山西省朔州市怀仁市2020-2021学年高二下学期期末数学(理)试题

山西省朔州市怀仁市2020-2021学年高二下学期期末数学（理）
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若i 43i z =+，其中i 为虚数单位，则复数z 等于（ ） A ．34i --
B ．34i -
C ．34i -+
D ．34i +
2．设随机变量X ～()2,9N ，且()()4P X m P X m >=<-，则m 的值为 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．对于变量x 与y ，当x 取值一定时，y 的取值带有一定的随机性，x ，y 之间的这种非确定性关系叫做（ ） A ．函数关系 B ．线性关系 C ．相关关系
D ．回归关系
4．下面几种推理中是演绎推理的为
A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B ．猜想数列
111
122334
⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=
∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=
D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=
5．安排5位同学站成一排照相，若甲同学与乙同学相邻，且甲同学与丙同学不相邻，则不同的摆法数（ ） A ．36
B ．30
C ．24
D ．20
6．已知二项式()201212n
n n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，且01243n a a a ++⋅⋅⋅+=，则
123452345a a a a a ++++=（ ） A ．324
B ．405
C ．648
D ．810
7．某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为7天左右，短的大约2~3天，长的大约10~14天，甚至有20余天．某医疗机构对400名确诊患者的潜伏期进行统计，整理得到以下频率分布直方图．根据该直方图估计；要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少是（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
8．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），下左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，下右图为身高与臂展所对应的散点图并求得其回归方程为 1.160.5ˆ37y x =-，以下结论中不正确．．．
的为（ ）
A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系
C ．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米
9．在22⨯列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大
（ ） A ．
a c d
+与
c
a b + B ．
a a
b +与
c
c d
+ C ．
a a d +与
c
b c
+ D ．
a b d
+与
c
a c + 10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立
D ．丙与丁相互独立
11．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}n a 的
递推公式11(),n n a a n n N *
+=++∈其中正确的是
A ．①②④
B ．①③④
C ．①②
D ．①④
12．已知0x >，不等式12x x
+≥，243x x +≥，327
4x x +≥，…，可推广为1n a x n x +≥+ ，
则a 的值为( ) A ．2n B ．n n C ．2n D ．222n -
二、填空题 13．曲线21
2
x y x -=
+在点()1,3--处的切线方程为__________． 14．给出下列关系：
①人的年龄与他(她)身高的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③苹果的产量与气候之间的关系；
④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系； ⑤学生与他(她)的学号之间的关系． 其中有相关关系的是____________． 15．随机变量ξ的分布列如下：
若()1
3
E ξ=
，则()D ξ=__________. 16．如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上. （1）每次只能移动一个金属片；
（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.
将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为()f n ，则()f n =__________．
三、解答题
17．已知复数(,)z a bi a b R =+∈，若存在实数t ，使243i
z ati t
+=-成立． （1）求证：2a b +定值；
（2）若|2|5z -<，求||z 的取值范围．
18．已知正项数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2
2n n
n S a a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：
222222
12231
1111
1112n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+<+-+-+-． 19．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这x 个分店的年收入之和．
（1）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；
（2）假设该公司在A 区获得的总年利润z （单位：百万元）与x ，y 之间的关系为
20.05 1.4z y x =--，请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？
参考公式：y bx a =+，()()
()
12
21
1
2
1
n
i
i
i n
n
i
n i i i
i i
i x y nx y b n x x x x
y x x
y ====-=
---=
-∑∑∑∑，a y bx =-．
20．随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）
（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？
（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X ，求随机变量X 的数学期望和方差． 参考公式：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
21．已知函数()ln f x ax x =+，R a ∈. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）当1a =-时，试判断方程ln 1
|()|2
x f x x =
+是否有实数根？并说明理由. 22．在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是24
4cos 3sin ρθθ
=
+，在以极点为原点O ，
极轴为x 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参
数方程为cos sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）.
（1）求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；
（2）将曲线C 2经过伸缩变换2x y y ⎧=⎪⎨=''⎪⎩
后得到曲线C 3，若M ，N 分别是曲线C 1和曲
线C 3上的动点，求|MN |的最小值. 23．设()f x x 1x 1=-++ . (1)求()f x x 2≤+ 的解集; (2)若不等式()a 12a 1
f x a
+--≥,对任意实数a 0≠恒成立,求实数x 的取值范围.
参考答案1．B
【分析】
利用复数的除法法则化简可得结果.
【详解】
i43i
z=+，因此，
2
3i4i
34i
i
z
-
==-.
故选：B.
2．D
【分析】
本道题考查了正态分布曲线图,概率相等,说明端点值的平均数等于随机变量的平均数,建立等式.
