安徽省合肥市巢湖翰文高级职业中学2021年高一数学文期末试卷含解析

安徽省合肥市巢湖翰文高级职业中学2020-2021学年高一数学
文期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
是一个符合题目要求的
1. 如果偶函数在上是增函数且最小值是2，那么在上是（---）
A. 减函数且最小值是
B.. 减函数且最大值是
C. 增函数且最小值是
D. 增函数且最大值是．
参考答案：
A
略
2. 向量，.则与的夹角
是 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
3. 函数的定义域为R，那么实数a的取值范围是（）
A. B.(0，) C. (－，+∞) D. (－∞，+∞)
参考答案：
A 4. 下列函数中，以为周期且在区间上为增函数的函数是（）.
A. B.
C. D.
参考答案：
D
5. 集合，，则集合M∩N=
A. {-1，0，1}
B. {0，1}
C.
{0} D.
参考答案：
C
略
6. △ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）
A．B．C．D．1
参考答案：
A
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】由已知可得，进而可得=，由P是BD上的点，可得m+=1，即可得到m．
【解答】解：∵，
∴，
∴=，
∵P是BD上的点，
∴m+=1．
∴m=．
故选：A
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，三点共线的充要条件，难度中档．
7. 函数的值域为
A B C D
参考答案：
C
略
8. 下列四组函数中，表示同一函数的是（）
A．与B．y=lg x与y=lg x2
C．y=lg(x2－1)与y=lg(x－1)+lg(x+1) D．y=e ln x与y=x(x＞0)
参考答案：
D
9. 函数y=ln（1﹣x）的定义域为（）
A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1] D．[0，1]
参考答案：
B
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由函数的解析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项
【解答】解：由题意，自变量满足，解得0≤x＜1，即函数y=的定义域为[0，1）
故选B
【点评】本题考查函数定义域的求法，理解相关函数的定义是解题的关键，本题是概念考查题，基础题．
10. 已知是奇函数，当时,,当时等于（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在边长为1的正三角形ABC中，设，，则______.
参考答案：
12. 若函数是函数的反函数，则
.
参考答案：
13. 设等差数列的公差，，若是与的等比中项，则k的值
为 .
参考答案：
3
14.
参考答案：
6
15. 圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm 。

参考答案：
4
试题分析：设球半径为r ，则由可得
，解得
．
考点：1．组合几何体的面积、体积．
【思路点睛】本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，解答时，首先设出球的半径，然后再利用三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．
16. 已知
，则
=
．
参考答案：
17. 函数y=log
（2x 2﹣3x+1）的单调增区间为 ．
参考答案：
（﹣∞，）
【考点】复合函数的单调性．
【分析】求函数的定义域，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解．
【解答】解：由2x 2﹣3x+1＞0得x ＞1或x ＜，
即函数的定义域为（﹣∞，）∪（1，+∞），
设t=2x 2
﹣3x+1，则y=log
t 在定义域上为减函数，
要求函数y=log
（2x 2﹣3x+1）的单调增区间，
则等价为求函数t=2x 2﹣3x+1的单调递减区间， ∵t=2x 2﹣3x+1的单调递减区间为（﹣∞，）， ∴函数y=log
（2x 2﹣3x+1）的单调增区间为（﹣∞，），
故答案为：（﹣∞，）
【点评】本题主要考查复合函数单调区间的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 计算下列各式：
⑴
⑵
参考答案：
⑴ =
=
⑵
略
19. 已知函数， （1）当
时，求的值； （2）证明函数
在
上是减函数，并求函数的最大值和最小值．
参考答案：
（1）（2），
本试题主要是考查了函数的解析式的运用，以及函数单调性的证明。

（1））根据解析式将x=2代入关系式中得到x的值。

（2）设定义域内任意两个变量，然后作差，变形定号，下结论即可。

解：（1）当时，
（2）设任意，且，
则=
，且，
，
20.
在平面直角坐标系中，已知圆C1：(x+2)2+(y-3)2=9和圆C2：(x-4)2+(y-3)2=9.
（1）若直线过点A(-5, 1)，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

参考答案：
21. （本小题满分12分）
已知数列的前n项和S n＝n2＋2n（其中常数p>0）。

（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；
（Ⅱ）设T为数列{a}的前n项和。

（i）求T的表达式；
（ii）若对任意n∈N＊，都有（1－p）T＋pa≥2p n恒成立，求p的取值范围。

参考答案：
解：（Ⅰ）当n＝1时，a1＝S1＝3; 1分
当n≥2时，＝S n－S n－1＝2n＋1，得a n＝（2n＋1）p n－1. 2分又因为n＝1也满足上式，所以a n＝（2n＋1）p n－1 3分
（Ⅱ）（i）T n＝3＋5p＋7p2＋…＋（2n＋1）p n－1
.
①当p＝1时，T n＝n2＋2n； 4分
②当p1时，由T n＝3＋5p＋7p2＋…＋（2n＋1）p n－1得
pT n＝3p＋5p2＋7p3＋…＋（2n－1）p n－1＋（2n＋1）p n，
则（1－p）T n＝3＋2（p＋p2＋p3＋…＋p n－1）－（2n＋1）p n，
得T n＝＋－（2n＋1）p n. 6分
综上，当p＝1时，T n＝n2＋2n；当p1时，T n＝＋－（2n＋1）p n. 7分
（ii）①当p＝1时，显然对任意n∈Ｎ*，都有（1－p）T n＋pa n≥2p n恒成立； 8分
②当p1时，可转化为对任意n∈Ｎ*，都有3＋≥2p n恒成立.
即对任意n∈Ｎ*，都有≥p n恒成立.
当0<p<1时，只要≥p成立，解得0<p<1； 9分
当1<p<2时，只要≤p n对任意n∈Ｎ*恒成立，
只要有≤p n对任意n∈Ｎ*恒成立，
只要有≤p成立，解得1<p≤ 10分
当p≥2时，不满足. 11分
综上，实数p的取值范围为（0，]. 12分
22. 如图，在半径为2，圆心角为的扇形金属材料中剪出一个四边形MNQP，其中M、N两点分別在半径OA、OB上，P、Q两点在弧上，且OM=ON，MN∥PQ．
（1）若M、N分別是OA、OB中点，求四边形MNQP面积的最大值．
（2）PQ=2，求四边形MNQP面积的最大值．
参考答案：
【考点】HN：在实际问题中建立三角函数模型；HW：三角函数的最值．
【分析】（1）设∠AOP=∠BOQ=θ∈（0，），则∠POQ=﹣2θ，且此时OM=ON=1，利用分割法，即可求四边形MNQP面积的最大值．
（2）PQ=2，可知∠POQ=，∠AOQ=∠BOP=，利用分割法，即可求四边形MNQP面积的最大值．【解答】解：（1）连接OP，OQ，则四边形MNQP为梯形．
设∠AOP=∠BOQ=θ∈（0，），则∠POQ=﹣2θ，且此时OM=ON=1，
四边形MNQP面积S=sinθ+sinθ+×2sin（﹣2θ）﹣=﹣4sin2θ+2sinθ+，
∴sinθ=，S取最大值；
（2）设OM=ON=x∈（0，2），
由PQ=2可知∠POQ=，∠AOQ=∠BOP=，
∴sin=，
∴四边形MNQP面积S=x+x+﹣x2=﹣x2+x+，
∴x=，S取最大值为．。