2019-2020学年宁夏银川二中高三(上)统练数学试卷(理科)(二)

2019-2020学年宁夏银川二中高三（上）统练数学试卷（理科）
（二）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合A ＝{x|−1<x <2}，集合B ＝{x|x(x −3)<0}，则A ∪B ＝（ ） A.{x|0<x <2} B.{x|−1<x <3} C.{x|−1<x <0} D.{x|2<x <3}
【答案】 B
【考点】 并集及其运算 【解析】
由A 与B ，求出两集合的并集即可． 【解答】
集合A ＝{x|−1<x <2}，集合B ＝{x|x(x −3)<0}＝{x|0<x <3}，则A ∪B ＝{x|−1<x <3}，
2. 已知命题p:e x >1，命题q:ln x <0，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】 B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件 【解析】
利用函数的单调性可化简命题p ，q ，即可得出结论． 【解答】
命题p:e x >1，解得x >0． 命题q:ln x <0，解得0<x <1． 则p 是q 的必要不充分条件．
3. 已知向量a →
=(−√3,1)，b →
=(√3,λ)．若a →
与b →
共线，则实数λ＝（ ） A.−1 B.1 C.−3 D.3
【答案】 A
【考点】
平行向量（共线） 【解析】
利用向量共线定理即可得出−√3λ−√3=0，解出即可． 【解答】
∵ a →
∥b →
，∴ −√3λ−√3=0，解得λ＝−1．
4. 已知函数f(x)=sin(ωx+π
4
)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象()
A.关于点(π
4，0)对称 B.关于直线x=π
8
对称
C.关于点(π
8，0)对称 D.关于直线x=π
4
对称
【答案】
B
【考点】
正弦函数的对称性
三角函数的周期性及其求法
【解析】
利用正弦函数的周期公式可先求得ω，再利用正弦函数的性质得到答案．【解答】
解：∵ ω>0，T=2π
ω
=π，∴ ω=2；
∴ f(x)=sin(2x+π
4
)，
∴ 其对称中心为：(kπ
2−π
8
，0)，k∈Z，
故A，C不符合；
其对称轴方程由2x+π
4=kπ+π
2
得：
x=kπ
2+π
8
，k∈Z，
当k=0时，x=π
8
就是它的一条对称轴，
故选B.
5. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π
2
)的部分图象如图所示，将函数f(x)的
图象向左平移π
12
个单位长度后，所得图象与函数y=g(x)的图象重合，则（）
A.g(x)=2sin(2x+π
3) B.g(x)=2sin(2x+π
6
)
C.g(x)=2sin2x
D.g(x)=2sin(2x−π
3
)【答案】
【考点】
由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：根据函数f(x)=2sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π
2
)的部分图象可得
3T 4
=34⋅
2πω
=
2π3
−(−π12)=
3π4
，则ω=2．
∵ 2sin (2×
2π3
+φ)=−2，∴ 4π
3+φ=
3π2
+2kπ，k ∈Z ，
则φ=π
6+2kπ，k ∈Z ．
∵ |φ|≤π
2，∴ φ=π
6，即函数f(x)=2sin (2x +π
6)．
∵ 将函数f(x)的图象向左平移π
12个单位长度后，
所得图象与函数y =g(x)的图象重合， ∴ g(x)=2sin [2(x +π12
)+π6]=2sin (2x +π
3)． 故选A ．
6. 函数f(x)=6x
2x +2−x 的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】 C
【考点】
函数的图象与图象的变换 【解析】
结合函数奇偶性和函数值的对应性进行排除判断即可． 【解答】
f(−x)=−6x
2−x +2x =−f(x)，
即函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除，A ，B ， 当x >0时，f(x)>0，排除D ，
7. 设向量a →
=(cos α,−1)，b →
