高三强化班数学自主探究试题二 试题

1o
y
x
12
高三强化班数学自主探究试题二
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

一、填空题〔每一小题5分，一共70分〕
1．集合
212x a A x x +⎧⎫==⎨⎬
-⎩⎭为单元素集，那么a 的取值的集合为 . 2．命题21
:[1,2],ln 2p x x x a ∀∈--≥0与命题
2
:,2860q x R x ax a ∃∈+--=都是真命题，那么实数a 的取值范围为 .
3．对于任意[1,1]k ∈-，函数
2
()(4)24f x x k x k =+--+的值恒大于0，那么x 的范围是 .
4. 函数
(),0(),0.f x x y g x x >⎧=⎨
<⎩是偶函数，()log a f x x =对应的图象 如右图示，那么()g x ＝ .
5. ．函数()2
ln bx x a x f -=图象上一点P 〔2，f(2)〕处的切线方程为22ln 23++-=x y ，
那么a b +=______.
6. 假设存在[]3,1∈a ，使得不等式
02)2(2
>--+x a ax 成立，那么实数x 的取值范围是 ▲ .
7. ()y f x =是偶函数，当x>0时，
4
()f x x x =+
，且当[3,1],()x n f x m ∈--时≤≤恒成立，
那么m n -的最小值是 .
8. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线
1
2x =
对称，那么
(1)(2)(3)(4)......(2010)f f f f f +++++=__________.
9. 函数y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]上的图像如下图，给出以下四个命题
①方程f[g(x)]=0有且仅有6个根②方程g[f(x)]=0有且仅有3个根③方程f[f(x)]=0有且仅有5个根④方程g[g(x)]=0有且仅有4个根，其中正确的命题个数为 .
10. 设定义在R 上的函数
1
221 2()21 2x x x f x x x ⎧>⎪-⎪
⎪<=⎨
-⎪⎪
⎪=⎩
，假设关于x 的方程
2()()3f x af x b ++=有且只有3个不同实数解1x 、2x 、3x ，且123x x x <<，那么
222
123x x x ++=______.
11. 偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且在[]0,1x ∈时，2()f x x =，那么关于x 的方
程
1
()()10x f x =在100,3⎡⎤⎢⎥
⎣⎦上根的个数是 . 12．定义在R 上的函数
)3()(2
-=ax x x f ，假设函数]2,0[),()()(∈'+=x x f x f x g ，在x=0处获得最大值，那么正数a 的范围 .
13. ．可导函数()()f x x R ∈的导函数()f x '()()f x f x '>满足，那么当0a >时，()f a 和 (0)a e f 〔e 是自然对数的底数〕大小关系为 ▲ ．
14. 将函数
()3233f x x x x
=++的图象按向量a 平移后得到函数
()
g x 的图象，假设函数
()
g x 满足
()()111
g x g x -++=，那么向量a 的坐标是 .
二、解答题
15.〔14分〕 集合]2,21[=P ，函数
)22(log 2
2+-=x ax y 的定义域为Q ， 〔1〕假设φ≠Q P ，务实数a 的取值范围；
〔2〕假设方程2)22(log 2
2=+-x ax 在]2,21
[内有解，务实数a 的取值范围
16. 〔14分〕函数
2
()(1)43f x a x ax =++-. 〔1〕当0a >时，假设方程()0f x =有一根大于1，一根小于1，求a 的取值范围； 〔2〕当x ∈[0,2]时,在x=2时获得最大值,务实数a 的取值范围.
17．〔14分〕函数321
()(0)
3F x ax bx cx a =++≠且(1)0F '-=.
(1) 假设()F x 在1x =处获得极小值2-，求函数()F x 的单调区间；
(2) 令()()f x F x '=，假设()0f x '>的解集为A ，且满足(0,1)(0,)A =+∞，求c
a 的取
值范围.
