不定积分公式大全

不定积分公式大全
Ch4、不定积分
§1、不定积分的概念与性质
1、原函数与不定积分
定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。

① 连续函数一定有原函数；
② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数；事实上，())()()(''
x f x F C x F ==+
③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。

事实上，由[]0)()()()()()('2'1'
11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21
故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。

定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为?dx x f )(，?-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。

显然C x F dx x f +=?)()(
例1、求下列函数的不定积分
①?+=C kx kdx
②-=+-≠++=+1
ln 11
11
μμμμμ
C x C x dx x
2、基本积分表（共24个基本积分公式）
3、不定积分的性质
①[]±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②??≠=)0()()(k dx
x f k dx x kf
例2、求下列不定积分
+-=++-==+--C x C x dx x x dx 11)2(11
)2(22
②?
+=++-=
=+--C x C x dx x x
dx 21
)21(1
1)21(21
③?+-=
+--C x x dx x x arctan 3arcsin 513
1522 ④()()()C x e e x dx dx e dx x e x
x
x x +-=-=??? ?
-ln 21ln 2121ππππ
⑤()++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2
⑥++-=+=+=C x x xdx xdx dx x
x x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 2
2222222
⑦()
+--=-=C x x dx x dx x cot 1csc cot 22
⑧++-=??? ?
++-=++-=+C x x x dx x x dx x x dx x x arctan 3111111113222424
§2、不定积分的换元法
一、第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d a
dx b ax d b ax f a dx b ax f +=++=
,1即例1、求不定积分①()C x udu u x x xd xdx +-===)5cos(5
1
sin 51555sin 515sin
②()()()()??+--=+-+?
-=---=-+C x C x x d x dx x 8177
72116
12117121)21(212121 ③()())20(arctan 111222C
a x a a x a x d a x a dx +??
=+=+??
④()()
)23(arcsin 12
2
2
C
a x a x a x d x
a dx +??
=-=-?
第二类换元法 2、()()
n
n n n n n dx dx x dx x f n
dx x x f ==
--??11,1即例2、求不定积分
①()()
()
()
C x C x x d x dx x x +--=+-+?-=---=-+??2
12
12
212
2
12
2
13
1
11
121112
1
1
②()
C e x d e dx e x x x x +-=--=---??33
33
23
131 ③
-=+
-=??? ??-=x d dx x C x x d x dx x x 111sin 11cos 1cos 122 ④
=+==x d dx x C
x x d x dx x
x 21sin 2cos 2cos
,,
arcsin 11,arctan 11
,
sec tan sec 222
2
x a d dx x a x x d dx x
x d dx x
x d xdx x ±±=±=-=+=
例3、求不定积分
①+=+-=-==)16(sec ln cos ln cos cos cos sin tan C
x C x x x
d dx x x xdx
②+-=+===)17(cos ln sin ln sin sin sin cos cot C
x C x x x
d dx x x xdx
③()()()++=++=++=)18(tan sec ln tan sec tan sec tan sec tan sec sec sec C x x x x x x d dx x x x x x xdx ④()()()+-=--=--=)19(cot csc ln cot csc cot csc cot csc cot csc csc csc C x x x x x x d dx x x x x x xdx
⑤()??+==C x x
x d dx x x ln ln ln ln ln 1
⑥()()()?
++=++=+C x x x d x x dx 1tan ln 1
tan 1tan tan 1cos 2 ⑦()
()
++=++=+C e e
e d dx e e x
x x x x 1ln 111 ⑧()
()
++-=+-+=+C e x e
e e e dx x x x x x 1ln 111 ⑨()??+=+=+C e e de dx e e x x x
x x arctan 112
2 ⑩()
C e x d e dx e x
x x x x +-=+--=++-
+-
+-
2
122
12
12
11
例4、求不定积分
①?
++---= ??+--=-a x a x d a x a x d a dx a x a x a a x dx )()(21112122 )22)(21(ln 21C a
x a
x a ++-=
②dx x
x dx x x x dx x x x
++-=+--+=+--2222213113112 ()
()
C x x x x
dx x x d x +-+-=+-++-=??arctan 31ln 211311212
2
22 ③()
()+--+-+-=+---=+--4
1352522152622215242
2222x dx
x x x x d dx x x x dx x x x ()
C x x x +--+-=
21arctan 2352ln 212 ④()C x x x xd x dx x xdx +-=?-=-=2sin 41
2122cos 21212122cos 1sin 2
⑤()??+--=+=C x x dx x x xdx x 2cos 4
1
8cos 1612sin 8sin 213cos 5sin
⑥+====C x x x d x x x d x xdx dx x x sin ln ln sin ln sin ln sin ln sin sin sin ln sin cos sin ln cot
⑦C x x x