=(2,sin α)若a →
⊥b →
，则tan (α−π
4)=( )
A.−3
B.3
C.1
3D.−1
3
【答案】
C
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
由向量的坐标运算可求得tanα，利用两角差的正切公式即可得到答案．【解答】
∵a→=(cosα, −1)，b→=(2, sinα)，a→⊥b→，
∴2cosα−sinα＝0，
∴tanα＝2．
∴tan(α−π
4
)
=
tanα−tan
π
4 1+tanα⋅tan
π
4
=
2−1 1+2×1
=1
3
．
8. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a−b)2+6，C=π
3
，则△ABC的面积是（）
A.3√3
2B.9√3
2
C.√3
D.3√3
【答案】
A
【考点】
余弦定理
【解析】
根据题意，利用余弦定理可得ab，再利用三角形面积计算公式即可得出答案．【解答】
由c2＝(a−b)2+6，可得c2＝a2+b2−2ab+6，
由余弦定理：c2＝a2+b2−2ab cos C＝a2+b2−ab，
所以：a2+b2−2ab+6＝a2+b2−ab，
所以ab＝6；
则S△ABC=1
2ab sin C=3√3
2
；
9. 设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，有xf′(x)−f(x)
x2
<0恒成立，则
f(x)
x
>0的解集为（）
A.(−2, 0)∪(2, +∞)
B.(−2, 0)∪(0, 2)
C.(−∞, −2)∪(2, +∞)
D.(−∞, −2)∪(0, 2)
【答案】 B
【考点】
奇偶性与单调性的综合
利用导数研究函数的单调性 【解析】 可设g(x)=
f(x)x
，根据条件可以判断g(x)为偶函数，并可得到x >0时，g′(x)<0，从
而得出g(x)在(0, +∞)上单调递减，并且g(2)＝0，从而由g(x)>g(2)便可得到|x|<2，且x ≠0，这样即可得出原不等式的解集． 【解答】 设g(x)=
f(x)x ，f(x)是R 上的奇函数，∴ g(x)为偶函数；
x >0时，g ′
(x)=xf ′(x)−f(x)
x 2
<0；
∴ g(x)在(0, +∞)上单调递减，g(2)＝0； ∴ 由g(x)>0得，g(x)>g(2)； ∴ g(|x|)>g(2)； ∴ |x|<2，且x ≠0；
∴ −2<x <0，或0<x <2； ∴ f(x)x
>0的解集为(−2, 0)∪(0, 2)．
10. 在△ABC 中，若AB →2
−BC →2
=AB →
⋅AC →
，则△ABC 是（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形 【答案】 B
【考点】
三角形的形状判断 【解析】
由已知利用平面向量数量积的运算，余弦定理可求c 2＝a 2+b 2，利用勾股定理即可判断得解． 【解答】
∵ AB →
2−BC →
2=AB →
⋅AC →， ∴ c 2−a 2＝bc cos A ， ∴ c 2−a 2＝bc ⋅
b 2+
c 2−a 2
2bc
，化简可得：c 2＝a 2+b 2，
∴ △ABC 是直角三角形．
11. 已知三个向量a →
，b →
，c →
共面，且均为单位向量，a →
⋅b →
=0，则|a →
+b →
−c →
|的取值范围是（ ）
A.[√2−1, √2+1]
B.[1, √2]
C.[√2, √3]
D.[√2−1, 1]
【答案】 A
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算 【解析】
根据题意，可设a →
=(1, 0)，b →
=(0, 1)，c →
=(x, y)，得|a →
+b →
−c →
|=√(x −1)2+(y −1)2，结合图形求出它的最大、最小值． 【解答】
三个向量a →
，b →
，c →
共面，且均为单位向量，a →
⋅b →
=0， 可设a →
=(1, 0)，b →
=(0, 1)，c →
=(x, y)，
则a →
+b →
−c →
=(1−x, 1−y)，|c →
|=√x 2+y 2=1；
∴ |a →
+b →
−c →
|=√(1−x)2+(1−y)2=√(x −1)2+(y −1)2，
它表示单位圆上的点到定点P(1, 1)的距离，
其最大值是PN ＝r +|OP|＝1+√2，最小值是|OP|−r =√2−1， ∴ |a →