18.〔16分〕 有三个生活小区，分别位于,,A B C 三点处，
且AB AC ==
，
BC =上的P 点处，建立坐标系如图，且
2
7ABO π
∠≈(1) 假设希望变电站P 到三个小区的间隔 点P 应位于何处？
(2) 假设希望点P 到三个小区的最远间隔 点P 应位于何处？
19.〔16分〕
2
()2,f x x bx x =++∈R. 〔1〕假设函数()[()]()F x f f x f x x =∈R 与在时有一样的值域，求b 的取值范围；
〔2〕假设方程2
()|1|2f x x +-=在〔0，2〕上有两个不同的根x1、x2，求b 的取值范围，并
证明1211
4.x x +<
20. (16分) R a ∈，函数
|)(2
a x x x f -= ⑴当3=a 时，求使x x f 2)(=成立的x 的集合；
⑵求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值
高三强化班数学自主探究试题二答案
一、填空题
1．4,9
⎧-⎨⎩； 2. 1
(,4][2,]2-∞--; 3. 13x x <>或; 4. 2log ()x -; 5.3; 6. 2
(,1)(,)
3-∞-+∞; 7. 1; 8. 4; 9. 0; 10. 14; 11.3; 12.
6
(0,]5;
13. ()(0)a
f a e f >; 14.
3
(2,)2. 二、解答题
15. 解：〔1〕假设φ≠⋂Q P ，那么在]2,21
[∈x 内，至少有一个值x 使得0222>+-x ax 成立，即在]2,21[∈x 内，至少有一个值x 使得x x a 2
22+
->成立，-----------------------3
分
设21)211(2222
+--=
+-
=x x
x μ，当]2,21[∈x 时，]
21,4[-
∈μ-------------5分 4
->∴a ,
所
以
实
数
a
的取值范围是：
}4|{->a a
--------------------------------7分
〔2〕方程2)22(log 22=+-x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣
⎡2,21内有解，那么0222=--x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解.
即在
]2,21[∈x 内有值x 使得x x a 222+
=成立，----------------------------9分 21)211(22222
-+=+=
x x x
μ 当]2,21[∈x 时，]12,23[∈μ，]
12,23[∈∴a ---------------------------------13
分
所以实数a 的取值范围为：]
12,23
[∈a --------------------------------------14分
16解：〔1〕当0a >时，10a +>，故抛物线()y f x =开口向上，
而
22
(4)12(1)4(433)0a a a a ∆=++=++>，那么抛物线()y f x =与x 轴总有两个交点，要方程
()0
f x =有一根大于1，一根小于1，那么有
02
0(1)05a a f >⎧⇒<<⎨
<⎩.-------------------------7分
〔2〕假设10a +=，即1a =-时,那么()43f x x =--，不在x=2时获得最大值.
假设10a +>,即1a >-时,那么21a a -
+≤1,解得a ≥1
3-
.
假设10a +<,即1a <-时,那么21a a -
+≥2,解得a ≥1
2-
,与1a <-矛盾.
综
上
可
得
a
的
取
值
范
围
是
a
≥
1
3-
.------------------------------------------------------------14分
17．解析：(1) 2
()2F x ax bx c '=++，由条件将20201
23a b c a b c a b c ⎧
⎪-+=⎪
++=⎨⎪⎪++=-⎩
∴3,0,3a b c ===- ，∴
2
()33F x x '=- 由()0F x '>得(,1)(1,)x ∈-∞-+∞，()0F x '< 得(1,1)x ∈-
故()F x 在(,1)-∞-、(1,)+∞上单调递增，()F x 在(1,1)-上单调递减. ---------7分-
(2)
2
()2,()220f x ax bx c f x ax b '=++=+> 由
{}
()|00,1(0,)A x ax b =+>=+∞得，0
01
a b a >⎧⎪
⎨≤-<⎪⎩ 又20a b c -+=
从而
21(3,1]c b a a
=-∈--即(3,1]--18. 解 在Rt AOB ∆中,AB B ==,||40
OA == ……2分
〔1〕法一 设PBO α∠=(
2
07απ
≤≤), 点P 到,,A B C 的间隔 之和为
2sin 24040cos y α
αα-=-=+…5分
22sin 1cos y αα-'=,令0y '=即1sin 2α=,又207απ≤≤,从而6π
α=
当
06πα≤<
时,0y '<;当26
7π
π
α<≤
时, 0y '>.
