2019-2020年秋季学期人教版高中数学必修5第二章2.5.1等比数列的前n项和学案

2.5.1等比数列的前n 项和
一、学习目标
掌握等比数列的性质和前n 项和公式及公式证明思路；会用它们灵活解决有关等比数列的问题。

二、学习要点
等比数列的前n 项和公式
证明过程： （1）利用等比性质 由等比数列的定义，有
q a a a a a a n n ====-1
23
12Λ 根据等比性质，有
q a S a S a a a a a a n
n n n n =--=++++++-1
12132ΛΛ⇒1(1)n n q S a a q -=-
∴当1≠q 时，q
q
a a S n n --=11或q q a S n n --=1)1(1.
（2）错位相减法
等比数列{}n a 的前n 项和123n n S a a a a =++++L ， ∴当1q =时，1n a a =，1231n n S a a a a na =++++=L ； ∴当1≠q 时，由11n n a a q -=得：
22111111n n n S a a q a q a q a q --=+++++L 23111111n n n qS a q a q a q a q a q -=+++++L
1111(1)1n n
n n q S a a q a a q a q ∴-=-=-=-（）
∴q
q a a S n n --=11或q q a S n n --=1)1(1.
即1
11(1)(1)(1)
11n n n na q S a a q
a q q q q =⎧⎪
=--⎨=≠⎪--⎩
∴错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等差数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法.
∴在求等比数列前n 项和时，要注意区分1q =和1≠q .
∴当1≠q 时，等比数列的两个求和公式，共涉及1a 、n 、q 、n a 、n S 五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量.
三、典型例题分析
【例1】．求等比数列111,,,39
L 的前6项和。

【答案】
364
243
； 【解析】∴11a =，1
3
q =，6n =
∴66
6111331364112324313
S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-
【总结升华】等比数列中1,,,,n n a n q S a 中的“知三求二”主要还是运用方程的思想解决.
举变式训练：
【变式1】已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1+a 4＝9，a 2a 3=8,则数列{a n }的前n 项和等于________．
【答案】
31123
1
98
①②
+=⋅=a a q a q
由∴式得32
18
q a =
代入∴式 得a 1＝1，q ＝2
∴ 122112
n
n n S -=
=-- 【变式2】在等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -⋅=，126n S =，求n 和
q 。

【答案】1
2
q =
或2，6n =； ∴211n n a a a a -⋅=⋅，∴1128n a a =
解方程组1112866n n a a a a =⎧⎨+=⎩，得1642n a a =⎧⎨=⎩ 或12
64n a a =⎧⎨=⎩
∴将1642n a a =⎧⎨=⎩代入11n n a a q S q -=-，得1
2q =，
由11n n a a q -=，解得6n =；
∴将1264n a a =⎧⎨=⎩代入11n n a a q S q -=-，得2q =，
由11n n a a q -=，解得6n =。

∴1
2
q =
或2，6n =。

【变式3】已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足
12111
==3n n n n b b a b b nb +++=1，，.
（1）求{a n }的通项公式； （2）求{b n }的前n 项和.
【答案】（1）由已知，a 1b 2+b 2=b 1，b 1=1，21
3
b =
，得a 1=2，所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n =3n －1。

（2）由（1）和a n b n+1+b n+1=nb n 得13n bn b +=
，因此{b n }是首项为1，公比为13
的等比数列。

记{b n }的前n 项和为S n ，则111()313122313
n
n n S --==-⨯-。

【例2】．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n , 且S 10=10, S 20=40,求：S 30=？ 【思路点拨】
等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k 项和，第2个k 项和，第3个k 项和，……，第n 个k 项和仍然成等比数列。

【答案】130； 【解析】
法一：S 10，S 20-S 10，S 30-S 20构成等比数列，∴(S 20-S 10)2=S 10·(S 30-S 20) 即302=10(S 30-40),∴S 30=130.
法二：∴2S 10≠S 20，∴1q ≠,
∴101)
1(10110
=--=q
q a S ,20120(1)401a q S q -=
=-, ∴1020
11,14q q -=-∴10
3q =,∴511-=-q
a ∴ 130)31)(5(1)
1(330130
=--=--=q
q a S .
【总结升华】性质的应用有些时候会更方便快捷. 变式训练：
【变式1】等比数列{}n a 中，公比q=2, S 4=1,则S 8=___________. 【答案】17；
S 8=S 4+a 5+a 6+a 7+a 8=S 4+a 1q 4+a 2q 4+a 3q 4+a 4q 4=S 4+q 4(a 1+a 2+a 3+a 4)=S 4+q 4S 4=S 4(1+q 4)=1×(1+24)=17
【变式2】在等比数列{}n a 中，已知48n S =，260n S =，求3n S 。

【答案】63
【变式3】等比数列{}n a 中，若a 1+a 2=324, a 3+a 4=36, 则a 5+a 6=_____________. 【答案】4；
令b 1=a 1+a 2=a 1(1+q)，b 2=a 3+a 4=a 1q 2(1+q),b 3=a 5+a 6=a 1q 4(1+q),
易知：b 1, b 2, b 3成等比数列，∴b 3=1
2
2b b =324362
=4,即a 5+a 6=4.
【变式4】等比数列{}n a 中，若a 1+a 2+a 3=7,a 4+a 5+a 6=56, 求a 7+a 8+a 9的值。

【答案】448；
∴{a n }是等比数列，∴(a 4+a 5+a 6)=(a 1+a 2+a 3)q 3,∴q 3=8, ∴a 7+a 8+a 9=(a 4+a 5+a 6)q 3=56×8=448.
【例3】已知数列的前n 项和，其中． （I ）证明是等比数列，并求其通项公式； （II ）若 ，求． 【解析】 （1）由题意得a 1=S 1=1+λa 1，故λ≠1，11
1a λ
=
-，a 1≠0。

由S n =1+λa n ，S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1－λa n ，即a n+1(λ－1)= λa n 。

由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以
11
n n a a λ
λ+=-。

因此{a n }是首项为
1λ
λ
-，公比为
1
λλ-的等比数列，于是1
1()11
n n a λλλ-=
--。

（2）由（1）得1(
)1n n S λ
λ=--，由53132S =得5311()132λλ-=-，即51
()132
λλ=
-， 【例5】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1． （∴）证明{a n ＋
2
1
}是等比数列，并求{a n }的通项公式； （∴）证明：
1a 1＋2a 1＋…＋n a 1＜2
3． 证明：（∴）
＝3， ∴≠0， {}n a 1n n S a λ=+0λ≠{}n a 531
32
S =
λ2
1a )21
3(a 21a 2113a 21a 21a n n n n n 1n +
+=+++=++
+2
3
211=+
a
∴数列{a n ＋
}是以首项为，公比为3的等比数列； ∴a n ＋＝，即；
（∴）由（∴）知
， 当n≥2时，
＜， ∴当n ＝1时，
成立， 当n≥2时，＋＋…＋＜1＋＝＝
． ∴对n∴N ＋时，＋＋…＋＜．
212
3
2123323n 1n ＝－⨯2
1
3a n n -＝1
32
a 1n n －＝132a 1n n －＝1n 1n n 31332－－＝－2
3
1a 11＜＝1a 12a 1n a 11n 23
13131－＋⋯++3
11311n
-）－（2
331123n ）＜（-1a 12a 1n a 12
3。