+b →
−c →
|的取值范围是[√2−1, √2+1]．
12. 若函数f(x)在区间A 上，对∀a ，b ，c ∈A ，f(a)，f(b)，f(c)为一个三角形的三边长，则称函数f(x)为“三角形函数”．已知函数f(x)＝x ln x +m 在区间[1
e 2, e]上是“三角形函数”，则实数m 的取值范围为（ ） A.(1e ,
e 2+2
e
)
B.(2
e ,+∞)
C.(1
e ,+∞)
D.(e 2+2e
,+∞)
【答案】 D
【考点】 求函数的值
利用导数研究函数的最值 函数最值的应用
函数的最值及其几何意义 函数单调性的性质 【解析】
若f(x)为“三角形函数”．则在区间D 上，函数的最大值M 和最小值m 应满足：M <2m ，利用导数法求出函数的最值，可得实数m 的取值范围． 【解答】
若f(x)为“区域D 上的三角形函数”．
则在区间D 上，函数的最大值M 和最小值m 应满足：M <2m ， ∵ 函数f(x)＝x ln x +m 在区间[1
e 2, e]上是“三角形函数”， f′(x)＝ln x +1，
当x ∈[1
e
2, 1
e )时，f′(x)<0，函数f(x)递减；
当x ∈(1
e , e]时，f′(x)>0，函数f(x)递增； 故当x =1
e
时，函数f(x)取最小值−1
e
+m ，
又由f(e)＝e +m ，f(1e 2)=−2
e 2+m ， 故当x ＝e 时，函数f(x)取最大值e +m ， ∴ 0<e +m <2(−1
e +m)， 解得：m ∈(
e 2+2e
,+∞)，
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）
计算：∫ 2
1(3x −1
x 2)dx ＝________．
【答案】 4
【考点】
微积分基本定理 定积分 【解析】
求出原函数，根据定积分的计算法则即可求出． 【解答】
∫ 2
1(3x −1
x 2)dx ＝(3
2x 2+1
x )|1
2
=(3
2×4+1
2)−(3
2+1)＝4，
已知函数f(x)为偶函数，且f(x)＝x 2−1
x (x >0)，则f′(−1)＝________． 【答案】
−3
【考点】
函数奇偶性的性质与判断 导数的运算 【解析】
设x <0，则−x >0．由于f(x)＝x 2−1
x (x >0)，可得f(−x)＝x 2+1
x ．因此f(x)＝x 2+1
x ．利用导数的运算法则即可得出． 【解答】
∵ 设x <0，则−x >0．
∵ f(x)＝x 2−1
x (x >0)，
∴ f(−x)＝x 2+1
x ． ∴ f(x)＝x 2+1
x ．
f′(x)＝2x −
1x 2
，
则f′(−1)＝−2−1＝−3．
已知向量a →
=(1,λ),b →
=(3,1)，若向量2a →
−b →
与c →
=(1,2)共线，则向量a →
在向量b →
方向上的投影为________． 【答案】
√10
4
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算 【解析】
根据向量共线求出λ，计算a →
⋅b →
，代入投影公式即可． 【解答】
向量a →
=(1,λ),b →
=(3,1)， 向量2a →
−b →
=(−1, 2λ−1)， ∵ 向量2a →
−b →
与c →
=(1,2)共线， ∴ 2λ−1＝−2，即λ=−1
2． ∴ 向量a →
=(1, −1
2
)，
∴ 向量a →
在向量b →
方向上的投影|a →|⋅cos <a →
，b →
>=a →⋅b →
|b →
|
=
3−12
√
10
=√10
4
．
若△ABC 的面积为√3
4
(a 2+c 2−b 2)，且∠C 为钝角，则∠B =________；c
a
的取值范围
是________． 【答案】
π3
,(2, +∞)
【考点】
两角和与差的正弦公式 余弦定理 正弦定理 【解析】
利用余弦定理，转化求解即可．
【解答】
解：△ABC的面积为√3
4
(a2+c2−b2)，
可得：√3
4(a2+c2−b2)=1
2
ac sin B，sin B
cos B
=√3，
可得：tan B=√3，所以B=π
3
，∵∠C为钝角，
∴0<A+B<π
2，即0<A<π
6
，
∴tan A∈(0,√3
3
)，
c a =sin C
sin A
=sin(A+
π
3
)
sin A
=sin A cos
π
3
+cos A sinπ
3
sin A
=1
2
+√3
2tan A
，
∴1
2+√3
2tan A
∈(2,+∞).
