著名机构初中数学培优讲义实数.第01讲(A).学生版

内容 基本要求略高要求较高要求平方根、算数平方根了解开方与乘方互为你运算，了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算的方法，求某些非负数的平方根立方根 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根 会用立方运算的方法，求某些数的立方根能运用圆的性质解决有关问题 实数 了解实数的概念会进行简单的实数运算1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系；2.会求一个数的平方根和立方根并了解其限定条件3.能进行实数的运算无 理 数 的 发 现 ── 第 一 次 数 学 危 机大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论．当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性．他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此．这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机．到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了．他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中．欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致．今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些中考要求重难点课前预习实 数困难和微妙之处． 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击．这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了．危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！模块一 平方根、算术平方根平方根:如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2x a =，则x 就叫做a 的平方根． 一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a ±”． 算术平方根：一个正数a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为“a ”；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥，则0a ≥． 平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．对定义和性质的考察【例1】 判断题：（1）a 一定是正数． ( ) （2）2a 的算术平方根是a ． ( ) （3）若2()6a -=，则6a =-．( )（4）若264x =，则648x =±=±． ( ) （5）64的平方根是8±． ( ) （6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) （7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数． ( ) （8）2a -没有平方根． ( ) （9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等． ( )【巩固】若()4216A a=+，则A 的算术平方根是_________．【巩固】设a 是整数，则使48a 为最小正整数的a 的值是________．【例2】 x 为何值时，下列各式有意义？（1）2x ； （2）2x -； （3）2x -+；例题精讲（4）； （5）； （6；对计算的考察【例3】 求下列等式中的x ：（1）若x 2＝1．21，则x ＝______； （2）x 2＝169，则x ＝______；（3）若294x =，则x ＝______； （4）若x 2＝2(2)-，则x ＝______．【例4】 求下列各式的值（1） （2（3 （4（5 （6【巩固】求下列各式中x 的值．（1）29x =； （2）22500x -=（3）21(51)303x --= （4）2(100.2)0.64x -=对非负性的考察【例5】 如果3a b -+【例6】 已知2b =，求11a b+的平方根．【巩固】已知x ，y ，z 满足21441()02x y z -+-=，求()x z y -的值．模块二 立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根， 一个数a 的立方根可用符号表，其中“3”叫做根指数，不能省略． 前面学习的其实省略了根指数“2”“三次根号a ”“二次根号a ”“根号a ”．任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0．立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．对立方根定义和性质的考察【例7】 （1）下列说法中，不正确的是 （ ）A ． 8的立方根是2B ． 8-的立方根是2-C ． 0的立方根是0D ．a（2）61164-的立方根是（ ）A ． -B ．114±C ． 114D ．114- （3）某数的立方根是它本身，这样的数有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 （4）下列说法正确的是（ ）① 正数都有平方根；② 负数都有平方根， ③ 正数都有立方根；④ 负数都有立方根；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（5）若a 立方比a 大，则a 满足（ ）A ． a <0B ． 0< a <1C ． a >1D ． 以上都不对 （6）下列运算中不正确的是（ ）A ．= B ．3C 1-D ．4【巩固】（1）若x 的立方根是4，则x 的平方根是______．（2）3311-+-x x 中的x 的取值范围是______，11-+-x x 中的x 的取值范围是______．（3）－27______．（40=则x 与y 的关系是______．（54那么(66)2a -⋅的值是______．（6则x ＝______．（7）若m ＜0，则m ．（8）若59x +的立方根是4，则34x +的平方根是______．对计算的考察【例8】 求下列等式中的x ：（1）若x 3＝0．