高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 21 简单的三角恒等变换课时作业 理

课时作业21 简单的三角恒等变换
一、选择题
1．化简：sin （180°＋2α）1＋cos2α·cos 2
α
cos （90°＋α）＝( )
A ．－sin α
B ．－cos α
C ．sin α
D ．cos α
解析：原式＝（－sin2α）·cos 2
α（1＋cos2α）·（－sin α）＝2sin α·cos α·cos 2
α
2cos 2
α·sin α＝cos α. 答案：D
2．设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α的值为( ) A ．2 B. 3 C ．1
D.3
3
解析：由已知得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，所以cos α(cos β＋sin β)＝sin α(cos β＋sin β)．因为β为锐角，所以sin β＋cos β≠0，所以sin α＝cos α，即tan α＝1.
答案：C
3．若sin θ＝4
5，sin θ－cos θ>1，则sin2θ＝( )
A ．－2425
B ．－1225
C ．－45
D.2425
解析：当sin θ－cos θ>1时，cos θ一定是负值，故cos θ＝－3
5，所以sin2θ＝2sin
θcos θ＝－24
25
.
答案：A 4．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π4－α，则sin2α的值为( )
A.118 B ．－1
18
C.1718
D ．－1718
解析：cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
2
－2α
＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α
代入原式，
得6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4
－α
＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π4－α
，
∵α∈⎝
⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α＝16
，
∴sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－2α
＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4－α－1＝－1718.
答案：D
5．cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－
23π9＝( )
A ．－1
8
B ．－116
C.116
D.18
解析：cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9
＝cos20°·cos40°·cos100° ＝－cos20°·cos40°·cos80°
＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°
＝－1
2sin40°·cos40°·cos80°sin20°
＝－1
4sin80°·cos80°sin20°
＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.
答案：A
6．定义运算⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
a b c
d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π
2，则β等于( )
A.π12
B.π6
C.
π4
D.
π3
解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝33
14，
又0<β<α<π2，∴0<α－β<π
2，
故cos(α－β)＝1－sin 2
（α－β）＝13
14
， 而cos α＝17，∴sin α＝43
7，
于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝
437×1314－17×3314＝32
. 故β＝π
3.
答案：D 二、填空题 7．函数y ＝32
sin2x ＋cos 2
x 的最小正周期为________． 解析：y ＝32sin2x ＋12cos2x ＋12＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，所以其最小正周期为2π2＝π. 答案：π
8．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.
又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π
3.
答案：π3
9．已知α是第一象限角，sin α＝55，tan(β－α)＝－1
3
，则tan(β－2α)的值为________．
解析：因为α是第一象限角，且sin α＝
55，所以cos α＝255，tan α＝1
2
，所以tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan （β－α）－tan α
1＋tan （β－α）tan α＝－13－1
21－13×1
2
＝－1.
答案：－1
10．已知函数f (x )＝sin 2
ωx ＋3sin ωx ·cos ωx ，x ∈R ，f (α)＝－12，f (β)＝12，若
|α－β|的最小值为3π
4
，则正数ω的值为________．
解析：f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋1
2
. 又由f (α)＝－12，f (β)＝12，且|α－β|的最小值为3π4，可知T ＝3π，所以ω＝1
3.
答案：1
3
三、解答题
11．已知函数f (x )＝cos 2
x ＋sin x cos x ，x ∈R .
(1)求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6的值； (2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2＋π24. 解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π
6＋sin π6cos π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34.
(2)因为f (x )＝cos 2
x ＋sin x cos x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x ＝12＋12(sin2x ＋cos2x )＝12＋2
2
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，
所以f ⎝
⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π12＋π4
＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫
12sin α＋32cos α.
又因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－4
5
，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×3
5－32×45
＝
10＋32－46
20
.
12．已知函数f (x )＝(2cos 2
x －1)sin2x ＋12cos4x .
(1)求f (x )的最小正周期和最大值；
(2)当a ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π时，若f (α)＝22，求α的值． 解：(1)因为f (x )＝(2cos 2
x －1)sin2x ＋12cos4x ＝cos2x sin2x ＋12cos4x ＝12(sin4x ＋
cos4x )＝
22sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，
所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为2
2.
(2)因为f (a )＝
22，所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝1.
因为α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，
所以4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
9π4，17π4.
所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π
16
.
1．已知锐角A ，B 满足2tan A ＝tan(A ＋B )，则tan B 的最大值为( ) A ．2 2 B. 2 C.22
D.24
解析：由2tan A ＝tan(A ＋B )可得2tan A ＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ，∴2tan 2
A tan
B －tan A ＋tan B ＝
0.∴tan B ＝tan A 2tan 2
A ＋1＝12tan A ＋
1tan A ，又A 为锐角，∴2tan A ＋1tan A ≥22，∴tan B ≤2
4
，故选D.
答案：D
2．(2016·广东肇庆检测)已知函数f (x )＝3sin(π＋x )·
⎝⎭
2(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π3＝310，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4的值．
解：(1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2
x ＝
32sin2x －cos2x ＋12＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6－12，
所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π.
(2)由(1)得
f ⎝
⎛⎭
⎪⎫θ2＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭
⎪⎫θ2＋π3－π
6－1
2
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－12＝cos θ－12，
由cos θ－12＝310，得cos θ＝4
5
.
因为θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，0， 所以sin θ＝－3
5
.
所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－24
25，
cos2θ＝2cos 2
θ－1＝725
.
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝sin2θcos π4－cos2θsin π4 ＝－312
50
.
3．(2015·天津卷)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．
解：(1)由已知，
有f (x )＝1－cos2x 2－1－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π32
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2x ＋32sin2x －1
2
cos2x
44
＝12sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －π6.
所以，f (x )的最小正周期T ＝2π
2
＝π.
(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π4上是增函数， f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π3＝－1
4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π6＝－1
2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＝3
4.
所以，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.。