∴当
6π
α=
时
,
2sin 40cos y α
α-=+获得最小值
此时
206
OP π
===,即点P 为OA 的中点. ……8分
法二 设点(0,)(040)P b b ≤≤,那么P 到,,A B C 的间隔 之和为
()4040)f b b b =-+≤≤,
求导得
()1
f b '=
- ……5分
由()0f b '=
即2b =解得20b =
当020b ≤<时,()0f b '<;当2040b <≤时, ()0f b '>
∴当20b =时,()f b 获得最小值,此时点P 为OA 的中点. ……8分
〔2〕设点(0,)(040)P b b ≤≤,那么||40PA b =-
,
||||PB PC ==点P 到,,A B C 三点的最远间隔 为()g b
①假设||||PA PB ≥
即
4005b b -≥⇒≤≤,那么()40g b b =-; ②假设||||PA PB <
即40540b b -<⇒<≤,
那么()g b =;
∴
40(05)
()(540)b b g b b -≤≤⎧=<≤ ……12分
当05b ≤≤时,()40g b b =-在[0,5]上是减函数,∴
min ()(5)35g b g ==
当540b <≤时
,
()g b =在(5,40]上是增函数,∴()(5)35g b g >= ∴当5b =时,
min ()35g b =,这时点P 在OA 上距O 点5km . ……16分
19. 解：〔1〕当x ∈R 时，函数2
()2f x x bx =++的图象是开口向上，且对称轴为
2b
x =-
的
抛物线，()f x 的值域为28,4b ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，所以()[()]F x f f x =的值域也为28,4b ⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭的充要条件是228,280,2,4
42b b
b b b b ----∴-即或≤≥≤≥，
即
b
的
取
值
范
围
为
(,2][4,).-∞-+∞------------------------------------------------------------6分
〔2〕
222
()|1|2,|1|0f x x x bx x +-=++-=即，由分析知0b ≠ 不妨设
22122
1,||1,
02,()|1|21,||1,bx x x x H x x bx x x bx x +⎧<<<=++-=⎨+->⎩令≤ 因为()(0,1]H x 在上是单调函数，所以()0H x =在(0,1]上至多有一个解. -------9分
假设12,(1,2)x x ∈，即x1、x2就是2210x bx +-=的解，121
02x x =-<，与题设矛盾.
因此，
12(0,1],(1,2).
x x ∈∈由
11
1()0H x b x ==-
得，所以
1
b -≤；
------------------------12分
由
222
1()02,H x b x x ==
-得所以7 1.
2b -<<-
故当
7
12
b -<<-时，方程
2()|1|2(0,2)
f x x +-=在上有两个解.
------------------------------14分
由212112b b x x x =-
=-和消去b ，得212112.x x x += 由212
11(1,2), 4.x x x ∈+<得---------16
分
20.解：〔1〕由题意，
|3|)(2
-=x x x f 当3<x 时，由
x x x x f 2)3()(2
=-=，解得0=x 或者1=x 或者2=x ；…..2分 当3≥x 时，由
x x x x f 2)3()(2
=-=，解得217
3+=
x ……………………….4分
综上，所求解集为}217
3,
2,1,0{+………………………………………..5分
(2)设此最小值为m
①当1≤a 时，在区间[1，2]上，2
3)(ax x x f -=，
因为0
)32
(323)('2>-=-=a x x ax x x f ，)2,1(∈x ，
那么)(x f 是区间[1，2]上的增函数，所以a f m -==1)1(…………….7分
②当21≤<a 时，在区间[1，2]上，
0||)(2
≥-=a x x x f ，由0)(=a f 知 0)(==a f m ....................................8分
③当2>a 时，在区间[1，2]上，3
2)(x ax x f -=
)
32
(332)('2x a x x ax x f -=-=
假设3≥a ，在区间〔1，2〕上，0)('>x f ，那么)(x f 是区间[1，2]上的增函数，
所以1)1(-==a f m ………………………………………………10分
假设32<<a ，那么
232
1<<
a
当
a x 321<
<时，0)('>x f ，那么)(x f 是区间[1，a
32
]上的增函数，
当232<<x a 时，0)('<x f ，那么)(x f 是区间[a
32
，2]上的减函数，
因此当32<<a 时，1)1(-==a f m 或者)2(4)2(-==a f m ………12分
当
37
2≤
<a 时，1)2(4-≤-a a ，故)2(4)2(-==a f m ………13分
当337
<<a 时，1)2(4-<-a a ，故1)1(-==a f m ………………14分
总上所述，所求函数的最小值
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧>
-≤
<-≤<≤-=37137
2)
2(42
101
1a a a a a a a
m ….16分
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。