江苏省通锡苏2015届高考密卷数学考试试题

绝密★启用前
通锡苏2015届高考数学密卷
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1.已知集合{}{}=13579,=37U A ，，，，，，则U A =ð_________.
2. 已知复数z 满足2=1
i z i --(i 为虚数单位)，则||z =_________. 3. 通锡苏学大教育目前有高一、高二、高三年级学生人数分别为600人、
588人、612人，现用分层抽样的方法从三个年级中抽取一些学生参加“我为国
家添绿色”植树行动，若从高三年级抽取了51人，则三个年级共抽取的学生
人数应为_________.
4. 从1,2,3,5四个数中随机地选取三个不同的数，则所取三个数能构成等差数
列的概率是_________.
5. 右图是一个算法流程图，则输出的n 值为_________.
6. 函数2()cos cos f x x x x =+，则函数()f x 在区间83
ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的最小值为_________.
7. 已知圆锥的母线长为5_________.
8. 函数2()ln 1f x a x bx =++在与x 轴交点处的切线方程为1y x =-，
则ab =________.
9. 如图，在直角梯形ABCD 中，//AB AD AB CD ⊥，，E 为CD 中点，24AB CD ==，若4AE BE ⋅=，则=AC BC ⋅_________.
10. 已知正实数x y 、满足2y x >，则22
2
22y xy x xy x -+-最小值为_________. 11. 一元二次不等式203ax c ≤+≤的解集为[][],13,4d d d d +++，则实数a 的值为______.
12. 函数2,0()11+,022x x x f x x x ⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩
，若方程()=f x kx k -有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为
_________.
13. 已知圆22:4O x y +=，点A 为圆O 与x 轴正半轴交点，过点(4,0)B -的直线与圆O 交于P Q 、两点
（不同于点A ），则APQ S ∆的最大值为_________.
14.等比数列{}n a 的各项均为正数，167671+12a a a a a >,+>>，记{}n a 前n 项积为n T ，则满足1n T >的
最大正整数n 的值为_________.
二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
15.(本小题满分14分)
在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，233
ABC AB AC S ∆⋅=
. （1）求角A 的大小；
（2）若4a =，求ABC ∆周长的取值范围.
16.(本小题满分14分)
如图，在正三棱柱'''ABC A B C -中，D E 、分别为''CC A B ，中点，'CC .
求证：（1）直线'//EC 平面ABD ；
（2）直线EC ⊥平面ABD .
17.（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的
左、右焦点分别为12F F 、，动直线l 与椭圆相切于点
P ，作12F A F B 、垂直于直线l ，垂足分别为A B 、.记21
=BF AF λ，当P 为左顶点时，=9λ.且当=1λ时，四边形12AF F B 的周长为22. （1）试确定椭圆的标准方程；
（2）求证：21BF AF ⋅为定值.
18.(本小题满分16分)
如图，折线AOB 为一条客机的飞行航线，其中OA OB 、夹角为23
π.若一架客机沿A O B --方向飞行至距离O 点90km 处的C 点时，发现航线转折点O 处开始产生一个圆形区域的高压气旋，高压气旋范围内的区域为危险区域（含边界）. 为了保证飞行安全，客机航线需临时调整为CD .若CD 与OA 的夹角为θ，D 在OB 上.已知客机的飞行速度为15/min km .
（1）当飞机在临时航线上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示飞机到O 点的距离OE ；
（2）当飞机在临时航线上飞行t 分钟时，高压气旋半径3r =，且半径增大到81km 时不再继续增大.若CD 与OA 的夹角=
4πθ，试计算飞机在临时航线CD 上是否能安全飞行.
19.（本小题满分16分）
设函数2
(),()ln f x ax bx g x x =+=，其中a b 、为常数.
（1）若0a =，且()f x 与()g x 相切，求b 的值.
（2）设函数()()()h x f x g x =-.
（i ）当0b =时，若()0h x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（ii ）若0a b +=，试讨论()h x 的零点个数.
20.（本小题满分16分）
已知数列{}n a 满足1+1112,2,24n n n n a b b a a b +==+==.
（1）求2a 及3b 的值；
（2）求证：224242
n n n n a b a b ++++=++； （3）求数列{}n n a b -的前n 项和n S .
通锡苏学大教育2015届高考数学密卷
数学附加题
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
答．
．若多做，则按作答的前两小题评分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，已知PA 为O 的切线，A 为切点，
直线PO 交O 于点E F 、，过点A 作PO 的垂线交O 于点B ,
垂足为D .
证明:24EF OD OP =⋅.
B ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分） 设矩阵2003M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，求曲线1:22=+y x C 在矩阵1M -所对应的的线性变换作用下得到的曲线方程.
C ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知三点(4,0)A 、3(4,)2
B π、(,)6
C πρ． （1）若A B C 、、三点共线，求ρ的值；
（2）求过OAB 三点的圆的极坐标方程.
D ．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
实数z y x ,,满足0,0,0>>>z y x 32222
x y z ≤+++.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．
作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
在棱长为4的正方体''''ABCD A B C D -中，点P 在棱'CC 上，且'2CC CP =.
（1）求直线'AA 与平面'APD 所成角的正弦值；
（2）求二面角'A D P B --的余弦值.
23. (本小题满分10分).
设(21),(2)(21)p p
p n n a n b n n =+=+-，其中p n N +∈、.
（1）当2p =时，试比较n a 与n b 的大小；
（2）当p n =时，求证：n n a b ≥对n N +∀∈恒成立.
绝密★启用前
通锡苏2015届高考数学密卷
参考答案
命题人：周城、王力、顾丹丹、薄宏志、叶华兴、唐泽、李雷、梁倞、王举 审核人：周坤、李强
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
6.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

7.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

8.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

9.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

10.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 已知集合{}{}=13579,=37U A ，，，，，，则U A =ð_________. 答案：{}159，，
2. 已知复数z 满足2
=1
i z i --(i 为虚数单位)，则||z =_________.
答案：
2
3. 通锡苏学大教育目前有高一、高二、高三年级学生人数分别为
600人、588人、612人，现用分层抽样的方法从三个年级中抽
取一些学生参加“我为国家添绿色”植树行动，若从高三年级抽取
了51人，则三个年级共抽取的学生人数应为_________. 答案：150
4. 从1,2,3,5四个数中随机地选取三个不同的数，则所取三个数能
构成等差数列的概率是_________. 答案：
1
2
5. 右图是一个算法流程图，则输出的n 值为_________.
答案：10 （第5题）
6.
函数2
()cos cos f x x x x =+，则函数()f x 在区间83ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的最小值为_________.
答案：1
7. 已知圆锥的母线长为5
_________. 答案：
2
5
8. 函数2()ln 1f x a x bx =++在与x 轴交点处的切线方程为1y x =-，则ab =________. 答案：3-
9. 如图，在直角梯形ABCD 中，//AB AD AB CD ⊥，，E 为CD 中点，
24AB CD ==，若4AE BE ⋅=，则=AC BC ⋅_________.
答案：3 （第9题）
10. 已知正实数x y 、满足2y x >，则22
2
22y xy x xy x
-+-最小值为_________. 答案：4
13. 一元二次不等式2
03ax c ≤+≤的解集为[]
[],13,4d d d d +++，则实数a 的值为______.
答案：1±
14. 函数2,0()11+,022x x x f x x x ⎧->⎪
=⎨-≤⎪⎩
，若方程()=f x kx k -有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为
_________. 答案：1(1,)
3⎧⎫+∞-⎨⎬⎩⎭
13. 已知圆22:4O x y +=，点A 为圆O 与x 轴正半轴交点，过点(4,0)B -的直线与圆O 交于P Q 、两点（不同于点A ），则APQ S ∆的最大值为_________. 答案：3
14.等比数列{}n a 的各项均为正数，167671+12a a a a a >,+>>，记{}n a 前n 项积为n T ，则满足1n T >
的最大正整数n 的值为_________. 答案：12
二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
15.(本小题满分14分)
在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，23
ABC AB AC S ∆⋅=. （1）求角A 的大小；
（2）若4a =，求ABC ∆周长的取值范围.
解析：（1）由23
3
ABC AB AC S ∆⋅=
，
易得cos sin bc A A ，
即tan 3
A A π
=
=
.........................................（6分）
（2）因为3
A π
=
，4a =，所以422=
sin 33
R B C A π==-
周长=4=4+(sin sin )3
a b c b c B C ++=+++................（10分） 化简得4+8sin(+)6
a b c C π
++=
因为2(0,)3
C π
∈，所以(8,12]a b c ++∈.......................（14分）
如图，在正三棱柱'''ABC A B C -中，D E 、分别为''CC A B ，中点，'CC . 求证：（1）直线'//EC 平面ABD ； （2）直线EC ⊥平面ABD .