【详解】
该曲线符合正态分布,两个概率值相等,说明
4
2
2
m m
+-
=,解得4
m=,故选D.
【点睛】
本题考查了正态分布图,注意到平均数距离相等的两个点的端点概率是相等的.
3．C
【分析】
根据定义直接得到结论.
【详解】
对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫相关关系.
故选：C.
4．C
【分析】
根据合情推理与演绎推理的概念，得到A是归纳推理，B是归纳推理，C是演绎推理，D是类比推理，即可求解．
【详解】
根据合情推理与演绎推理的概念，可得:
对于A中，由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理；
对于B 中， 猜想数列111
122334
⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=
∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；
对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 5．A 【分析】
按甲是否站在两端，分两种情况讨论，求出每一种情况，再由加法原理计算即可 【详解】
根据题意，分两种情况讨论：
第一种情况：若甲站在两端，甲有2种情况，乙必须与甲相邻，也有1种情况，
剩余3人全排列，安排到剩余的3个位置，有3
36A =种，
则此时共有21612⨯⨯=种站法；
第二种情况：若甲不站在两端，甲可以站在中间的3个位置，有3种情况， 乙必须与甲相邻，也有2种情况，丙与甲不能相邻，有2个位置可选，有2种情况，
剩余2人全排列，安排到剩余的2个位置，有2
22A =种，
则此时共有322224⨯⨯⨯=种站法； 综上可知：一共有122436+=种站法 故选：A 6．D 【分析】
由二项式展开式系数和求得n ，再由等式求导后令1x =求得结论． 【详解】
由题意013243n
n a a a =++
+=，5n =，
即52345
012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，
两边求导得4234
1234510(12)2345x a a x a x a x a x +=++++，
令1x =得4
123452345103810a a a a a ++++=⨯=，
故选：D ． 7．C 【分析】
根据题意先求出每组得频率，再根据要使90%的患者显现出明显病状即可求得答案. 【详解】
解：由题可知，第一，二，三，四，五组的频率依次为0.16，0.4，0.32，0.08，0.04， 又因前三组的频率和为0.88，前四组的频率和为0.96，
故要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少是0.90.88
13140.02
-+=天.
故选：C. 8．D 【分析】
根据折线图数据判断A ，由回归直线方程、散点图判断BCD ． 【详解】
对于A ，身高极差大约为21，臂展极差大约为26，故结论正确；
对于B ，根据散点图以及回归直线得到，身高矮一些，臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长些，故结论正确；
对于C ，身高为190厘米，代入回归直线方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但不是准确值，故结论正确；
对于D ，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归直线上的点并不都是准确的样本点，故结论不正确. 故选：D ． 9．B 【分析】
当ad bc -的值越大时，两个分类变量有关系的可能性就越大，由此可得出合适的选项. 【详解】
当ad bc -的值越大时，两个分类变量有关系的可能性就越大，
因为()()22a c a ab c cd
c d a b a b c d +---=++++，()()a c ad bc a b c d a b c d --=++++，
()()a c ab cd a d b c a d b c --=++++，()()
2a c a ac bc cd b d a c a c b d +---=++++， 因此，当a a b +与c
c d
+相差越大时，两个分类变量有关系的可能性就越大. 故选：B. 10．B 【分析】
根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】
11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁， ，
1
()0()()()()()36
P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁， 1
()()()()0()()36
P P P P P P =
≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙， 故选：B 【点睛】
判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立 11．D 【详解】
由图形可得：a 1=1,a 2=1+2，… ∴()1122
n n n a n +=++⋯+=
.
所以①a 5=15； 正确； ②an −a n −1= n ,所以数列{a n }不是一个等差数列；故②错误； ③数列{an }不是一个等比数列；③错误；
④数列{a n }的递推关系是a n +1=a n +n +1(n ∈N ∗).正确； 本题选择D 选项.