故答案为：π
3
；(2, +∞)．
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分
已知tan(α+π
4)＝−3，α∈(0, π
2
)．
（1）求tanα的值；
（2）求sin(2α−π
3
)的值．【答案】
∵tan(α+π
4)＝−3，α∈(0, π
2
)，∴tanα>0，且tanα+1
1−tanα
=−3，
求得tanα＝2．
∵sin2α=2sinαcosα
sin2α+cos2α=2tanα
tan2α+1
=4
5
，cos2α=cos
2α−sin2α
sin2α+cos2α
=1−tan2α
tan2α+1
=−3
5
，
∴sin(2α−π
3)＝sin2α⋅1
2
−cos2α⋅√3
2
=2
5
+3√3
10
=4+3√3
10
．
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
（1）由题意利用两角和的正切公式求得tanα的值．
（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，求得sin(2α−π
3
)的值．【解答】
∵tan(α+π
4)＝−3，α∈(0, π
2
)，∴tanα>0，且tanα+1
1−tanα
=−3，
求得tanα＝2．
∵sin2α=2sinαcosα
sin2α+cos2α=2tanα
tan2α+1
=4
5
，cos2α=cos
2α−sin2α
sin2α+cos2α
=1−tan2α
tan2α+1
=−3
5
，
∴ sin (2α−π
3
)＝sin 2α⋅1
2
−cos 2α⋅
√32
=2
5
+
3√310
=
4+3√3
10
．
已知函数f(x)=√3sin (2x −π
3)−2sin (x −π
4)sin (x +π
4)． （1）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求函数f(x)在区间[−π
12,π2]上的最值． 【答案】
∵ 函数f(x)=√3sin (2x −π
3
)−2sin (x −π
4
)sin (x +π
4
)=√3sin (2x −π
3
)−2sin (x −
π
4
)cos (x −π
4) =√3sin (2x −π3)−sin (2x −π2)=√3sin (2x −π
3)+cos 2x
=√3sin 2x ⋅12−√3cos 2x ⋅√3
2+cos 2x
=
√3
2
sin 2x −12cos 2x ＝sin (2x −π
6)． ∴ T =
2π2
=π，
令：2x −π
6=kπ+π
2(k ∈Z)，解得：x =
kπ2
+π
3(k ∈Z)．
函数f(x)的最小正周期为π，对称轴方程为：x =kπ2
+π
3
(k ∈Z)．
∵ x ∈[−
π
12,π
2
]，
∴ 2x −π6∈[−π3,
5π
6
]．
因为f(x)=sin (2x −π
6)在区间[−π
12,π
3]上单调递增， 在区间[π3,π
2]上单调递减，
所以，当x =π
3时，f(x)取最大值1． 又∵ f(−π
12)=−
√3
2
<f(π2)=1
2，
当x =−π12时，f(x)取最小值−
√32
． 【考点】
正弦函数的单调性
三角函数的周期性及其求法 两角和与差的三角函数 【解析】
（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和对称轴方程．
（2）直接利用单调性求出结果． 【解答】
∵ 函数f(x)=√3sin (2x −π
3)−2sin (x −π
4)sin (x +π
4)=√3sin (2x −π
3)−2sin (x −
π4
)cos (x −π
4
)
=√3sin (2x −π3)−sin (2x −π2)=√3sin (2x −π
3)+cos 2x
=√3sin 2x ⋅12−√3cos 2x ⋅√3
2+cos 2x
=
√3
2
sin 2x −12cos 2x ＝sin (2x −π
6)． ∴ T =
2π2
=π，
令：2x −π
6=kπ+π
2(k ∈Z)，解得：x =
kπ2
+π
3(k ∈Z)．
函数f(x)的最小正周期为π，对称轴方程为：x =kπ2
+π
3(k ∈Z)．
∵ x ∈[−π
12,π
2]， ∴ 2x −π
6∈[−π3,
5π
6
]．
因为f(x)=sin (2x −π
6)在区间[−π
12,π
3]上单调递增， 在区间[π3,π
2]上单调递减，
所以，当x =π
3
时，f(x)取最大值1．
又∵ f(−π
12)=−
√3
2
<f(π2)=1
2，
当x =−π
12时，f(x)取最小值−√32
．
在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A a
+
cos B b
=
2√3sin C 3a
．
（1）求角B 的大小；
（2）若b ＝2√3，求a +c 的取值范围． 【答案】 锐角△ABC 中，