解析：（1）作AB 中点O ，连接OE OD 、 E O 、为',A B AB 中点 1
//
'2
OE AA ∴ 又
1
''2
C D CC = //'OE C D ∴
∴四边形'EODC 为平行四边形 '//C E OD ∴
又OD ⊆面ABD ，'C E ⊄面ABD
'//C E ∴面ABD ...................（6分） （2）连接OC DE 、
三棱柱'''ABC A B C -为正三棱柱 ∴'AA ⊥面ABC EO ∴⊥面ABC
AB OC ⊆、面ABC ∴,EO AB EO OC ⊥⊥
1'2EO CC OC ===
∴四边形EOCD 为正方形 EC OD ∴⊥ 又CA CB = AB OC ∴⊥
EO OC 、是平面'EOCC 内的相交直线 ∴AB ⊥面'EOCC EC ⊆面'EOCC ∴AB EC ⊥
AB OD 、是平面ABD 内的相交直线
∴直线EC ⊥平面ABD .................................（14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，动直线l 与椭
圆相切于点P ，作12F A
F B 、垂直于直线l ，垂足分别为A B 、.记2
1
=BF AF λ，当P 为左顶点时，=9λ.且当=1λ时，四边形12AF F B 的周长为22.
（1）试确定椭圆的标准方程； （3）求证：21BF AF ⋅为定值.
解析：（1）因为直线l 与x 轴垂直时，=9λ 即9()a c a c +=- 易得53
,44
a c
b
c =
= 当=1λ时，P 为短轴端点，此时
1212,2AF BF b AB F F c ====
根据题意，2(2)22b c +=，易得5,3,4a b c ===
故椭圆标准方程为22
1259
x y +=...............................（5分）
（2）当直线斜率不存在时，21()()9BF AF a c a c ⋅=-⋅+=
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，带入椭圆方程，可得
22
()1259
x kx m ++=，整理得222(259)50252250k x kmx m +++-=
因为直线与椭圆相切，故判别式为零，即=0∆，化简可得2
2
259m k =+ ...........................................................（9分）
易得12AF BF =
=
则22
22
21221625916=
=91
1
k m k k BF AF k k -+-⋅=++
即21BF AF ⋅为定值9.........................................（14分）
18.(本小题满分16分
)
如图，折线AOB 为一条客机的飞行航线，其中OA OB 、夹角为
23
π
.若一架客机沿A O B --方向飞行至距离O 点90km 处的C 点时，发现航线转折点O 处开始产生一个圆形区域的高压气旋，高压气旋范围内的区域为危险区域（含边界）. 为了保证飞行安全，客机航线需临时调整为CD .若CD 与OA 的夹角为θ，D 在OB 上.已知客机的飞行速度为15/min km .
（1）当飞机在临时航线上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示飞机到O 点的距离OE ；
（2）当飞机在临时航线上飞行t
分钟时，高压气旋半径3r =，且半径增大到81km 时不再继续增大.若CD 与OA 的夹角=
4
π
θ，试计算飞机在临时航线CD 上是否能安全飞行.
解析：（1）由题意可得，15,90CE t OC ==
由余弦定理，2
2
2
=2cos OE OC CE OC CE θ+-⋅⋅
即OE
（5分） （2）若=4
π
θ，则=
12
ODC π
∠，由正弦定理易得
2sin sin
312
CD OC
ππ=
，即CD km ................（7分） 飞机在临时航线CD
上飞行总时间为
15
当高压气旋半径381r =≤
时，9t ≤< （i ）当09t ≤≤时，23
9r t =
，22=225(36)OE t -+
2232
9(25900)r OE t t -=-+-
设32
()25900f t t t =-+-
则2'()350f t t t =-+
2
=50430∆-⨯⨯<
即'()0f t >恒成立，()f t 单调递增，
又因为经计算得max ()=(9)0f t f <，所以()0f t <在[0,9]上恒成立 即r OE <，飞机能安全飞行...........................（12分） （ii
）当9t <≤81r =
81OE r -=-
设()81g t =
易知()g t
在上单调递增，且(9)0g > 所以()0g t >
在上恒成立，
即r OE <，飞机能安全飞行.........................（15分）
答：（1）飞机到O
点的距离OE （2）飞机在临时航线CD 上能安全飞行........................（16分） 19.（本小题满分16分）
设函数2
(),()ln f x ax bx g x x =+=，其中a b 、为常数. （1）若0a =，且()f x 与()g x 相切，求b 的值. （2）设函数()()()h x f x g x =-.