点睛： 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系
可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
12．B 【分析】
由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】
由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n a
x n x
+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法． 13．520x y -+= 【分析】
先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】
由题，当1x =-时，3y =-，故点在曲线上． 求导得：()()
()
()
2
2
22215
22x x y x x +--=
=
++'，所以1|5x y =-='．
故切线方程为520x y -+=． 故答案为：520x y -+=． 14．①③④ 【详解】
利用相关关系的概念判断．②曲线上的点与该点坐标是一种对应关系，即每一个点对应一个坐标，是确定关系；⑤学生与其学号也是确定的对应关系．
故答案为①③④ 15．59
【分析】
利用概率之和为1以及数学期望列方程组解出a 和c 的值，最后利用方差的计算公式可求出
()D ξ的值．
【详解】
由题意可得()11313a c E a c ξ⎧++=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩
，解得16
12a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩，
因此，()2
2
2
11111151013633329D ξ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为59．
【点睛】
本题考查随机分布列的性质以及随机变量的数学期望和方差的计算，解题时要注意概率之和为1这个隐含条件，其次就是熟悉随机变量数学期望和方差的公式，考查计算能力，属于中等题． 16．2n -1; 【详解】
设h （n ）是把n 个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，h （1）=1；
n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h （2）=3=22-1； n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h （2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h （2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]， h （3）=h （2）×h （2）+1=3×2+1=7=23-1， h （4）=h （3）×h （3）+1=7×2+1=15=24-1， …
以此类推，h （n ）=h （n-1）×h （n-1）+1=2n -1， 故答案为:2n -1．
17．（1）详见解析；（2
）⎣
（1）直接将z a bi =+代入后面代数式中，运算后进行系数对比即可证得结果；（2）同样的待定系数法，结合第一问的结论，换元求出a 的范围355
a <<，再将||z 用a 来表示，即可求出||z 的范围. 【详解】
（1）∵复数(,)z a bi a b R =+∈，且存在实数t 使243i
a bi ati t
+-=
-成立， ∴()2
243ta tbi at i -=+-，
∴22,43ta tb at =-=-， ∴22443b a a a
-⋅
=-⋅， ∴2412b a -=-，
∴26a b +=，即2a b +为定值． （2）由（1）有62b a =- ∵(,)z a bi a b R =+∈，|2|5z -<
5 ∴整理得2528150a a -+< ∴355
a <<
∵z ∴2
252436z a a =-+
2
1236555a ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，355a <<
∴
36
415
z ≤<
∴||z 的取值范围为⎣. 【点睛】
本题考查复数中参数的取值范围问题，利用待定系数法处理关于复数的模的问题，要求学生能处理相关复数与已知参数范围，求相关二次函数的值域，为难度中等偏下. 18．（1）n a n =；（2）证明见解析．
（1）利用n a 与n S 得关系，即可求得数列{}n a 的通项公式；
（2）由（1）得，
()222
21111111
2111n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪+-+⎝⎭++-，利用裂项相消求和法求得数列22
11
1n n a a +⎧⎫⎨⎬+-⎩⎭得前n 项得和，即可得证. 【详解】
（1）解：由2
2n n n S a a =+，当1n =时，得()1110a a -=．∵0n a >，∴11a =．
当2n ≥时，由2
2n n n S a a =+，…①，
则2
1112n n n S a a ---=+，……②
由①－②得：22
11122n n n n n n S S a a a a ----=-+-，
即22
112n n n n n a a a a a --=-+-，∴()()111n n n n n n a a a a a a ---+=+-．
又因0n a >，所以11n n a a --=
所以数列{}n a 是公差为1的等差数列． 故数列{}n a 的通项公式为n a n =；
（2）证明：由（1）得()()222
211111*********n n a a n n n n n n +⎛⎫
===- ⎪+-++⎝⎭++- 则
222222
12231
111
111n n a a a a a a +++⋅⋅⋅++-+-+- 111111122231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦ 1111212
n ⎡⎤=-<⎢⎥+⎣⎦, ∴222222
12231
1111
1112n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+<+-+-+- 19．（1）0.850.6y x =+；（2）4个． 【分析】
（1）根据所给数据计算回归方程中的系数得回归方程；
（2）求得总年利润z 的预测值z 与x 之间的关系，再计算出每个分店的平均利润z
t x
=，然后由基本不等式得结论． 【详解】
解：（1）由表中数据和参考数据得，23456
45x ++++=
=， 2.534 4.5645
y ++++==，
()
5
2
1
10i
i x x =-=∑，()()
5
1
5i i i x x y y =--=∑，
∴()()
(
)
5
1
5
2
1
8.5
0.8510
i
i
i i i x x y
y
b x x
==--=
=
=-∑∑， ∴440.850.6a y bx =-=-⨯=，∴线性回归方程0.850.6y x =+． ∴线性回归方程0.850.6y x =+．
（2）由题可知总年利润z 的预测值z 与x 之间的关系为
20.050.850.8x z x =-+-，设该区每个分店的平均利润为t ，则z t x
=
， ∴t 的预测值t 与x 之间的关系为
0.8800.050.850.0150.850.010.850.45t x x x x ⎛
⎫=--
+=-++≤-⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当80
5x x