x d xdx dx x x x dx +-=+=-=+cos 1tan cos cos sec cos sin 1sin 122
2 ⑧()?
+??? ?
+=+=+44csc 214sin 2sin cos πππx d x x dx x x dx C x x +???? ????? ?
+-??? ??+=4cot 4csc ln 21
ππ
二、第二类换元法 1、三角代换
例1、dx x a ?-22
解：令)cos (sin t a t a x 或=，则
tdt a dx t a x a cos ,cos 22==-
原式=()
+=+=?t td dt a dt t a tdt a t a 22cos 21222cos 1cos cos 22
C a
x a a x a a x a C t a t a +-+=++=22222224arcsin 22sin 42 C x a x a x a +-+=
2222
1
arcsin 21 例2、()()
C a
x
a x a x d x a dx +=-=-?
arcsin 12
2
2
解：令t a x sin =
原式=??+=+==C a
x
C t dt t a tdt a arcsin cos cos
例3、?
+2
2
x
a dx
解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a 222sec ,sec ==+
原式=()??+
++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdt
a 222ln tan sec ln sec sec sec ()
)24(ln 22C a x x +++=
例4、?
+4
2
x x dx
解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt dx t x 22sec 2,sec 24==+
原式=()??+
++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdt
a 222ln tan sec ln sec sec sec 例5、?
-2
2
a
x dx
解：令)csc (sec t a t a x 或=，则
tdt t a dx t a a x tan sec ,tan 22==-
原式=()??+
-+=++==c a
a x a x C t t tdt t a tdt
t a 2
2ln tan sec ln sec tan tan sec ()
)25(ln 22C a x x +-+=
例6、?
-dx x
x 9
2 解：令t a x sec =，则tdt t dx t x tan sec 3,tan 392==- 原式=()
()?
+-=-==?C t t t tdt tdt t t
t
tan 31sec 3tan 3tan sec 3sec 3tan 322 C x x C x x +--=+ --=3arccos 393arccos 39322 小结：)(x f 中含有
-+-2
2222
2a x a x x a 可考虑用代换
===t a x t a x t a x sec tan sin
2、无理代换
例7、?
++3
1
1x dx
解：令dt t dx t x t x 2333,1,1=-==+则
原式=()+
++-=??? ??
++-=++-=+C t t t dt t t dt t t t dt t 1ln 231113111313222 ()() C x x x +++++-+=
333
211ln 31312
3 例8、(
)
+3
1x
x dx
解：令dt t dx t x t x 5666,,===则
原式=()
()+-=??
+-=+=+C t t dt t dt t t t t dt t arctan 611161616222235 ()
C x x +-=66arctan 6
例9、?+dx x
x
x 11
解：令
()
2221
2,11,1--=-==+t tdt
dx t x t x x 则
原式=()()+ ??+-+-= ??-+-=--=
--
-C t t t dt t dt t t t tdt
t t 11ln 212111212121222222 C x x x
x x x +++-+-+-=11ln 12
例10、?
+x
e
dx 1
解：令()
1
2,1ln ,12
2-=
-==+t tdt
dx t x t e x 则原式??+++-+=++-?=-=-?=C e e C t t t dt dt t t t x x 1
11
1ln 11ln 2121212122
4、倒代换
例11、()
+4
6
x x dx
解：令()
2
676,4111,1t
dt
dx t t x x t x -=+=+=则原式()
()
C x x C t t t d t dt t ++=++-=++-=+-=??4ln 24114ln 2411
41424141666
6
666 ()
C x x ++-=
4ln 24
1
ln 416
§3、分部积分法
分部积分公式：()()V U UV V U V U V U UV '-'
=''+'=',
()??
'-'='Vdx U dx UV dx V U ，故??-
=VdU UV UdV
（前后相乘）（前后交换）
例1、?xdx x cos
++=-==C x x x xdx x x x xd cos sin sin sin sin 例2、?dx xe x +-=-==C e xe dx e xe xde x x x x x
例3、?xdx ln ??+-=?-=-=C x x x dx x
x x x x xd x x ln 1
ln ln ln
或解：令t e x t x ==,ln
原式C x x x C e te dt e te tde t t t t t +-=+-=-==??ln 例4、?xdx arcsin
()??
+-+=--+=--=-=C x x x x x d x x dx
x
x x x x xd x x 22
22
1arcsin 1121arcsin 1arcsin arcsin arcsin
或解：令t x t x sin ,arcsin ==
原式C x x x C t t t tdt t t t td +-+=++=-==??21arcsin cos sin sin sin sin 例5、?xdx e x sin
()--=+-=-=-==xdx
e x x e x d e x e x e xde x e xdx e x e xde x
x
x
x
x
x
x x x x sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin
故()C x x e xdx e x
x +-=?cos sin 2
1sin 例6、?
dx x
x
2
cos C x x x xdx x x x xd +-=-==??sec ln tan tan tan tan 例7、()
++dx x x 21ln
()()
()C
x x x x dx
x
x x x x dx x
x x x
x x x x ++-
++
=+-++=++++?
-++=??
22
2
22
2
2
11ln 11ln 1111ln
§4、两种典型积分
一、有理函数的积分
有理函数0
11
10
111)()()(b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x R m m m m n n n n ++++++++==---- 可用待定系数法化为部分分式，然后积分。