cos A a
+
cos B b
=
2√3sin C
3a
， ∴ b cos A +a cos B =
2√3
3
b sin C ， 由正弦定理得sin B cos A +cos B sin A =2√33
sin B sin C ，
∴ sin (A +B)=
2√3
3
sin B sin C ，
又sin(A+B)＝sin C≠0，∴sin B=√3
2
，
又0<B<π
2
，
∴B=π
3
⋯6分
由正弦定理a
sin A =c
sin C
=b
sin B
=4，
则有a＝4sin A，c＝4sin C，…7分
则a+c＝4sin A+4sin C＝4sin A+4sin(2π
3−A)＝6sin A+2√3cos A＝4√3sin(A+π
6
)， (9)
分
由0<A<π
2，0<2π
3
−A<π
2
，
可得：π
6<A<π
2
，π
3
<A+π
6
<2π
3
，…11分
可得：√3
2<sin(A+π
6
)≤1，
可得：6<a+c≤4√3⋯12分
【考点】
正弦定理
【解析】
（1）根据题意，利用正弦定理与三角形的内角和定理求得sin B的值，从而求得B的值；（2）由正弦定理可得a＝4sin A，c＝4sin C，利用三角函数恒等变换的应用可求a+c＝
4√3sin(A+π
6)，由已知可求范围π
3
<A+π
6
<2π
3
，利用正弦函数的性质可求a+c的取值
范围．【解答】
锐角△ABC中，cos A
a +cos B
b
=2√3sin C
3a
，
∴b cos A+a cos B=2√3
3
b sin C，
由正弦定理得sin B cos A+cos B sin A=2√3
3
sin B sin C，
∴sin(A+B)=2√3
3
sin B sin C，
又sin(A+B)＝sin C≠0，
∴sin B=√3
2
，
又0<B<π
2
，
∴B=π
3
⋯6分
由正弦定理a
sin A =c
sin C
=b
sin B
=4，
则有a＝4sin A，c＝4sin C，…7分
则a+c＝4sin A+4sin C＝4sin A+4sin(2π
3−A)＝6sin A+2√3cos A＝4√3sin(A+π
6
)， (9)
分
由0<A<π
2，0<2π
3
−A<π
2
，
可得：π
6<A<π
2
，π
3
<A+π
6
<2π
3
，…11分
可得：√3
2<sin(A+π
6
)≤1，
可得：6<a+c≤4√3⋯12分
如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD上划出一个三角形地块APQ种植草坪，两个三角形地块PAB与QAD种植花卉，一个三角形地块CPQ设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P在边BC上，点Q在边CD上，记
∠PAB＝a．
（1）当∠PAQ=π
4
时，求花卉种植面积S关于a的函数表达式，并求S的最小值；
（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB+DQ＝PQ，请探究∠PAQ是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
【答案】
∵边长为1百米的正方形ABCD中，∠PAB＝a，∠PAQ=π
4
，
∴PB＝100tanα，DQ＝100tan(π
2−α−π
4
)＝100tan(π
4
−α)，
∴S
花卉种植面积＝S△ABP+S△ADQ=1
2
AB⋅BP+1
2
AD⋅DQ=1
2
×100×100tanα+
1 2×100×100tan(π
4
−α)
=5000
cosα(sinα+cosα)=
√2
2
sin(2α+π
4
)+1
2
，其中α∈[0, π
4
]，
∴当sin(2α+π
4)＝1时，即θ=π
4
时，S取得最小值为5000(2−√2)．
设∠PAB＝α，∠QAD＝β，CP＝x，CQ＝y，则BP＝100−x，DQ＝100−y，
在△ABP中，tanα=100−x
100，在△ADQ中，tanβ=100−y
100
，
∴tan(α+β)=tanα+tanβ
1−tanαtanβ=20000−100(x+y)
100(x+y)−xy
，
∵PB+DQ＝PQ，
∴100−x+100−y=√x2+y2x+y＝100+xy
200
，
∴ tan (α+β)=20000−100×(100+xy
200
)100×(100+
xy
200
)−xy =
10000−
xy 210000−
xy
2
=1，
∴ α+β=π
4，
∴ ∠PAQ 是定值，且∠PAQ =π
4．-----------
【考点】 正弦定理 【解析】
（1）由已知利用三角函数的定义可求PB ＝100tan α，DQ ＝100tan (π
4−α)，利用三角
形面积公式及三角函数恒等变换的应用化简可求S 花卉种植面积=√2
2
sin (2α+π4
)+
12
，其中α∈
[0, π
4
]，利用正弦函数的性质可求最小值．
