新疆克拉玛依市实验中学2012-2013学年高二数学上学期期中考试数学试题新人教A版

高中数学期中考试试题
俯视图
6 5 正视图 6 5 侧视图
· A
B
C D A 1
B 1
C 1
D 1 新疆克拉玛依市实验中学2012—2013学年高二 数学上学期期中
试卷
（满分120分）
一、 选择题 (每题4分，共48分) 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案
1. 已知直线经过点A(0，4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为 A. 3 B. -2 C. 2 D. 不存在
2.过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是
A.x-2y-1=0
B.x-2y+1=0
C. 2x+y-2=0
D.x+2y-1=0
3. 如果直线012=++y ax 与直线02=-+y x 互相垂直，则实数a 的值等于
A ．1
B ．-2
C ．31-
D ．3
2- 4. 若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22
++2-4=0的圆心,则a 的值为
A ．-3
B ．-1
C ．1
D ．3
5．过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2
2
40x y y +-=所截得的弦长为 w
A ．3
B ．2
C ．6
D ．23学科 6. 垂直于同一条直线的两条直线
A.平行
B.相交
C.异面
D.以上都有可能
7.某几何体的三视图如图所示，则它的直观图是
正视图 侧视图 俯视图
A.圆柱
B.圆锥
C.圆台
D.球
8.已知正方体的外接球的体积是
π3
32
，则正方体的棱长是 A.22 B.
334 C. 3
3
2 D.2 9.如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角C 1—BD —C 的大小为 A.300
B.450
C. 600
D.900
10．已知点)1,2,1(-A ，点)4,2,4(-B ，则AB =
A ．5
B ．12
C ．25 D. 10
11.已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB ，AC 垂直，则a 为
A ．(1,1,1)
B ．(－1，－1，－1)
C ．(1,1,1)或(－1，－1，－1)
D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
12．一个正方体的展开图如图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中
A ．AB∥CD
B ．AB 与CD 相交
C ．AB ⊥C
D D ．AB 与CD 所成的角为60° 二、填空（每题4分，共16分）
13．已知直线l 的方程为1y x =+，则该直线l 的倾斜角为 . 14. 圆心在原点且与直线20x y +-=相切的圆的方程为 .
15. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β.其中正确命题的序号是 .
16．有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ）如图所示， 则该几何体的体积为 . 三、解答题（共56分）
17. （本题8分）
已知一条直线:l 过点(1,2),且
（1）当l 的斜率为3时，求直线l 的方程；
（2）当l 在Y 轴上的截距为4时，求直线l 的方程.
座位号
————————————————————————装——————————订———————————线—————————————— 班级________________ 姓名_________________ 学号________________
M
D
C
A B
P
18. （本题8分）
(1)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，求圆C 的方程.
(2)求与圆01422
2
=++-+y x y x 同心，且与直线012=+-y x 相切的圆的方程.
19.(本题8分)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， (1) 求证:111//B D BC D 平面； (2) 求证:11AC BDD B ⊥平面．
20. (本题6分)如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=a ，E ，F 分别是BC ，DC 的中点. 求异面直线AD 1与EF 所成角的大小.
21.(本题12分)已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90
底面ABCD ，且PA=AD=DC=
2
1
AB=1，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
22. (本题14分)已知四棱锥P －ABCD 的三视图如下图所示，E 是侧棱PC 上的动点．（１）求四棱锥P －ABCD 的体积；
（２）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论； （３）若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小.
A 1
C 1
B 1 D 1
D C
B
A
E
F
答 案： 一、选择 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案
B
A
B
C
D
D
A
B
A
C
C
D
13.45 14.2
2
2x y += 15. ①和③ 16.123
cm π
三、解答题
17. 解：（1）y=3x-1;
（2）y=2x+4
18.解：(1)(x －2)2＋y 2
＝10 ; ………4分
(2)5)2()1(2
2=
++-y x ; ………4分
19. 证明：(1)由正方体1111ABCD A B C D -得：
111////BB AA DD ，且111BB AA DD ==
（写成11//BB DD ，且11BB DD =不扣分） ∴ 四边形BB 1D 1D 是平行四边形
∴ 11//B D BD
.又∵ 11B D ⊄平面1BC D ，BD ⊂平面1BC D ∴ 11//B D 平面1BC D
(2) ∵ DD 1⊥面AC ，∴DD 1⊥AC
∵ DD 1⊥BD ,DD 1⋂BD=D ∴11AC BDD B ⊥平面
20.解：连结BC 1、BD 和DC 1，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,
由11
//AB DC =可有AD 1∥BC 1 在△BCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点,所以，有EF ∥BD 所以∠DBC 1就是异面直线AD 1与EF 所成角…6分
在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 1、BD 和DC 1是其三个面上的对角线，它们相等。

所以△DBC 1是正三角形，∠DBC 1=60°
故异面直线AD 1与EF 所成角的大小为60°……8分
21.因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
A （0，0，0）
B （0，2，0），
C （1，1，0），
D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)2
1. （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故
又由题设知AD ⊥DC ，且AP 与与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC
.
510
|
|||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC PB
AC PB AC PB AC PB AC 所以故
22．（本小题满分14分）
解：(1)由三视图可知，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形， 侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2. ……1分 ∴112
12333
P ABCD ABCD V S PC -=
=⨯⨯=，即四棱锥P －ABCD 的体积为23.……4分
(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE.
证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC. ……5分 ∵PC ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PC. ……6分 又∵AC∩PC＝C ，∴BD ⊥平面PAC. ……7分 ∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC.
∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE. ……8分 (3)解法1：在平面DAE 内过点D 作DF ⊥AE 于F ，连结BF. ∵AD ＝AB ＝1，DE ＝BE ＝12＋12＝2，AE ＝AE ＝3， ∴Rt △ADE ≌Rt △ABE ， 从而△ADF ≌△ABF ，∴BF ⊥AE.
A
B
C
D
P
M
N
z
y
∴∠DFB 为二面角D －AE －B 的平面角． ……10分 在Rt △ADE 中，DF ＝AD·DE AE ＝1×23＝63， ∴BF ＝6
3. ……11分
又BD ＝2，在△DFB 中，由余弦定理得
cos ∠DFB ＝
2221
22
DF BF BD DF BF +-=-⋅，……12分 ∴∠DFB ＝2π
3， ……13分
即二面角D －AE －B 的大小为2π
3
.……14分
解法2：如图，以点C 为原点，CD ，CB ，CP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，……9分 从而DA →＝(0,1,0)，DE →＝(－1,0,1)，BA →＝(1,0,0)，BE →＝(0，－1,1)． 设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为
()1111,,n x y z =，()2222,,n x y z =
由110
0n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11100
y x z =⎧⇒⎨-+=⎩，取()11,0,1n =
由220
0n BA n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩222
00x y z =⎧⇒⎨-+=⎩，取()20,1,1n =--……11分
设二面角D －AE －B 的平面角为θ，则1212
11
cos 222
n n n n θ⋅-=
=
=-⋅⋅，…… 13分
∴θ＝2π3，即二面角D －AE －B 的大小为2π
3 ……14分
注：若取()20,1,1n =算出3
π
θ=可酌情给分。