例1、将6532+-+x x x 化为部分分式，并计算?+-+dx x x x 6
53
2 解：
()()()()()()32233
23236532--+-+=
-+-=--+=+-+x x B A x B A x B x A x x x x x x ??
=-=??
-=+=+6
5
3
231
B A B A B A 故
+-+--=-+--=+-+C x x x dx
x dx dx x x x )3ln(6)2ln(536256
532 或解：()
+-++-+-=+-+-=65211656521651152212222x x dx
x x x x d dx x x x I
()
---++-=
dx x x x x 213121165ln 212 ()
C x x x x +--++-=
2
3ln 21165ln 212 例2、
----=-+--=-dx x x x dx x x x x x x dx 222)1(1)1(1)1(1)1( C x x x dx x x x +---=
-----=?11
1ln )1(11112 例3、C x x x x x x d dx x x x dx x x +-=+??? ?
-??? ??-=++=++???21arctan 212111111122
2242 例4、(
)(
)
+--++=+--+=+
dx x x x dx x x x dx x x x x dx 2
2
22224
2
2
41111112111121
1 C x x x x x x x x x x d x x x x d +?????? ??++-+--=??????
- ??+ ??+-+ ??- ??-=??2121ln 22121arctan 2121211211212
2 C x x x x x x +
++-+--=2121ln 2121arctan 221222
二、三角函数有理式的积分
对三角函数有理式积分()?=dx x x R I cos ,sin ，令u x x
u arctan 2,2
tan ==则，
du u dx u u x u u x 222212
,11cos ,12sin +=+-=+=，故?+???? ??+-+=du u u u u u R I 22221211,12，三角函数有理式积分即变成了有理函数积分。

例5、?+x
dx
cos 53
解：令u x x
u arctan 2,2
tan ==则，du u dx u u x 2
2212,11cos +=+-= 原式C x x
C u u u du du u u u +-+=+-+?=-=++-+=??2tan 22tan
2ln 4122ln 221412115
3122
2
2 例6、?
+-5
cos sin 2x x dx
解：令u x x
u arctan 2,2
tan ==则，du u dx u u x u u x 2
22212,11cos ,12sin +=+-=+= 原式??
++=+++--+=2
23125111221222
22u u du du u u u u u C x C u u u d ++=++?=+?
+??? ??+=?51
2arctan 3arctan 513531arctan 5 331953131312
例7、?
=-+dx x
x cos 1sin 1??+++=++--
++
du u u u u du u u u u u
)1(211211112122222
22 ????? ??+-+-=???
++=du u u u u du u u u 22211
21)1(21 ()
C x
x C u u u ++-=++-+-=2
sin ln 22cot 1ln ln 212
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