（2）设∠PAB ＝α，∠QAD ＝β，CP ＝x ，CQ ＝y ，则可求BP ，DQ ，利用两角和的正切函数公式可求tan (α+β)=
20000−100(x+y)100(x+y)−xy
，由题意PB +DQ ＝PQ ，可求：x +y ＝
100+xy
200，即可得解tan (α+β)＝1，可求α+β=π
4，即可得解． 【解答】
∵ 边长为1百米的正方形ABCD 中，∠PAB ＝a ，∠PAQ =π
4，
∴ PB ＝100tan α，DQ ＝100tan (π2−α−π4)＝100tan (π
4−α)，
∴ S 花卉种植面积＝S △ABP +S △ADQ =1
2
AB ⋅BP +1
2
AD ⋅DQ =1
2
×100×100tan α+
12
×100×100tan (π
4
−α)
=5000
cos α(sin α+cos α)=√2
2
sin (2α+π4
)+
1
2
，其中α∈[0, π
4]， ∴ 当sin (2α+π4
)＝1时，即θ=π
4
时，S 取得最小值为5000(2−√2)．
设∠PAB ＝α，∠QAD ＝β，CP ＝x ，CQ ＝y ，则BP ＝100−x ，DQ ＝100−y ， 在△ABP 中，tan α=100−x 100
，在△ADQ 中，tan β=100−y 100
，
∴ tan (α+β)=
tan α+tan β1−tan αtan β
=
20000−100(x+y)100(x+y)−xy
，
∵ PB +DQ ＝PQ ，
∴ 100−x +100−y =√x 2+y 2，整理可得：x +y ＝100+xy
200， ∴ tan (α+β)=20000−100×(100+xy
200
)100×(100+
xy
200
)−xy =
10000−
xy 210000−
xy
2
=1，
∴ α+β=π
4，
∴ ∠PAQ 是定值，且∠PAQ =π
4．-----------
已知函数f(x)=ax3−3
2
x2+1(x∈R)，其中a>0．(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程；
(2)若在区间[−1
2,1
2
]上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．
【答案】
解：(1)当a=1时，f(x)=x3−3
2
x2+1，
∴f(2)=3；
∵f′(x)=3x2−3x，
∴f′(2)=6．
∴曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y−3=6(x−2)，即y=6x−9；
(2)f′(x)=3ax2−3x=3x(ax−1)．
令f′(x)=0，
解得x=0或x=1
a
．
以下分两种情况讨论：
①若0<a≤2，则1
a ≥1
2
；
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
当x∈[−1
2，1
2
]时，f(x)>0，等价于{
f(−1
2
)>0，
f(1
2
)>0，
即{
5−a
8
>0，
5+a
8
>0，
解不等式组得−5<a<5，因此0<a≤2；
②若a>2，则0<1
a <1
2
，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
当x∈[−1
2，1
2
]时，f(x)>0等价于{
f(−1
2
)>0，
f(1
a
)>0，
即{
5−a
8
>0，
1−1
2a2
>0，
解不等式组得√2
2<a<5或a<−√2
2
．
因此2<a<5．
综合①和②，可知a的取值范围为0<a<5．【考点】
利用导数研究函数的最值
函数恒成立问题
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
（1）把a=1代入到f(x)中得到切点的坐标，利用导数求出直线切线，即可求出切线方程；
（2）求出f′(x)=0时x的值，分0<a≤2和a>2两种情况讨论函数的增减性分别得
到f(−1
2)和f(1
2
)及f(−1
2
)和f(1
a
)都大于0，联立求出a的解集的并集即可．
【解答】
解：(1)当a=1时，f(x)=x3−3
2
x2+1，
∴f(2)=3；
∵f′(x)=3x2−3x，
∴f′(2)=6．
∴曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y−3=6(x−2)，即y=6x−9；
(2)f′(x)=3ax2−3x=3x(ax−1)．
令f′(x)=0，
解得x=0或x=1
a
．
以下分两种情况讨论：
①若0<a≤2，则1
a ≥1
2
；
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
当x∈[−1
2，1
2
]时，f(x)>0，等价于{
f(−1
2
)>0，
f(1
2
)>0，
即{
5−a
8
>0，
5+a
8
>0，
解不等式组得−5<a<5，因此0<a≤2；
②若a>2，则0<1
a <1
2