（i ）当0b =时，若()0h x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （ii ）若0a b +=，试讨论()h x 的零点个数. 解析：（1）当0a =时，(),()ln f x bx g x x == 设切点为000000
1
(,),ln ,'()x y y x g x b x === 所以切线方程为000
1
()y y x x x -=
- 又因为切线过(0,0)001,y x e ∴== 1
b e
∴=
....................................................（3分） （2）（i ）当0b =时，2
()ln 0(0)h x ax x x =-≥>恒成立即[]min ()0h x ≥
2,
121
()20ax h x ax x x
-=-=
>，221ax > a ） 当0a ≤时，'()0h x <恒成立，故()h x 在()0,+∞上单调递减， 又因为(1)0h ≤，所以()0h x ≥不恒成立，舍去 b ） 当0a >
时，2
1,2x x a >
>()h x
在⎛ ⎝
上单调递减，
⎫
+∞⎪⎪⎭
上单调递增
[
]min 1()ln 02h x h ∴==-≥解得：12a e
≥ 综上所述：a 的取值范围为1,2e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
........................（7分） （ii ）
0a b +=即a b =-，2(),()ln f x ax ax g x x =-=
a ） 当0a ≤时，在()0,1上，()0,()0f x g x ≥<，故()0h x >
在()1,+∞上，()0,()0f x g x ≤>，故()0h x <
当1x =时，()h x 有唯一一个零点........................（9分） b ） 当0a >时，2()ln h x ax ax x =--，(1)0h =
2121
'()20ax ax h x ax a x x
--=--=
= 2
210ax ax --=
，14a x a
=（舍）
，24a x a =
故()h x
在0,4a a ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，
4a a ⎛⎫
++∞ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递增
1
）当14a a
=时，即1a =时有一个零点.........（11分）
2
(0,1)，即(1,+)a ∈∞时，
因为()h x
在⎫
+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，且(1)0h =
则必有(04a h a
<
又因为1()04h >
且14< 故()h x
在14⎛ ⎝⎭
上必存在一零点
即此时()h x 有两个零点..............................（13分）
3
(1,+)∞，即(01)a ∈，
时， 因为()h x
在04a a ⎛ ⎪⎝⎭，上单调递减，且(1)0h =
则必有(04a h a
<
又因为111()ln 0h a a a =-1->
且1a > 故()h x
在14a a a ⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭
上必存在一零点
即此时()h x 有两个零点.............................（15分）
综上所述：当(]{},01a ∈-∞⋃时有一个零点
()()0,11,a ∈⋃+∞时有两个零点.....................（16分） 20.（本小题满分16分）
已知数列{}n a 满足1+1112,2,24n n n n a b b a a b +==+==. （1）求2a 及3b 的值； （2）求证：
224242
n n n n a b a b ++++=
++； （3）求数列{}n n a b -的前n 项和n S . 解析：（1）21212426a b b a ===+=，
3232212,26a b b a ===+=...................................(2分)
（2）21222124
2442(4)=224n n n n n n n n n n
a b a a a a a b a a ++++++=⎧+⇒=+⇒+=+⇒⎨=++⎩
21222122
2222(2)=222n n n n n n n n n
n b a b b b b a a b b ++++++=+⎧+⇒=+⇒+=+⇒⎨
=+⎩
综上，
2242
=242
n n n n a b a b ++++=++....................................（8分）
（3）由（2）可知2242(4),22(2)n n n n a a b b +++=++=+ 当n 为奇数时，1
5112
2
2
2
114(4)2
2
2(2)2
32
n n n n n n a a b b -+-++=+⋅=+=+⋅=⋅，
5112
2
2
=2
32
22
2n n n n n a b +++--⋅-=-
当n 为偶数时，24242
2
2
2
224(4)22
2(2)2
2
n n n n n n a a b b -+-++=+⋅=+=+⋅=，
442
2
=2
2
22n n n n a b ++---=-
所以，当n 为奇数时， 113151+15
2
2
2
2
21=2
2
2
...2
2252
n n n S n +++++++++-⋅=--奇
1
=2=12
n S n --⋅-+偶，5
2224n n S S S n +=+=--奇偶 当n 为偶数时， 1131514
2
2
2
2
2=2
2
2
(22242)
n n n
S n ++++++++-⋅=--奇
=2=2
n
S n -⋅-偶，4
2224n n S S S n +=+=--奇偶
综上，5
242224224n n n n n S n n +
+⎧--⎪=⎨⎪--⎩
，为奇数
，为偶数..........................（16分）
通锡苏学大教育2015届高考数学密卷
数学附加题
22．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应．．．．．．．．．．．．． 的答题．．．区域内作答．．．．．
．若多做，则按作答的前两小题评分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分） 如图，已知PA 为O 的切线，A 为切点，
直线PO 交O 于点E F 、，过点A 作PO 的垂线交O 于点B ,垂足为D
.
