初中数学解题思路方法大汇总-主元法

初中数学解题思路方法大汇总
汇总如下：
01、特殊与一般思想；02、整体思想；03、分类讨论思想；
04、转化思想；05、数形结合思想06、方程与函数思想；
07、消元法；08、换元法；09、配方法
10、待定系数法；11、几何变换法；12、反证法；
13、同一法；14、构造法；15、主元法；
16、面积法；17、三角法；18、解析法；
19、模型化法；20、巧用零点分段法；21、巧用乘法公式；
22、巧裂项；23、巧用形如x+1/x式；24、巧用倒数；
25、巧用非负数；26、巧用分子有理化；27、巧设设而不求的未知数；
28、巧用判别式；29、巧设函数通用点；30、巧用“横M形”基本图形；
31、巧用倍长中线法；32、巧用截长补短法；
33、巧用“角平分线+平行线”基本图形；34、巧用“双垂直图形”基本图
形；35、巧用一线三等角基本图形；36、巧用二倍角基本图形
主元法
许多数学问题中,都会含有多个常量、参量和变量(统称为元素),根据具体条件和解题需要,常常在众多元素中选用一个元素为主要元素,即作为主元(未知数),将其他元素暂时看成是辅元(常数),进而把代数式整理成按主元降幂排列(或升幂排列)的多项式,以此为线索来达
到解决问题的目的,这种解题方法在数学中通常叫作“主元法”.
若其中某个元素处于突出和主导的地位,可视之为主元.在有些情况下,为解决问题的需要,我们也可人为突出某个元素的地位作用,将之当作主元.确立主元后,以此作为解题的主线,进而化繁为简,直至问题解决.
具体问题中如何确定主元呢?一般有以下三种思路:1.选取低次元作主元.若问题中含有
三次、四次等高次元,可以选取低次元作主元,一般我们选取二次元.2.次数相同时任选一元为
主元.若所含多个元素的次数相同,一般情况下任选一元为主元均可.3.选取常量或参量作主元.特殊情况下,可以考虑选取常量或参量作为主元.
主元法的应用非常广泛,常见于因式分解、方程(高次方程、二元二次方程等)、函数、代数式求值、解不等式及证明中.
应用分类：
（1）在因式分解中的应用
（2）在方程中的应用
（3）在求(最)值及取值范围中的应用
（4）在解不等式中的应用
（5）在证明中的应用
（1）在因式分解中的应用
【典型例题】
【思路分析】这是一个三元四次六项式,多项式中含有三个变量a,b,c,且次数较高,项数较多,无法直接分解.变量c的次数是3,故选取次数较低的字母为主元,而a,b的次数均为2,所
以任选a或b为主元均可.
【答案解析】
（2）在方程中的应用
【典型例题1】
【思路分析】先化分式方程为整式方程,整式方程为二元二次方程.此题若按常规解法把方程①代入方程②,消去y,将得到关于x的四次方程,计算较为繁杂.由于x,y齐次,故可任选其一作为主元.本题解答中把x选作主元,整理方程②,由判别式可得y值.此题若整理方程①也可,只是计算略为复杂一些.
【答案解析】
【典型例题2】
【思路分析】这类题的一般解法可利用韦达定理、求根公式等知识,并结合整数的性质来解决.若以a为主元,则使问题的解决更为简洁明快.
【答案解析】
（3）在求(最)值及取值范围中的应用
【典型例题1】
【答案解析】
【典型例题2】
【思路分析】二次函数可以看作是关于x,y的二元二次方程,把x作为主元进行整理.对二次项的系数分类讨论,分别得到关于x的一次方程和二次方程.一次方程若有解,则可以得到y的一个值;二次方程根据判别式,可以得到y的值或者取值范围.综合便可得y的最值或者取值范围.
【答案解析】
（4）在解不等式中的应用
【典型例题】
【思路分析】本题的常规解法是把不等式化为关于x的不等式:(a-b+1)x²
+(b-a+4)x+a-b+4>0,然后再对二次项的系数分类讨论.这样求解过程复杂.若是把a-b整体作为主
元,则解答比较简洁.
【答案解析】
（5）在证明中的应用
【典型例题】
【思路分析】此题条件与结论的结构虽然复杂,但又十分对称.要想用等式和实数条件推出不等式,可设法与一元二次方程挂钩,巧用主元法并利用判别式证之.所以可把三个实数其中之一作为主元,比如z,则题设条件即为关于z的一元二次方程.
【答案解析】。