729，则x ＝______； （2）x 3＝6427-，则x ＝______；（3）若52，则x ＝______； （4）若x 3＝3(2)--，则x ＝______．【例9】 求下列各式的值（1 （2（3） （4）3（5 （6（7【巩固】（1）填表：（2（3） 根据你发现的规律填空：① 1.442== ，= ；② 7.696=，= ．综合应用【例10】 2(27)b +的立方根．【例11】 已知2x -的平方根是±2，27x y ++的立方根是3，求22x y +的平方根．模块三 实数1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数． 注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数． （2）圆周率π及一些含π的数是无理数． （3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2 无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数； 3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数． 实数的分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 ４实数的性质：（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a．（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小． ５ 实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．对实数定义的考察【例12】 判断正误．（1）实数是由正实数和负实数组成．（ ） （2）0属于正实数．（ ）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是±1．（ ） （5）若x =则x =（ ）【例13】 下列说法错误的是（ ）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对 D【例14】 下列说法正确的是（ ）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数对实数性质的考察【例15】的相反数是________；的倒数是________；35-的绝对值是________．【例16】 3.141π-＝______；=-|2332|______．【例17】 若||x =x ＝______；若||1x =，则x ＝______．实数的分类【例18】 把下列各数填入相应的集合：－1、π、 3.14-、127.0&、0（1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）整数集合｛ ｝； （4）正实数集合｛ ｝； （5）负实数集合｛ ｝．比较大小【例19】 估 ）A ．7～8之间B ．8.0～8.5之间C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间【例20】 实数2.6的大小关系是 （ ）A ．2.6<<B ．2.6C 2.6<D 2.6<【例21】 一个正方体水晶砖，体积为1002cm ，它的棱长大约在 （ ）A ．4～5cm 之间B ．5～6cm 之间C ．6～7cm 之间D ．7～8cm 之间【巩固】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4-，153-，1．414，π，0.6， 34-，对计算的考察【例22】 计算题（1）32716949+- （2）233)32(1000216-++综合应用【例23】 写出符合条件的数．（1）小于25的所有正整数； （2）绝对值小于22的所有整数．【例24】 一个底为正方形的水池的容积是3150m 3，池深14m ，求这个水底的底边长．【例25】 已知a 是11的整数部分，b 是它的小数部分，求32()(3)a b -++的值．【练习1】下列说法正确是（ ）A ．有理数都是实数B ．实数都是有理数C ．带根号的数都是无理数D ．无理数包含0【练习2】下列命题中，真命题是（ ）A ．22011的平方根是2011B ．64-的平方根是8±C ．366=±D ．若22a b =，则22a b =【练习3】有一个数值转换器原理如图所示，则当输入x 为36时，输出的y 是（ ）课堂检测是无理数输出y是有理数取算术平方根输入xA ．6B ．6C ．3D ．32【练习4】数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A 与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周，这时点A 与数轴上一点重合，这点表示的实数是 ．【练习5】计算：（1）7361925⨯925116-+ （2）33127640.2164-⋅+【练习6】已知()0328322=+-+-+y x y x ，求yx xy+3的值．1.通过本堂课你学会了 ．2.通过本节课，你复习的知识点 ．3.掌握的不太好的部分 ．4.老师点评：① ．② ．③ ．1. 下列命题中，错误的命题个数是（ ）（1）2a -没有平方根； （2）100的算术平方根是10，记作10100=±（3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数； （4）2是最小的无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个课后作业总结复习2. 若22b a =，则下列等式成立的是（ ）A ．33b a =B ．b a =C ．b a =D ． ||||b a =3. 已知坐标平面内一点A(2-，3)，将点A A′的坐标为 ．4.已知10<<x ，则21x x x x 、、、的大小关系是__________________________（用“>”连接）． 5.计算:（1 （2）2(2)-6.已知一个长方体封闭水箱的容积是1620立方分米，它的长、宽、高的比试5:4:3，则水箱的长、宽、高 各是多少分米？做这个水箱要用多少平方分米的板材？7.已知实数a ，满足0a +，求11a a -++的值．8.先阅读理解，再回答下列问题：=，且12<的整数部分为1；=23<2；34<3；n 为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由．9. 计算下列各组算式，观察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．（1；（2（3（4（5= ；（6= (0,0)a b ≥≥．10.若a 为217-的整数部分，1-b 是9的平方根，且a b b a -=-||，求b a +的算术平方根．。