，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
当x∈[−1
2，1
2
]时，f(x)>0等价于{
f(−1
2
)>0，
f(1
a
)>0，
即{
5−a
8
>0，
1−1
2a2
>0，
解不等式组得√2
2<a<5或a<−√2
2
．
因此2<a <5．
综合①和②，可知a 的取值范围为0<a <5．
（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cos αy =sin α （α为参数），曲线C 2:x 2
3+
y 2=1．
（1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C 1，C 2的极坐标方程；
（2）射线θ=π
3(ρ≥0)与C 1异于极点的交点为A ，与C 2的交点为B ，求|AB|．
【答案】
曲线C 1:{x =1+cos α
y =sin α （α为参数）化为普通方程为x 2+y 2＝2x ，
所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ， 曲线C 2的极坐标方程为ρ2(1+2sin 2θ)＝3． 射线与曲线C 1的交点的极径为ρ1=2cos π
3=1，
射线θ=π
3(ρ≥0)与曲线C 2的交点的极径满足ρ22
(1+2sin 2π
3)=3，
解得ρ2=
√30
5
， 所以|AB|=|ρ1−ρ2|=
√305
−1．
【考点】
参数方程与普通方程的互化 【解析】
（1）根据曲线C 1的参数方程，消去α得出普通方程，再化为极坐标方程，由曲线C 2的普通方程得出极坐标方程；
（2）将射线方程分别代入曲线C 1和C 2，求出ρ1和ρ2，作差得到弦长AB 的长度． 【解答】
曲线C 1:{x =1+cos α
y =sin α （α为参数）化为普通方程为x 2+y 2＝2x ，
所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ， 曲线C 2的极坐标方程为ρ2(1+2sin 2θ)＝3． 射线与曲线C 1的交点的极径为ρ1=2cos π
3=1，
射线θ=π
3(ρ≥0)与曲线C 2的交点的极径满足ρ22
(1+2sin 2π
3)=3，
解得ρ2=
√30
5
， 所以|AB|=|ρ1−ρ2|=
√305
−1．
[选修4-5：不等式选讲]
设函数f(x)＝|x +a|+|x −a 2−a|(a ∈R)．
(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f(x)≤5的解集；
(Ⅱ)若存在a ∈[−1, 0]，使得不等式f(x)≥b 对一切x ∈R 恒成立，求实数b 的取值范围． 【答案】
（1）当a ＝1时，f(x)＝|x +1|+|x −2|={−2x +1,x ≤−1
3,−1<x <22x −1,x ≥2
，
x ≤−1时，不等式f(x)≤5化为−2x +1≤5，解得x ≥−2，即−2≤x ≤1；1 −1<x <2时，不等式f(x)≤5化为3≤5，不等式恒成立，即−1<x <2； x ≥2时，不等式f(x)≤5化为2x −1≤5，解得x ≤3，即2≤x ≤3； 综上所述，不等式f(x)≤5的解集为{x|−2≤x ≤3}； （2）不等式f(x)≥b 的解集为R ，∴ f(x)min ≥b ，
∵ f(x)＝|x +a|+|x −a 2−a|≥|(x +a)−(x −a 2−a)|＝|a 2+2a|， ∴ f(x)min ＝|a 2+2a|≥b 对任意a ∈[−1, 0]恒成立， ∵ |a 2+2a|＝|(a +1)2−1|，
∴ 当a ＝0时，|a 2+2a|取得最小值为0， ∴ 实数b 的取值范围是(−∞, 0]． 【考点】
函数恒成立问题 【解析】
(Ⅰ)a ＝1时，根据绝对值不等式的定义去掉绝对值，求不等式f(x)≤5的解集即可； (Ⅱ)不等式f(x)≥b 的解集为R ，等价于f(x)min ≥b ，求出f(x)min 在a ∈[−1, 0]的最小值即可． 【解答】
（1）当a ＝1时，f(x)＝|x +1|+|x −2|={−2x +1,x ≤−1
3,−1<x <22x −1,x ≥2
，
x ≤−1时，不等式f(x)≤5化为−2x +1≤5，解得x ≥−2，即−2≤x ≤1；1 −1<x <2时，不等式f(x)≤5化为3≤5，不等式恒成立，即−1<x <2； x ≥2时，不等式f(x)≤5化为2x −1≤5，解得x ≤3，即2≤x ≤3； 综上所述，不等式f(x)≤5的解集为{x|−2≤x ≤3}； （2）不等式f(x)≥b 的解集为R ，∴ f(x)min ≥b ，
∵ f(x)＝|x +a|+|x −a 2−a|≥|(x +a)−(x −a 2−a)|＝|a 2+2a|， ∴ f(x)min ＝|a 2+2a|≥b 对任意a ∈[−1, 0]恒成立， ∵ |a 2+2a|＝|(a +1)2−1|，
∴ 当a ＝0时，|a 2+2a|取得最小值为0， ∴ 实数b 的取值范围是(−∞, 0]．。