区间 ⎡ ⎣ x1 , x2 ⎤ ⎦ 上的初值有关；在 Q 外的任一点 ( x , t ) 的依赖 区间都与区间 ⎡ ⎦ 的交集是空集，从而，Cauchy 问题的解 u 在 Q 外的任一点 ( x , t ) 的 ⎣ x1 , x2 ⎤ 值与区间 ⎡ ⎣ x1 , x2 ⎤ ⎦ 的影响区域。 ⎦ 上的初值无关。因此称区域 Q 为区间 ⎡ ⎣ x1 , x2 ⎤ 由上述讨论可知，两条特征线对一维波动方程的研究起着重要作用，因此这种解法也 称为特征线法。此方法适用于两个变量的双曲型方程。 3．非齐次方程的初值问题 考察强迫振动情形的初值问题
引理证毕。
2．齐次方程的初值问题（Cauchy 问题）
考察问题
⎧ utt − a 2 uxx = 0, x ∈ \ , t > 0, ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ u ( x , 0 ) = ϕ ( x ) , ut ( x , 0 ) = ψ ( x ) , x ∈ \ .
利用齐次波动方程的通解表达式：
（1.1）
u ( x , t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) ,
再由（1.1）中的初始条件可得
u ( x, 0) = F ( x ) + G ( x ) = ϕ ( x ) , ut ( x , 0 ) = − aF ′ ( x ) + aG ′ ( x ) = ψ ( x ) ,
= F ( x − at ) , u
a>0
显然是弦振动方程的解。给 t 以不同的值，就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相
= F ( x ) 对应于初始的振动状态，而 u = F ( x − at ) 作为 ( x , u )平 应位置。在 t = 0 时， u = F ( x ) 向 右 平 移 了 at 个 单 位 ， 所 以 齐 次 弦 振 动 方 程 的 形 如 面上的曲线是曲线 u
从而，弦振动方程的通解为
u = F (η ) + G ( ξ ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) ,
其中 F 和 G 是任意两个二阶连续可微的单变量函数，方程的两族特征线 x − at = c1 和
x + at = c2 分别称为右行特征线和左行特征线。
当 G = 0 时，则