证明:24EF OD OP =⋅.
解析：连接OA ，
PA 是圆的切线
90OAP ︒∴∠=
90,OAP ADO AOD POA ︒∠=∠=∠=∠
OAD
OPA ∴∆∆ OA OD OP OA
∴= 即2OA OD OP =⋅
EF 为圆的直径，即2EF OA = 21,4EF OD OP ∴
=⋅即24EF OD OP =⋅...........................（10分）
B ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）
设矩阵2003M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，求曲线1:22=+y x C 在矩阵1M -所对应的的线性变换作用下得到的曲线方程. 解析：1102103M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦，设曲线C 上任意一点),(y x P 在矩阵1M -对应的变换下得到 '(',')P x y ，则10'21'03x x y y ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即1'21'3
x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此2'3'x x y y =⎧⎨=⎩，因为点),(y x P
满足曲线1:22=+y x C ，所以有22
4'9'1x y +=，因此可得在矩阵1M -所对应的的 线性变换作用下的曲线方程为22491x y +=........................（10分）
C ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知三点(4,0)A 、3(4,)2
B π、(,)6
C πρ． （1）若A B C 、、三点共线，求ρ的值；
（2）求过OAB 三点的圆的极坐标方程.
解析：（1）由题意知点A 、B 直角坐标为(4,0)A 、(0,4)B -，所以直线AB 的方程是
40x y --=，又因为点C 的直角坐标为(,)22ρ402
ρ--=，
所以1)ρ=..........................................（5分）
（2）因为(4,0)A 、(0,4)B -、(0,0)O ，所以过OAB 三点的圆的标准方程为
22(2)(2)8x x -++=，整理得22440x y x y +-+=，即极坐标方程为
24cos 4sin 0ρρθρθ-+=，整理得=4cos 4sin ρθθ-..........（10分）
D ．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
实数z y x ,,满足0,0,0>>>z y x 32222x y z ≤+++.
解析：证明：110222
x x x +>⇒==+
110222
y y y +>⇒==+
110222z z z +>⇒=≤=+ 当且仅当1x y z ===时，不等式等号成立
32222
x y z ≤+++ .......（10分） 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．
作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
24. (本小题满分10分)
在棱长为4的正方体''''ABCD A B C D -中，点P 在棱'CC 上，且'2CC CP =.
（1）求直线'AA 与平面'APD 所成角的正弦值；
（2）求二面角'A D P B --的余弦值.
解析：以{}
,,'DA DC DD 为正交基底建立空间直角坐标系D xyz -,
由题意可得(0,0,0),(4,0,0),'(0,0,4),(0,4,2),'(4,0,4),(4,4,0)D A D P A B
（1）易知'(4,0,4),'(0,4,2),'(0,0,4)D A D P AA =-=-= 不妨设平面'APD 的法向量为(2,,)m y z =则'0'0
m D A m D P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即840420z y z -=⎧⎨-=⎩ 可得平面'APD 的法向量为(2,1,2)m =..........................（3分） 设直线'AA 与平面'APD 所成的角为θ
则'2sin cos ,'3
'm AA m AA m AA θ⋅=<>==⋅......................（5分） （2）易知=(402)BP -，，，
不妨设平面'BPD 的法向量为(1,,)n y z =，则0'0n BP n D P ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，即420420z y z -+=⎧⎨-=⎩ 可得平面D BP '的法向量为(1,1,2)n =
则76cos ,m n m n m n ⋅<>==⋅，所以二面角'A D P B --的余弦值为18
67. ...........................................................（10分）
25. (本小题满分10分).
设(21)
,(2)(21)p p p
n n a n b n n =+=+-，其中p n N +∈、.
（3）当2p =时，试比较n a 与n b 的大小；
（4）当p n =时，求证：n n a b ≥对n N +∀∈恒成立. 解析：（1）当2p =时，222(21),(2)(21)n n a n b n n n N +=+=+-∈， 作差得：222(2)(21)(21)4(2)n n b a n n n n n -=+--+=-...........（2分) 1n =时，11110b a b a -<⇒< 2n =时，2222=0=b a b a -⇒ 3n ≥时，0n n n n b a b a ->⇒>.................................（4分）
（2）当p n =时，
113311(21)(21)2[(2)(2)....]2(2)(2)n n n n n n n n n n n C n C n C n n ---+--=++≥= 即n n a b ≥对n N +∀∈恒成立.....................................（10分）。