与圆有关的辅助线之二——做垂直

与圆有关的辅助线之二——做垂直
与圆有关的辅助线之二
——做垂直
王桥
《春季攻势》第14讲“辅助线秘籍（1）”的【秘籍3】，讲了12种做垂线的策略。

其中，仅与圆有关的“做垂线”即有3种情况。

一、做弦心距
【基本原理】根据垂径定理：弦的中垂线垂直于弦且平分弦所对的两段弧。

根据垂径定理，作弦的弦心距，即可平分弦。

做这条垂线的常见作用主要有两个：
（一）证明——证线段相等
【典型例题】例1、如图，AB是⊙O的直径，EF与⊙O相交于点C、D，AE⊥EF于点E，BF⊥EF于点F，试找出EF上相等的线段，并证明你的结论.——选自《沙场秋点兵》第15讲“圆的基本性质”
【解析】结论：EC=DF或ED=CF。

如图，作OM⊥CD于点M，则MC=MD，∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴AE∥OM∥BF。

因为OA=OB，∴ME=MF。

∴EC=FD，ED=FC。

（二）计算——构造半径、半弦和弦心距组成的直角三角形
【典型例题】例2、如图4，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P 点到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是_____________。

.——选自《沙场秋点兵》第15讲“圆的基本性质”
【解析】在《沙场秋点兵》“圆的基本性质”一讲我们讲到：直径是圆内最长的弦。

经过圆内某一点的最短的弦，是与过这一点的直径垂直的弦！
如图，经过点P作直径AB，过点P作与AB的垂直的弦CD，则CD最短，且PC=PD。

连接OC，则OC=5。

在△OPC中，∵PC2+PO2=OC2，∴PC=3，则CD=6。

【评注】作弦心距，构造半径、半弦和弦心距组成的直角三角形，是圆里有关线段计算的最常见方法。

二、做垂直、证半径
【基本原理】证明某条直线是圆的切线时，若不知道直线和圆的公共点，则可以通过圆心作直线的垂线，然后证明垂线段的长度等于圆的半径，则直线必为圆的切线。

【典型例题】例3、如图，梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，且AD+BC=CD。

求证：
（1）以CD为直径的圆和AB相切；
（2）以AB为直径的圆和CD相切，
（2）在（1）的前提下，如图，过AB的中点O作OP⊥CD于点P，连接OD、OC。

∵OM∥AD，∴∠ADO=∠DOM。

又音位MD=MO，则∠DOM=∠ODM，∴∠ODA=∠ODP。

又因为∠A=∠OPD=90°，OD=OD，∴△ODA≌△ODP，则OA=AP=OB，即以AB为直径的圆和CD相切。

【评注】做垂直，证半径是证明切线的最常用方法之一。

另，这个特殊梯形的这两条特殊结论也是很常用的。

三、遇三角形的内心，作内心到三角形三条边的距离
详见《老王的数学》公众号“与圆有关的辅助线之一——做半径”之例4.与圆有关的辅助线之一——做半径
一、过圆心作确定直线的垂线段——圆线距离
【基本原理】1、圆上一动点到一定直线的最大值和最小值，是过圆心垂直于已知直线的直线与圆的两个交点到垂足之间的垂线段的长；如图，AP为最大值，BP为最小值；
2、求过圆上一点作圆的切线，欲求切线上与圆外一定直线的相交所交点与切点之间线段的最小值，可过圆心向圆外确定的直线做垂线，垂足即为使得线段最小的点。

如图，EM为最小。

【典型例题】例4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是( ) A．5 B．6 C．7 D．8
【评注】过圆心向圆外确定直线做垂线，与圆的两个交点分别是
圆上的点到圆外确定直线的最小值和最大值的点。