=
，即4x =时，t 取得最大值， ∴该公司在A 区开设4个分店时，才能使A 区的每个分店的平均年利润最大． 20．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①49
60
；②数学期望为6，方差为2.4. 【分析】
（1）完成列联表，由列联表，得225
8.333 6.6353
K =
≈>，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．
（2）① 由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70
107100
⨯=人，偶尔或不用网购的有30
103100
⨯
=人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率． ② 由22⨯列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：120
0.6200
=，由题意100.6X B （，），由
此能求出随机变量X 的数学期望()E X 和方差()D X ．
【详解】
解：（1）完成列联表（单位：人）：
由列联表，得：
()2
2
2005030507025
8.333 6.63512080100100
3
K ⨯⨯-⨯=
=
≈>⨯⨯⨯， ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关． （2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70
107100
⨯=人， 偶尔或不用网购的有30
103100
⨯
=人， ∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：
2137373
104960
c c c P c +==． ② 由22⨯列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：120
0.6200
=， 将频率视为概率，
∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6， 由题意()100.6X
B ，，
∴随机变量X 的数学期望()100.66E X =⨯=， 方差D （X ）=()100.60.4 2.4D X =⨯⨯=． 【点睛】
本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21．（1）见解析；（2）没有. 【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论a 与0的关系分析函数的单调性即可；
（2）通过分析()f x 的导数求出()1f x ≥ ，令1
()2
lnx g x x =+，求出()g x 的最大值小于|()|f x 的最小值，从而判断无解． 【详解】
解：（1）由已知可知函数()f x 的定义域为{}0x x >， 由1
()ln ,()ax f x ax x f x x
+=
'+=, 当0a ≥时，()0f x '>所以()f x 在(0,)+∞为增函数, 当0a <时，1()a x a f x x
⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭'=,
所以()f x 的单调递增区间为10,a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭,单调递减区间为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.
（2）当1a =-时，由（1）可知()f x 知在()0,1为增函数,在()1,+∞为减函数. 所以max ()(1)1f x f ==-,所以|()|1f x ≥. 令ln 1()2
x g x x =
+，则21ln ()x
g x x -'=.
当0x e <<时，()0g x '>； 当x e >时，()0g x '<,
从而()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减, 所以max 11
()()12
g x g e e ==+<， 所以|()|()f x g x >，即ln 1
|()|2
x f x x >+， 所以，方程ln 1
|()|2
x f x x =+没有实数根. 【点睛】
本题考查了函数的单调性最值问题，考查导数的应用、函数恒成立问题，属于中档题． 22．（1）C 1的直角坐标方程为4x ＋3y －24＝0，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1； （2
【分析】
（1）由极坐标与直角坐标的互化公式，化简即可求得C 1的直角坐标方程，结合三角函数的基本关系式，消去参数，即可求得C 2的普通方程；
（2）将曲线C 2经过伸缩变换得到曲线C 3C 3的参数方程为(2sin x y α
αα⎧='⎪⎨⎪⎩
'=为参数），设N
（，2sinα），利用点到直线的距离公式，求得d 有最小值，即可求解. 【详解】
（1）由题意，曲线C 1的极坐标方程是24
4cos 3sin ρθθ
=
+，
即4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，又由cos ,sin x y ρθρθ==， 所以4x ＋3y －24＝0，故C 1的直角坐标方程为4x ＋3y －24＝0.
因为曲线C 2的参数方程为cos sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩（θ为参数），所以x 2＋y 2＝1，
故C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.
（2）将曲线C 2经过伸缩变换2x y y ⎧=⎪⎨=''⎪⎩后得到曲线C 3，
则曲线C 3的参数方程为(2sin x y α
αα
⎧='⎪⎨
⎪⎩'=为参数）.
设N （，2sinα），则点N 到曲线C 1的距离
d =
=
ϕ满足
tan ϕ=
当sin （α＋φ）＝1时，d
所以|MN |【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及点到直线的距离公式的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，结合直线参数中参数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
23．(1) []0,2(233)22
x x ≤-≥或.
【详解】 试题分析：
(1)分情况讨论去绝对值求解即可； (2)整理,再结合绝对值三角不等式可得121
1111
12123a a a
a a a a
+--=+
--≤++-=，再解不等式113x x -++≥即可. 试题解析：
(1)由()f x x 2≤+有201112x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩或2011112x x x x x +≥⎧⎪
-<<⎨
⎪-++≤+⎩ 或201112x x x x x +≥⎧
⎪
≥⎨
⎪-++≤+⎩
解得02x ≤≤,∴所求解集为[]0,2.
(2a 12a 1
)
a
+--=1111
12123a a a a
+
--≤++-=, 当且仅当11120a a ⎛⎫⎛
⎫+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭时取等号.
由不等式()a 12a 1
f x a
+--≥
对任意实数a 0≠恒成立,
可得x 1x 13-++≥,解得33
x x 22
≤-≥或.。